低頻振蕩主導(dǎo)模式的滑窗譜分析方法

竺 煒，蔣 頔，馬建偉，曾喆昭

（1.長沙理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 長沙 410004；2.中國電力科學(xué)研究院，北京 100192；3.貴陽供電局，貴州 貴陽 550001）

實測功率振蕩曲線復(fù)雜，往往出現(xiàn)瞬變和不規(guī)則波動的情況，故目前出現(xiàn)了采用時頻分析的熱潮.文獻(xiàn)［1］提出采用并行時頻原子復(fù)帶通濾波方法進(jìn)行識別，但運算效率有待提高，不易實現(xiàn)在線識別.文獻(xiàn)［2-4］采用小波和HHT（Hibert-Huang transform）算法進(jìn)行了研究.小波算法雖然可以反映信號的時變特性，在時域和頻域都有良好的分辨能力，但存在小波基難以選取的問題［5］；HHT算法可處理非平穩(wěn)信號，但其EMD過程可靠性較差，難以避免虛假成分，使本征模態(tài)函數(shù)分量物理意義不明確［6］.

主導(dǎo)模式分析的背景是低頻振蕩機(jī)制，主要分析的是機(jī)電耦合模式的低頻振蕩特性.電力系統(tǒng)動態(tài)過程是復(fù)雜的，不都是機(jī)電耦合模式振蕩，文獻(xiàn)［2-3，7-8］基于非自治非線性電力系統(tǒng)在擾動下的失穩(wěn)過程分析，認(rèn)為低頻振蕩是非平穩(wěn)振蕩且特征根時變.但往往低頻振蕩發(fā)生在無明顯故障或擾動情況下，且由于轉(zhuǎn)子慣性，認(rèn)為瞬間突變不是低頻振蕩的主導(dǎo)模式.雖然強迫振蕩在擾動變化時，會有瞬態(tài)響應(yīng)過程，但穩(wěn)態(tài)振蕩模式仍然是受關(guān)注的主導(dǎo)模式.從低頻振蕩抑制角度看，對瞬間變化也是無法做到時變抑制控制的.所以，在秒級時間窗內(nèi)，針對機(jī)電模式的低頻振蕩用固定特征根描述是可行的.即使是非平穩(wěn)振蕩，可采用滑動的時間窗口來求取特征根的時間序列，或采用時間斷面特征根算法獲取時變的振蕩頻率和阻尼［9］.

頻域分析中，基于傅里葉變換的譜分析具有廣泛工程應(yīng)用，但主要問題是無法識別阻尼特性.Prony算法基于指數(shù)函數(shù)的多階線性組合，因模型中包含衰減因子，故逐漸成為低頻振蕩模式分析的主流方法［10-12］.但該算法對噪聲非常敏感［13-14］，且當(dāng)振蕩模式為多階且采樣率增大時，識別幅值和相位的計算量呈指數(shù)增加，矩陣求逆困難［15］，降階模型的研究成為難題［16-17］.此外，即使是穩(wěn)態(tài)振蕩模式，也往往共存著多個不同模式，且不同模式的起振和平息時間各不同［18-21］，這2種方法因不帶時變因子，都存在模式變化時刻識別的困難［22］.

低頻振蕩主導(dǎo)模式識別需要功能合適的分析方法，尤其在線模式識別時，要求分析方法抗干擾性好、運算可靠并且滿足實時性要求.在線模式識別時，實測數(shù)據(jù)就像“隊列”經(jīng)過“窗口”，若對窗口數(shù)據(jù)進(jìn)行譜分析并“記憶”，經(jīng)過相應(yīng)分量的幅值變化分析，就能識別衰減特性（即阻尼特性）且能判別模式變化的時刻.鑒于此，嘗試采用滑窗譜分析的辦法，并采用基于最小二乘法訓(xùn)練的傅里葉基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，提高運算可靠性和抗干擾性.

1 滑窗頻譜分析的思路

1.1 低頻振蕩的各參數(shù)識別

設(shè)低頻振蕩的某一模式為

式（1）可看成用頻率為ωm的載波信號對阻尼信號e-σt進(jìn)行調(diào)制.圖1所示即為一個數(shù)據(jù)窗中阻尼信號的頻譜.圖2，3所示分別為低頻振蕩信號x（t）在數(shù)據(jù)窗i，j中的頻譜，阻尼信號經(jīng)調(diào)制移頻后，在載波信號頻率ωm處的分量幅值最大.因此，可由一個窗的數(shù)據(jù)頻譜確定該振蕩模式的頻率ωm.

設(shè)長度為T的矩形窗為g（t），即

則數(shù)據(jù)窗內(nèi)的低頻振蕩信號表示為

設(shè)加窗阻尼信號的傅里葉變換為

其幅度譜分布為

則窗內(nèi)低頻振蕩信號的傅里葉變換可表示為

在只考慮正頻率的情況下，式（6）表示為

圖1 加窗調(diào)制信號的頻譜Figure 1 Modulation spectrum of windowed signal

圖2 i窗頻譜Figure 2 i window spectrum

圖3 j窗頻譜Figure 3 j window spectrum

雖然頻譜分析不能直接得到振蕩的阻尼特性，但結(jié)合滑窗的辦法可以解決.

設(shè)窗口i，j的起點分別為ti，tj，時域振蕩幅值分別為Ai，Aj，傅里葉變換分別為

由時域特性可知

式中 tij為窗口i，j的時間間隔.故由式（7）、（8）可得阻尼：

即可由窗口間同一頻率分量的幅值比和窗口時間間隔確定瞬時阻尼（圖2，3）.

由式（7）可得的窗口內(nèi)瞬時振蕩幅值：

1.2 時變振蕩模式的滑窗識別

在電力系統(tǒng)多模式低頻振蕩時，不同模式起振和平息時間不同，還可能出現(xiàn)多模式疊加和接近重疊現(xiàn)象.為此，分析算法需具備模式變化判別、變化時刻判別和頻率接近模式的甄別等功能.

根據(jù)振蕩理論，模式與特征根相對應(yīng)，頻率和阻尼變化即意味著模式變化.據(jù)前所述，所提方法滑窗后能識別模式的變化，若滑窗前、后模式變化，則變化時刻即在滑窗步長內(nèi).應(yīng)綜合考慮計算量和變化時刻分辨精度，選擇合適的滑窗步長.

由圖1可見，阻尼信號帶寬與窗口長度T成反比，為1／THz.模式間的間隔頻率大于1／T，則相互間的幅值干擾就較小.故T越大，頻率相鄰模式的分辨率就越高，但計算量也越大，故需綜合考慮窗口長度.

1.3 傅里葉基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的快速譜分析

實際譜分析都是采用離散傅里葉算法實現(xiàn)的，離散傅里葉（DFT）和快速傅里葉（FFT）算法得到的頻譜是真實信號頻譜與噪聲信號頻譜的疊加［23］.根據(jù)傅里葉算法的分析思路，嘗試采用傅里葉基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.由于低頻振蕩頻帶較窄，故正交基神經(jīng)元個數(shù)不多，便于構(gòu)造小型的單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，只需訓(xùn)練隱層與輸出層之間的權(quán)值.采用遞推最小二乘法訓(xùn)練，不涉及復(fù)數(shù)的乘法運算和復(fù)數(shù)的加法運算，且還具有隨機(jī)噪聲的濾波功能［23］.

2 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)譜分析的模式識別

2.1 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的譜分析

或

式中 Ts為采樣周期，且Ts≤π／ωmax，采樣序列m=0，1，...，M，其中M=T／Ts.

由式（13）可建立單隱層傅里葉基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).設(shè)wi為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值，di為隱層神經(jīng)元激勵函數(shù)，其為三角基函數(shù)：

設(shè)權(quán)值矩陣W=［w0，w1，…，wN，wN+1，…，w2N］T，激 勵 矩 陣D=［d0，d1，…，dN，dN+1，…，d2N］T，則神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出為

其誤差函數(shù)為

設(shè)性能指標(biāo)為

故窗口內(nèi)信號的頻譜系數(shù)為

周期信號的傅里葉系數(shù)與一個周期內(nèi)的傅里葉變換關(guān)系為

故可由神經(jīng)元權(quán)值得到對應(yīng)頻率的譜分量幅值：

設(shè)神經(jīng)元截止頻率為fH，則神經(jīng)元個數(shù)為

式中 T為窗口時間長度.由于低頻振蕩帶寬較窄，fH一般只有幾赫茲，故神經(jīng)元個數(shù)不多.

由于隱層神經(jīng)元激勵函數(shù)各不相同，符合生物神經(jīng)元的基本特征，因此，該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型不僅具有快的收斂速度，而且可以有效避免訓(xùn)練過程中陷入局部極小的問題.由于測量的樣本數(shù)據(jù)不可避免地存在測量誤差（隨機(jī)噪聲），為了提高計算精度，采用具有濾波性能的遞推最小二乘法（RLS）來訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值向量.

2.2 模式的識別

隱層神經(jīng)元的頻率值是離散的，實際振蕩頻率可能與某個隱層神經(jīng)元頻率一致，也可能不一致.

1）當(dāng)實際振蕩頻率與某隱層神經(jīng)元激勵函數(shù)頻率一致時，即ωm=kω0，k為整數(shù).經(jīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練后，得到振蕩信號的譜分量分布，如圖4所示.可見，只有角頻率為kω0對應(yīng)的幅值最大.

圖4 無頻率泄漏的譜分量分布Figure 4 Spectral component distribution without frequency leakage

根據(jù)前述思路，經(jīng)滑窗訓(xùn)練后，窗口時段低頻振蕩角頻率：

根據(jù)式（9），則窗口內(nèi)的瞬時阻尼為

將式（21）代入式（24），可得

將式（5）、式（21）代入式（25），可得

2）當(dāng)實際振蕩頻率與隱層神經(jīng)元頻率不一致時，即ωm=（k1+r）ω0，其中，k1為整數(shù)，而0＜r＜1.

經(jīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，得到窗口振蕩信號的譜分量分布，如圖5所示.可見，角頻率k1ω0和（k1+1）ω0對應(yīng)的幅值較大.

圖5 頻率泄漏的譜分量分布Figure 5 Spectral component distribution with frequency leakage

根據(jù)式（9），為減少誤差，可由根據(jù)頻率為k1ω0和（k1+1）ω0對應(yīng)的譜分量計算窗口時段的瞬時振蕩阻尼：

將式（21）代入式（28），可得

由式（7）可知

將阻尼σ代入式（30）可求出參數(shù)r，可得角頻率：

將式（5）、式（21）代入式（32），可得

3）主導(dǎo)模式鑒別.當(dāng)某窗口中，相鄰頻率分量能量都較大時，可能有頻率泄露造成和存在頻率接近的2種模式.此時，將2種情況的模式分別擬合，再與樣本進(jìn)行誤差比較，采用擬合誤差作為鑒別依據(jù).擬合誤差為

3 振蕩模式識別的算例及分析

3.1 平穩(wěn)振蕩模式識別的比較

構(gòu)造平穩(wěn)信號：

取窗口寬度T=10s，β=104，W（0）=0，滑動步長為1s.在無噪聲時，2種算法的分析結(jié)果如表1所示；加入信噪比為10dB的白噪聲后，2種算法的分析結(jié)果如表2所示，其中Prony算法僅列出幅值較大的2個振蕩模式.

表1 無噪聲時2種算法分析結(jié)果Table 1 Analysis results of two algorithms without noise

表2 含白噪聲時2種算法分析結(jié)果Table 2 Analysis results of two algorithms with white noise

由表1可知，在無噪聲的影響下，2種算法都可以準(zhǔn)確地獲得振蕩特征參數(shù)；由表2可知，在白噪聲的干擾下，Prony算法識別結(jié)果中阻尼和幅值都出現(xiàn)了較大誤差，而且擬合階數(shù)較高，出現(xiàn)了多余的振蕩模式，給主導(dǎo)模式的篩選帶來困難；該文算法識別結(jié)果幾乎不受影響，抗噪聲性較好.

3.2 時變多模式時的識別比較

為模擬振蕩模式隨時間變化的情況，構(gòu)造一個由4個時間段組成的信號［2］，具體參數(shù)如表3所示.取窗口寬度T=4s，β=104，W（0）=0，滑動步長為1s.小波脊算法分析結(jié)果（小波中心頻率ω=18）［2］如表4所示；該文算法識別結(jié)果如表5所示，訓(xùn)練次數(shù)為2次.由表4，5可知，小波脊算法可進(jìn)行時變信號的分析，但其整體誤差較大，該文算法識別結(jié)果較為準(zhǔn)確，更適合具有時變特性信號的識別分析.

表3 4個時間段信號的組成分量Table 3 Signal components with four time segments

表4 小波脊算法分析結(jié)果Table 4 Analysis results with wavelet ridge algorithms

表5 該文算法分析結(jié)果Table 5 Analysis results with the algorithm

加入信噪比為10dB白噪聲后的信號曲線如圖6所示，加噪后該文算法分析結(jié)果如表6所示，加噪后該文算法的識別效果如圖7所示.由表6和圖7可知，在白噪聲的干擾下，該文算法依然能較為準(zhǔn)確地識別各模式參數(shù)及模式的時變特性，誤差較小，具有較好的抗噪性.

圖6 加噪后信號Figure 6 Signal with white noise

表6 加噪后該文算法分析結(jié)果Table 6 Analysis results of the algorithm with white noise

圖7 含白噪聲時的時變多模式識別效果Figure 7 Effect of time-varying muti-pattern recognition with white noise

3.3 多模式疊加時的識別比較

構(gòu)造一個由3個模式組成的信號，具體參數(shù)如表7所示，加入信噪比為10dB白噪聲后的信號曲線如圖8所示.取窗口寬度T=10s，β=104，W（0）=0，滑動步長為1s.加噪前該文算法的識別結(jié)果如表8所示，加噪后該文算法的識別結(jié)果如表9所示，加噪后該文算法的識別效果如圖9所示.訓(xùn)練次數(shù)為2次.

由表8可見，在多模式疊加的情況下，該文算法能較為準(zhǔn)確地識別出信號各振蕩模式參數(shù)及各模式的時變特性.由表9和圖5可知，在白噪聲的干擾下，該文算法依然能較為準(zhǔn)確地識別各模式及模式的時變性，誤差較小，具有較好的抗噪性.

表7 信號的組成分量Table 7 Signal components

圖8 加噪后信號Figure 8 Signal with white noise

表8 加噪前分析結(jié)果Table 8 Analysis results without noise

表9 加白噪后分析結(jié)果Table 9 Analysis results with white noise

圖9 含白噪聲時的多模式疊加識別效果Figure 9 Effect of muti-pattern superposition recognition with white noise

4 結(jié)語

Prony算法相比傅里葉算法，模型中有衰減因子，看似適合于低頻振蕩模式識別，但正是因為模型復(fù)雜，導(dǎo)致了求解困難、抗干擾較差.其實，只要滑動窗口，進(jìn)行譜分量的幅值比較即可解決阻尼識別問題；另外，模式變化也可通過滑窗后頻譜的變化來判別，識別的時間誤差小于滑窗步長.算例結(jié)果證明了該方法的可行性.

為提高抗干擾性，采用了遞推最小二乘法訓(xùn)練傅里葉基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的頻譜分析方法.由于低頻振蕩的帶寬較窄，神經(jīng)元個數(shù)較少，采用最小二乘法訓(xùn)練能快速收斂.仿真表明，在白噪聲和多模式疊加的情況下，都能快速可靠地識別振蕩主導(dǎo)模式，滿足在線識別要求.需要說明的是，該算法具有相位識別能力，只是一般情況下不需要，故未提及.

開窗和滑窗分析符合實測數(shù)據(jù)在線分析的實際過程.對工程中廣泛采用的頻譜分析方法的改進(jìn)，既保留了原有經(jīng)驗，又解決了實際問題.

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