壓電陶瓷作動器非對稱遲滯的建模與補償控制*

趙小興，姜 偉，李 巍

（華中科技大學數(shù)字制造裝備與技術國家重點實驗室，湖北武漢430074）

0 引言

壓電陶瓷作動器是高精度定位中的關鍵部件，如掃描探針顯微鏡、掃描隧道顯微鏡、光學校準儀、金剛石車削機床和硬盤驅動器等［1］。它能滿足納米級定位精度，具有體積小、剛度高、響應快等優(yōu)點。然而，它的響應位移與驅動電壓之間存在著非對稱遲滯特性，同時自身的蠕變和環(huán)境溫度的變化也會造成其定位精度的漂移。

壓電陶瓷作動器的非對稱遲滯特性對其控制精度的影響十分顯著。為減小或消除該不利影響，目前主要有兩種解決途徑：①電荷控制［2］，它需要特別設計的電荷驅動放大器，但該放大器價格昂貴，且存在漂移和過飽和等問題，因此極大地限制了其應用范圍；②電壓控制，需要建立非線性遲滯的數(shù)學模型，并通過逆模型前饋補償來提高控制精度。電壓控制逐漸成為壓電陶瓷作動器精密控制的首選方案，其關鍵是非線性遲滯的精確建模。目前，國內外學者分別提出了多種遲滯模型，如Preisach 模型［3-4］、Prandtl-Ishlin?skii模型［5-6］、Maxwell模型［7］、極坐標模型［8］、Bouc-Wen模型［9-10］等。Preisach模型通過對遲滯因子的雙重積分來逼近遲滯特性，由于模型中含有二次積分項，導致計算效率低，難以應用于實時系統(tǒng)。Prandtl-Ishlinskii模型是對Preisach 模型的改進，它由多個PI 算子加權疊加組成，建模的計算量較大且容易產生毛刺。Maxwell模型采用輸出力和滑塊位移模擬壓電陶瓷的驅動電壓和響應位移，須增加彈簧滑塊的數(shù)目以提高模型精度，由此導致求解過程復雜、計算量大。極坐標模型采用橢圓曲線的極坐標方法，在獲得主遲滯環(huán)模型前提下，再根據(jù)一定的遞推公式，得到次遲滯環(huán)模型。

Bouc-Wen模型（簡稱B-W模型）是利用一個具有不確定參數(shù)的非線性微分方程來描述遲滯特性，通過選擇合適的參數(shù)，可以得到各種形狀的遲滯環(huán)。由于它只需要用一個輔助的非線性微分方程來描述遲滯行為，因而該方法計算效率高，實時性好，且逆模型求解十分方便。但是傳統(tǒng)B-W 模型是一個關于中心點嚴格對稱的模型，對于非對稱遲滯特性的擬合精度有限。

本研究基于傳統(tǒng)B-W模型，提出一種改進的B-W模型來表征壓電陶瓷作動器的非對稱遲滯特性，針對壓電陶瓷作動器的非對稱遲滯特性，分別基于傳統(tǒng)B-W模型和本研究所提的改進B-W模型，對比研究前饋補償、前饋加PI反饋補償兩種控制方法的效果。

1 改進B-W 模型

1.1 傳統(tǒng)B-W模型

傳統(tǒng)B-W模型是由Bouc提出并由Wen改進的一種微分方程，它用于描述壓電陶瓷作動器遲滯非線性的微分方程為：

式中：x(t)—壓電陶瓷輸出位移；u(t)—壓電陶瓷輸入電壓；h(t)—遲滯變量；ψ(,h)—形狀控制函數(shù)；dp—壓電系數(shù)；α,β,γ—形狀控制參數(shù)。

由于模型參數(shù)的限制，傳統(tǒng)B-W模型的形狀控制函數(shù)只有兩個自由度(γ-β,γ+β)，它是關于中心點嚴格對稱的，ψ(,h)特性圖如圖1所示。如果直接用它描述非對稱遲滯現(xiàn)象，很難達到較高的擬合精度。

1.2 改進B-W模型

實驗測試結果表明，壓電陶瓷作動器的輸出位移與輸入電壓之間存在著較強的非對稱遲滯特性。因此，采用傳統(tǒng)B-W模型很難達到較高的擬合精度。為了提高模型精度，研究者必須對傳統(tǒng)B-W模型進行改進，使其能夠模擬非對稱性遲滯特性。由前文分析得知，傳統(tǒng)B-W 模型的形狀控制函數(shù)只有兩個自由度，其中只有β的符號在不同象限內發(fā)生變化，而γ的大小不會影響形狀控制函數(shù)自由度的數(shù)目。因此，為了增加自由度，本研究假設γ=0，并將βsgn(h)變換成βsgn(h)+?sgn()+φsgn(h)，具體微分方程為：

式中：α,β,?,φ—形狀控制參數(shù)；x(t),u(t),h(t),ψ(,h),dp—含義與式（1）相同。

改進后的形狀控制函數(shù)有4個自由度( -β-?+φ,β+?+φ, -β+?-φ,β-?-φ)，它既可以模擬對稱遲滯，也可以模擬非對稱遲滯，如圖1所示。因此，與傳統(tǒng)B-W 模型相比，用改進B-W 模型來描述非對稱遲滯特性能夠達到更高的精度。

圖1 ψ(,h)特性圖

2 模型參數(shù)辨識

2.1 基于粒子群算法的模型離散化

由式（2）可知，改進B-W 模型是由5 個參數(shù)決定的，它們分別是：dp、α、β、?、φ，這5個參數(shù)為本研究需要辨識的參數(shù)。目前，辨識模型參數(shù)的方法有很多，如最小二乘法、卡爾曼濾波法、差分進化法、遺傳算法、粒子群算法等。文獻［11］指出，與遺傳算法相比，粒子群算法容易實現(xiàn)且調節(jié)參數(shù)少，此外它對計算機的內存和CPU的速度要求較低，故本研究選用粒子群算法進行參數(shù)辨識。

為了提高粒子群優(yōu)化算法的計算效率，避免反復求解微分方程，將式（2）所示的改進B-W 模型離散化如下：

本研究采用Shi 與Eberhart 提出的一種帶慣性權重的粒子群算法，其進化方程為：

式中：N—種群規(guī)模；D—粒子維數(shù)；i=1,2…N,j=1,2…D；其他參數(shù)的含義詳見文獻［12］。

本研究選用模型仿真位移xBW與實測位移xr的均方根誤差eRMS作為適應度函數(shù)，具體形式如下：

式中：n—采樣點數(shù)。

2.2 模型參數(shù)辨識結果

在辨識模型參數(shù)前，首先需要通過實驗測試得到一組壓電陶瓷作動器的電壓—位移曲線，再利用該曲線進行參數(shù)辨識。本研究首先由NI-PXI 測試平臺產生一個正弦信號u(t)=5+5sin(0.2πt-π/2)，經過驅動電源放大處理（放大倍數(shù)為15倍），輸出給壓電陶瓷作動器（PST 150），壓電陶瓷作動器產生伸縮變形，并由激光位移傳感器（LK30，分辨率為10 nm）獲取該伸縮信號，同時由NI-PXI 測試平臺將信號采集（采樣頻率為100 Hz）并保存下來。本研究對采集到的信號，進行粒子群優(yōu)化算法辨識，即可得到改進B-W模型5個參數(shù)的最優(yōu)解：dp=0.1126μm/V ,α=0.0473μm/V ,β=0.0998V-1,?=-0.0977V-1,φ=-0.0028V-1(其中,eRMS=0.121 7)。利用同樣的數(shù)據(jù)和粒子群優(yōu)化算法，即可得到傳統(tǒng)B-W 模型4 個參數(shù)的最優(yōu)解：dp=0.0709μm/V ,α=0.0226μm/V ,β=0.0420V-1,γ=-0.0172V-1(其中,eRMS=0.3173)。

實測遲滯曲線、傳統(tǒng)B-W 模型遲滯曲線和改進B-W模型遲滯曲線的對比如圖2所示。為了比較上述兩種模型的擬合精度，本研究選用了實測位移相對于仿真位移的下述3個評價指標：均方根誤差eRMS、平均絕對誤差|e|mean、最大絕對誤差|e|max。實測位移相對于上述兩種模型的仿真位移的誤差對比情況如表1所示。

圖2 遲滯曲線的擬合

表1 仿真擬合誤差比較

觀察圖2 和表1 可知，改進B-W 模型的擬合誤差要明顯小于傳統(tǒng)B-W模型，原因在于傳統(tǒng)B-W模型是關于中心點嚴格對稱的，它只能用來模擬對稱遲滯特性，然而改進B-W 模型卻能夠模擬非對稱遲滯特性，更適用于模擬壓電陶瓷作動器的非對稱遲滯特性。

3 非對稱遲滯的補償控制

3.1 前饋補償控制

本研究對壓電陶瓷作動器的遲滯補償是基于逆模型的前饋控制，即在實際壓電系統(tǒng)中串入遲滯特性的逆模型作為補償器，實現(xiàn)對遲滯非線性的補償。

基于逆模型的前饋遲滯補償原理如圖4中的虛線框所示。設定期望軌跡xd(t)=4.5+4.5 sin(0.2πt-π/2)，經過遲滯補償器計算出壓電陶瓷作動器的控制電壓u(t)=[xd(t)+H(t)]/dp，控制電壓u(t)激勵壓電陶瓷作動器產生伸縮變形，采集實際輸出軌跡xr(t)，用于評價其與期望軌跡xd(t)的誤差e(t)=xr(t)-xd(t)。

本研究分別采用傳統(tǒng)B-W模型和改進B-W模型進行前饋補償控制實驗，以便對比改進B-W模型對于前饋補償控制的改善效果。期望運動軌跡和采用上述兩種模型進行前饋補償控制的實際輸出運動軌跡及其軌跡跟蹤誤差如圖3所示。其中，跟蹤誤差的均方根值eRMS、平均絕對值|e|mean、最大絕對值|e|max的對比如表2所示。實驗結果表明：與采用傳統(tǒng)B-W模型進行前饋補償控制相比，采用改進B-W模型可使誤差降低約42%。

3.2 前饋+PI反饋補償控制

在上一節(jié)中，經過逆模型前饋補償，遲滯現(xiàn)象雖然得到了明顯抑制，但是對于高精密位移控制，其控制精度仍然不足。為了進一步提高控制精度，本研究在前饋補償?shù)幕A上，引入比例—積分（PI）反饋控制，其控制原理如圖4所示。

圖3 前饋補償控制的運動軌跡與誤差

表2 前饋補償控制誤差比較

圖4 前饋補償結合PI反饋控制原理

首先，在實驗前用傳統(tǒng)B-W 模型作前饋補償，用改進B-W 模型代替圖4 中的壓電陶瓷作動器進行仿真，仿真中不斷調節(jié)參數(shù)Kp、Ti的大小，觀察誤差e(t)的變化，確定Kp和Ti的調節(jié)范圍。其次，在實驗過程中，參考仿真時確定的參數(shù)調節(jié)范圍，可以很快得到較為理想的Kp和Ti值，從而達到較高的控制精度。

本研究采用上述兩種模型進行前饋補償加PI反饋控制的軌跡跟蹤誤差的對比如圖5所示，其誤差的均方根值eRMS、平均絕對值|e|m ean、最大絕對值|e|max的對比如表3所示。實驗結果表明：①與單純采用前饋控制相比，采用前饋加PI反饋控制可將控制精度提高大約一個量級；②與采用傳統(tǒng)B-W模型進行前饋加PI反饋補償控制相比，采用改進B-W模型可使誤差降低約20%。

4 結束語

圖5 前饋補償結合PI反饋控制的軌跡誤差

表3 前饋+PI反饋補償控制誤差比較

針對傳統(tǒng)B-W 模型不能準確描述壓電陶瓷作動器遲滯的非對稱性問題，本研究提出了一種改進的B-W 模型，并采用粒子群優(yōu)化算法辨識出了模型參數(shù)。在相同的電壓輸入條件下，仿真與實驗結果比較顯示，改進B-W 模型的位移輸出誤差小于傳統(tǒng)B-W模型，表明改進B-W模型對于壓電陶瓷作動器非對稱遲滯特性的描述精度更高；在相同的期望軌跡輸入條件下，分別采用傳統(tǒng)B-W 模型和改進的B-W 模型進行前饋補償控制實驗，以及前饋加PI反饋補償控制實驗。實驗結果表明在相同的控制方式下，采用改進B-W模型可得到更高的軌跡跟蹤精度，并且采用基于改進B-W模型的前饋加PI反饋控制效果更好。

（References）：

［1］LEANG K K，DEVASIA S.Design of hysteresis- compen?sating iterative learning control for piezo-poitioners：applica?tion to atomic force microscopes［J］.Mechatronics，2006，16（3-4）：141-158.

［2］SALAH M H，MCLNTYRE M L，DAWSON D M，et al.Charge feedback-based robust position tracking control for piezoelectric actuators［J］.IET Control Theory Applica?tion，2012，6（5）：615-628.

［3］WOLF F，SUTOR A，RUPITSCH S J，et al.A generalized Preisach approach for piezoceramic materials incorporating uniaxial compressive stress［J］.Sensors and Actuators A：Physical，2011，18（4）：1-7.

［4］黨選舉，譚永紅.在Preisach 模型框架下的似對角動態(tài)神經網絡壓電陶瓷遲滯模型的研究［J］.機械工程學報，2005，41（4）：7-12.

［5］JANAIDEH M A，RAKHEJA S，SU C Y.A generalized Prandtl-Ishlinskii model for characterizing the hysteresis and saturation nonlinearities of smart actuators［J］.Smart Materials and Structures，2009，18（4）：1-9.

［6］JIANG Hao，JI Hong-li，QIU Jin-hao，et al.A modified prandtl-ishlinskii model for modeling asymmetric hystere?sis of piezoelectric actuators［J］.IEEE Transactions on Ultrasonics，F(xiàn)erroelectrics and Frequency Control，2010，57（5）：1200-1210.

［7］JUHASZ L，MAAS J，BOROVAC B.Parameter identifica?tion and hysteresis compensation of embedded piezoelectric stack actuators［J］.Mechatronics，2011，21（1）：329-338.

［8］王?；?，郭書祥，葉秀芬，等.壓電陶瓷遲滯特性的建模及復合控制［J］.電機與控制學報，2009，13（5）：766-771.

［9］RAKOTONDRABE M.Bouc-Wen modeling and inverse multiplicative structure to compensate hysteresis nonlineari?ty in piezoelectric［J］.Automation Science and Engineer?ing，2011，4（2）：428-431.

［10］王代華，朱 煒.WTYD型壓電陶瓷微位移器的遲滯特性建模與實驗驗證［J］.光學精密工程，2010，18（1）：205-211.

［11］MONTAZERI A，POSHTAN J，YOUSEFI-KOMA A.The use of 'particle swarm' to optimize the control system in a PZT laminated plate［J］.Smart Materials and Struc?tures，2008，17（4）：1-7.

［12］VALLE Y D，VENAYAGAMOORTHY G K，MOHA?GHEGHI S，et al.Particle swarm optimization：basic con?cepts，variants and applications in power systems［J］.IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2008，12（2）：171-195.