構(gòu)造法在高等代數(shù)中的應(yīng)用

史秀英

（赤峰學(xué)院 繼續(xù)教育與教師培訓(xùn)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

構(gòu)造法屬于非常規(guī)思維、另辟蹊徑的解題方法，其本質(zhì)特征是“構(gòu)造”，用構(gòu)造法解題，無(wú)一定之規(guī)，表現(xiàn)出思維的試探性、不規(guī)則性和創(chuàng)造性，其關(guān)鍵在于對(duì)問(wèn)題特征的敏銳觀察，展開(kāi)豐富的聯(lián)想，充分地挖掘題設(shè)與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而謀求解決問(wèn)題的途徑.

構(gòu)造法在高等代數(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，但怎樣“構(gòu)造”始終是求解問(wèn)題的難點(diǎn).在具體研究對(duì)象中，根據(jù)實(shí)際情況可能需要構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造多項(xiàng)式、構(gòu)造行列式、構(gòu)造矩陣、構(gòu)造二次型、構(gòu)造基、構(gòu)造變換等等數(shù)學(xué)模型，而后再利用已知條件及有關(guān)概念、定理推理得出所要證明的結(jié)果.構(gòu)造法的解題類型較多，一般存在性命題或潛在的存在性命題更適宜用構(gòu)造法.

1 構(gòu)造法在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用

構(gòu)造法在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用，主要是借助已知條件，利用多項(xiàng)式的性質(zhì)，構(gòu)造出符合條件的多項(xiàng)式，進(jìn)而最終獲解.

例1 證明任意一個(gè)次數(shù)大于零的有理系數(shù)多項(xiàng)式都可以表成兩個(gè)有理數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式的和.

分析 本題中討論的是任意多項(xiàng)式的一種定性分解，因此，本題的解決必須要定性地構(gòu)造出結(jié)論中的表示形式.問(wèn)題的關(guān)鍵是這兩個(gè)有理系數(shù)不可約多項(xiàng)式如何構(gòu)造，而我們常見(jiàn)的不可約有理系數(shù)多項(xiàng)式有一次多項(xiàng)式和滿足Eisenstein判別法條件的有理系數(shù)多項(xiàng)式.

（ⅰ）若a0=0，取素?cái)?shù)p，構(gòu)造多項(xiàng)式：g(x)=pf(x)+x'+p，其中s>n，由Eisenstein判別法可得：g(x),h(x)=x'+p在有理數(shù)域上不可約，所以(x)在有理數(shù)域上也不可約.

（ⅱ）若a0≠0，取素?cái)?shù)p，使得：p覮a0，p>2，構(gòu)造多項(xiàng)式：g(x)=pf(x)+x'+p(p-2)a0，其中s>n，g(x)的常數(shù)項(xiàng)為：pa0+p(p-2)a0=p(p-1)a0，可見(jiàn)：p2覮p(p-1)a0，由Eisenstein判別法知：g(x),h(x)=x'+p(p-2)a0在有理數(shù)域上不可約，所以在有理數(shù)域上也不可約.

（2）若f(x)∈Q[x],則存在m∈Z，使mf(x)∈Z[x]，由（1）知：存在有理數(shù)域上不可約多項(xiàng)式u(x),v(x)∈Q(x)，使得mf(x)=u(x)+v(x)，故(x)，其中為有理數(shù)域上不可約多項(xiàng)式.

2 構(gòu)造法在行列式中的應(yīng)用

構(gòu)造法在行列式中的應(yīng)用，主要是借助已知的特征、特型和特值行列式，利用行列式的性質(zhì)與展開(kāi)，構(gòu)造恒等變形行列式，進(jìn)而最終獲解.

例2 證明：n階循環(huán)行列式

(εn-1)，其中1,ε,ε2,…,εn-1為全部n次單位根（其中ε為n次本原單位根），f(x)=a1+a2x+…+anxn-1.

分析 根據(jù)本題行列式的特征，構(gòu)造矩陣，利用特征多項(xiàng)式、特征值來(lái)證.

證明 構(gòu)造n階方陣：

則Dn=a1E+a2A+…+anAn-1=f(A),且A的特征多項(xiàng)式為|λE-A|=λ2-1，即有A的特征值為全部n次單位根ε1,ε2,…,εn,有矩陣f(A)的特征值為f(ε1),f(ε2),…,f(εn)，所以|Dn|=|f(A)|=f(ε1)f(ε2)…f(εn).

3 構(gòu)造法在線性方程組中的應(yīng)用

構(gòu)造法在線性方程組中的應(yīng)用，主要是借助已知條件，利用線性方程組的同解變換，構(gòu)造同解方程組，進(jìn)而最終獲解.

例3 設(shè)n階方陣A的秩為r，則存在秩為n-r的n階矩陣B和C,使得AB=0,CA=0.

證明 設(shè)齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系為ξ1,ξ2,…,ξn-r，

構(gòu)造矩陣：B=（ξ1,ξ2,…,ξn-r,ξn-r+1,…,ξn），其中ξn-r+1,…,ξn是ξ1,ξ2,…,ξn-r的線性組合，則有Aξi=0（i=1,2,…,n），即AB=0.

同理，構(gòu)造矩陣F,使得A'F=0,于是F'A=0,令F'=C，即有CA=0.

4 構(gòu)造法在矩陣中的應(yīng)用

構(gòu)造法在矩陣中的應(yīng)用，主要是借助已知條件，利用矩陣的性質(zhì)，構(gòu)造出符合條件的矩陣或矩陣等式，進(jìn)而最終獲解.

例4 設(shè)矩陣A∈Ps×n，證 明：r(Es-AA')-r(En-A'A)=s-n

于是有r(B)=r(Es-AA')+n=s+r(En-A'A).

故：r(Es-AA')-r(En-A'A)=s-n.

5 構(gòu)造法在二次型中的應(yīng)用

構(gòu)造法在二次型中的應(yīng)用，主要是借助已知條件，利用二次型與對(duì)稱矩陣的性質(zhì)，構(gòu)造出符合條件的二次型或?qū)ΨQ矩陣，進(jìn)而最終獲解.

例5 設(shè)A實(shí)數(shù)域上的n階對(duì)稱矩陣，求證：存在實(shí)數(shù)c，使得對(duì)實(shí)數(shù)域上任何n維列向量X,都有|X'AX|≤cX'X,其中X'是X的轉(zhuǎn)置矩陣.

證明 由于A是對(duì)稱矩陣，構(gòu)造n元二次型

f(x1,x2,…,xn)=X'AX,則存在正交線性變換X=QY，將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型f(x1,x2,…,xn)=λ1y12+λ2y22+…+λnyn2.

6 構(gòu)造法在線性空間中的應(yīng)用

構(gòu)造法在線性空間中的應(yīng)用，主要是借助已知條件，利用線性空間基的性質(zhì)，構(gòu)造出符合條件的向量，進(jìn)而最終獲解.

例6 設(shè)V數(shù)域R上一個(gè)n(n≥1)維線性空間，證明：存在V的無(wú)限子集s，使s中任意n個(gè)向量線性無(wú)關(guān).

證明 設(shè)β1,β2,…,βn為V的一組基，則V=L(β1,β2,…,βn)，從而對(duì)任意的α∈V，有α=k1β1+k2β2+…+knβn，其中k1,k2,…,kn∈R，特別的，我們構(gòu)造如下向量：αik=ikβ1+ik2β2+…+iknβn，ik∈N+

即A=CB.

由于ik≠ij≠0，從而由范德蒙行列式可知：

而β1,β2,…,βn為V的一組基，所以r(B)=n，

于是r(A)=n.

令S={αik|αik=ikβ1+ik2β2+…+iknβn，ik∈N+}，顯然S為V的無(wú)限子集并且S中任意n個(gè)向量線性無(wú)關(guān).

7 構(gòu)造法在線性變換中的應(yīng)用

構(gòu)造法在線性變換中的應(yīng)用，主要是借助已知條件，利用線性變換與矩陣的同構(gòu)與性質(zhì)，構(gòu)造出符合條件的線性變換與矩陣，進(jìn)而最終獲解.

例7 設(shè)V是一個(gè)n維線性空間，證明：V的任意一個(gè)子空間W必為某線性變換的核.

證明 當(dāng)W={0}時(shí)，則W為恒等變換的核；

當(dāng)W=V時(shí)，則W為零變換的核；

當(dāng){0}奐W奐V時(shí)，即W是V的真子空間時(shí)，設(shè)dimW=r，

取W的一組基：ξ1,ξ2,…,ξr，把它擴(kuò)充為V的一組基：ξ1,ξ2,…,ξr，ξr+1,…,ξn,

8 構(gòu)造法在歐式空間中的應(yīng)用

構(gòu)造法在歐式空間中的應(yīng)用，主要是根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征，利用歐式空間的性質(zhì)，構(gòu)造出符合條件的結(jié)論，進(jìn)而最終獲解.

例8 設(shè)V是一個(gè)n維歐式空間，W 是V的子空間，W⊥是V中一切與W正交的向量組成的集合，證明：W⊥是V的子空間，且dimW+dimW⊥=n，(W⊥)⊥=W

證明 易證W⊥是V的子空間.

當(dāng)W={0}時(shí)，易知W⊥=V，這時(shí)V=W茌W⊥.

當(dāng)W=V時(shí)，易知W⊥={0}，這時(shí)V=W茌W⊥仍成立.

當(dāng)dimW=t(0

構(gòu)造子空間：W1=(εt+1,…,εn),可以證明W1=L(εt+1,…,εn)=W⊥.

事實(shí)上，任取α=W1=L(εt+1,…,εn),則α=at+1εt+1+…+anεn，任取β∈W,則

于是α∈W⊥，即W1=(εt+1,…,εn).

反之，任取γ∈W⊥哿V,不妨設(shè)γ=b1ε1+b2ε2+…+btεt+bt+1εt+1+…+bnεn+,對(duì)任意εi∈W(i=1,2,…,t)，則有(εi,γ)=bi(εi,εi)=0,即有bi=0，(i=1,2,…,t)，

故γ=bt+1εt+1+…+bnεn，從而γ∈L(εt+1+…+εn)=W1,即W⊥哿L(εt+1+…+εn)=W1，

從而W1=L(εt+1+…+εn)=W⊥.

又V=L(ε1,ε2,…,εt,εt+1,…,εn)=L(ε1,ε2,…,εt)茌L(εt+1,…,εn)，即V=W茌W⊥.由V=W茌W⊥，且W⊥W⊥,所以由歐式空間正交補(bǔ)的定義及唯一性可知：(W⊥)⊥=W.

以上，我們從高等代數(shù)不同的知識(shí)角度談了構(gòu)造法的應(yīng)用，更多用構(gòu)造法求解的問(wèn)題，還需要我們?cè)谝院髮W(xué)習(xí)過(guò)程中去總結(jié)發(fā)現(xiàn).

〔1〕王積社，楊曉鵬.高等代數(shù)典型問(wèn)題精講[M].科學(xué)出版社,2010.

〔2〕周金土.高等代數(shù)解題思想與方法[M].浙江大學(xué)出版社,2008.

〔3〕李志慧,李永明.高等代數(shù)中的典型問(wèn)題與方法[M].科學(xué)出版社,2008.

〔4〕張禾瑞,郝鈵新.高等代數(shù)[M].高等教育出版社,1999.