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    用變分方法計(jì)算天文折射

    2013-01-17 01:58:54楊步恩
    物理通報(bào) 2013年9期
    關(guān)鍵詞:頂角折射率天文

    楊步恩

    (大連理工大學(xué)物理與光電學(xué)院 遼寧 大連 116024)

    1 引言

    在地面上觀察恒星的角位置,因?yàn)榈厍虼髿饷芏入S高度變化的不均勻性,使來自遙遠(yuǎn)恒星的平行光不斷折射而彎曲,且改變了平行光原傳播方向.因此,觀察者所看到的恒星,不在恒星的原位置,如圖1所示.

    圖1 天文折射

    在O點(diǎn)觀測恒星,其實(shí)是在光線的切線方向上測量恒星像點(diǎn)P′的位置,然而該點(diǎn)已經(jīng)偏離了恒星的實(shí)際位置P.為此,觀察者要知道,恒星的視位置確定后,偏離真位置方向的角度ψ,通常稱之天文折射(即大氣折射)

    ψ=θ-θ′

    (1)

    等于恒星的視天頂角θ′與真天頂角θ相減.此式還可以用視角高α′與真角高α之差來表示

    ψ=α′-α

    (2)

    式中,α與θ是互為余角.

    從歷史的角度看[1],大氣折射理論,首先由天文學(xué)家卡西尼創(chuàng)立.之后,牛頓、布拉得雷、拉普拉斯和貝塞爾等著名科學(xué)家,對大氣折射都進(jìn)行過研究.但是,關(guān)于大氣質(zhì)量分布都假定:大氣是中心對稱分層的,每個(gè)球面層與地球同心,而且密度均質(zhì).因?yàn)榈厍虻陌霃胶艽?,所以靠近地面大氣的逐個(gè)球面層,在有限范圍內(nèi)可看成互相平行的平面層.

    在此大氣模型的假設(shè)下,天文學(xué)家推出大氣折射ψ數(shù)學(xué)式,也是至今普遍應(yīng)用的公式[2].

    根據(jù)幾何光學(xué)的斯耐爾(Snell)折射定理

    rnsinθ=(R0+y)nsinθ=R0n0sinθ′

    (3)

    式中,R0是地球半徑,y是球面層離地面高度,n是該球面層折射率,n0是地面空氣折射率,而θ′是視天頂角.由此式推出大氣折射為

    ψ=(n0-1)tanθ′

    (4)

    其中,n0-1=293×10-6.

    然而,該式在天頂角θ′不大于70°時(shí)與實(shí)際尚能符合.但是,如果恒星接近地平面,且天頂角大于70°時(shí),那么,式(4)的計(jì)算值與實(shí)際就不大相符了.今天看來,大氣折射ψ依然是尚未解決的問題.

    為此,該文提出不同于Snell定理的計(jì)算法,而是引入Fermat最短時(shí)間原理,通過求光曲線的入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的切線斜率計(jì)算ψ角.對那些視天頂角θ′>70°的恒星,能給出較正確結(jié)果.

    下面闡明,在大氣分層假定的框架下,再引入近地大氣狀態(tài)是等溫的,其質(zhì)量分布遵循重力場的氣體分子數(shù)的玻爾茲曼分布律.如此,大氣密度隨高度y變化的表達(dá)式是

    ρ(y)=ρ0e-z

    (5)

    2 大氣折射率隨高度變化的表達(dá)式

    由光的電磁理論闡明的Lorentz-Lorenz公式,氣體折射率與密度的關(guān)系是[3]

    (6)

    (7)

    (8)

    因此,得地面大氣折射率為

    n0=1+μ0=1+293×10-6

    如果將式(5)代入式(7),那么,大氣折射率隨高度y變化的表達(dá)式為

    n(y)=1+μ0e-z

    (9)

    k=1.38×10-23J/K,T= 273 K.

    3 大氣的“光學(xué)厚度”

    由式(9)知道,當(dāng)y→∞時(shí),n(∞)=1.此結(jié)果,在我們看來,僅有理論意義.因?yàn)閥的取值已經(jīng)超出了玻爾茲曼分布律的適用范圍(y?R0).同時(shí),也與通常估計(jì)大氣折射率n(y),在離地面有限高度處取n=1的假設(shè)相悖.因此,為了調(diào)和二者的不一致.引進(jìn)大氣“光學(xué)厚度”物理量.辦法是將折射率n(y)展開為冪級數(shù),僅取前面幾項(xiàng)之和表示,即

    (10)

    這里,函數(shù)n(y)的邊界條件是

    (11)

    因?yàn)閥=ym處,大氣的n(ym)=1,所以將此條件代入式(10),得代數(shù)方程

    (12)

    該方程的最高次冪為奇數(shù)時(shí),有一正實(shí)數(shù)根為z1,因此得大氣“光學(xué)厚度”為

    (13)

    討論三種特殊情形:

    (1)令p= 0,1.則方程式(12)為

    z-1=0

    該方程的實(shí)數(shù)根為z1=1,所以大氣光學(xué)厚度為

    (14)

    該厚度ym1與估計(jì)等密大氣厚度為8 km相吻合.

    (2)令p= 0,1,2,3.則方程式(12)為三次方程

    z3-3z2+6z-6=0

    此方程的正實(shí)數(shù)根z1≈1.596,所以光學(xué)厚度

    (15)

    (3)令p= 0,1,2,3,4,5.式(12)為五次方程

    z5-5z4+20z3-60z2+120z-120=0

    該方程的正實(shí)數(shù)根z1≈2.1806.因此,光學(xué)厚度

    (16)

    觀測表明上述三種光學(xué)厚度均在大氣對流層頂18 km以下.除此,光學(xué)厚度以內(nèi)大氣的平均折射率為

    (17)

    將式(10)代入式(17),在三種光學(xué)厚度情形下,大氣折射率的平均值為

    (18)

    4 大氣折射的零級近似ψ0

    觀測表明大氣折射主要是近地大氣層的效應(yīng),那些天頂距大于75°的恒星,其天文折射為4′至34′,即是有力的證據(jù).

    鑒此,根據(jù)分層理論,將近地大氣按光學(xué)性質(zhì)分為三層.

    (1)頂層,在大氣光學(xué)厚度ym之上,空氣折射率近似為1.

    (2)中層,在ym至近地之間,空氣折射率n(y)隨高度y變化,但是1

    (3)底層,近地面空氣折射率為n0幾乎不變.

    圖2 近地大氣的光學(xué)分層

    根據(jù)幾何光學(xué)的Snell折射定理,光在上述平行平面層大氣模型傳播,該定理蛻化為形式

    n1sini1=n2sini2=n3sini3

    對此式作變換

    以及

    則得

    (19)

    由此,得到以θ′表示的大氣折射零級近似為

    ψ0=sin-1(>n0sinθ′)-θ′

    (20)

    計(jì)算表明ψ0的數(shù)值與通常表示天文折射ψ公式(4)數(shù)值幾乎相同,如表1所示.

    表1 天文折射ψ0隨天頂角的變化[2]

    5 重力場等溫大氣的光曲線函數(shù)

    此前的討論,依然是應(yīng)用大氣分層理論來計(jì)算天文折射ψ.雖然引入光學(xué)分層和光學(xué)厚度的概念.但是,這沒有超越大氣分層的范疇.

    欲得到高精度ψ的數(shù)值,必須從普遍的原理出發(fā),并且以新的方法去探索達(dá)到此目標(biāo)的途徑.幾何光學(xué)中有一條比Snell折射定理更普遍的原理,即Fermat最短時(shí)間原理,以此取代折射定理,可能是實(shí)現(xiàn)此目標(biāo)的捷徑.

    下面,從此原理出發(fā),推導(dǎo)等溫大氣光的極值曲線函數(shù).Fermat原理的數(shù)學(xué)式是

    (21)

    (22)

    該式被積函數(shù)為

    于是,由式(22)推出微分方程

    (23)

    光的極值曲線y(x)的邊界條件是

    y(0)=0y(x1)=y1

    (24)

    y0(x)=kx

    (25)

    在此情況下,方程(23)以近似形式表示為

    (26)

    圖3 重力場等溫大氣光曲線

    微分方程式(26)的偏導(dǎo)數(shù)為

    式中,變量z0=σy0(x)=σkx.

    k(>1+μ0e-z0)δy′-(>1+k2)μ0σδy=0

    (27)

    對式(27)積分,得δy函數(shù)為

    δy=c0(>1+μ0e-z0)-k′=c0n(>kx)-k′

    (28)

    y(x)=δy+c1=c0[n(>kx)]-k′+c1

    (29)

    積分常數(shù)c0和c1,由邊界條件式(24)來確定

    (30)

    將式(30)代入式(29),則得光的極值曲線近似函數(shù)為

    (31)

    為簡化計(jì)算,引進(jìn)光學(xué)厚度ym,將式(31)的折射率n(y)隨高度y遞減的形式表達(dá)為線性關(guān)系

    n(y)=n0(1-βy)

    (32)

    (33)

    式中,y=y0(x)=kx,y1=kx1.

    (34)

    其中,θ′是恒星的視天頂距.

    6 參考線斜率k表示的天文折射

    前面表述光曲線函數(shù)(33),還可以將折射率(32)直接代入變分原理(21),應(yīng)用“參考線法”求積分而得相同的結(jié)果.

    對光曲線函數(shù)式(33)求一階導(dǎo)數(shù),得切線斜率

    (35)

    式中,y0(x)=kx,y1=kx1.

    于是,由式(35)得,光曲線在O點(diǎn)的切線斜率為

    (36)

    同理,在A點(diǎn)光線的切線斜率為

    (37)

    式中,α′是恒星的視角高,而α是其真角高.

    為了算出天文折射角ψ1,先計(jì)算式(36)和式(37)的兩式之差,以及兩式之積

    tanα′-tanα=

    k(k′+1)βy1

    (38)

    tanα′tanα=

    k2[1+(k′+1)βy1]

    (39)

    將式(38)和式(39)代入三角恒等式,得到

    (40)

    (41)

    此式,即是參考線斜率k表述的天文折射.

    7 天文折射ψ的計(jì)算

    第一步,為檢驗(yàn)ψ1計(jì)算后的數(shù)值是否正確?首先算出ψ0,由式(20)得大氣折射零級近似為

    ψ0=sin-1(n0sinθ′)-θ′

    將θ′=65°代入式中,得ψ0=2′9″.69.

    第二步,計(jì)算參考線的斜率k:由式(19)和式(34)得

    第三步,將k的數(shù)值代入式(41),得

    同理,重復(fù)上述步驟,計(jì)算其他恒星天文折射ψ1在不同光學(xué)厚度情況下,ψ1隨θ′變化的數(shù)值,如表2所示.

    表2 天文折射ψ1隨天頂角的變化

    8 結(jié)論

    (1)通常表述的天文折射公式為

    ψ=(>n0-1)tanθ′

    與根據(jù)光學(xué)分層推出天文折射零級近似

    ψ0=sin-1(n0sinθ′)-θ′

    是等價(jià)的,二者的數(shù)值幾乎相等.

    (2)根據(jù)Fermat原理,用“參考線法”推得等溫大氣光的極值曲線函數(shù)為

    n(kx)=1+μ0e-z0

    (3)用參考線斜率k表示天文折射

    (4)大氣光學(xué)厚度ym的不同,幾乎對ψ1沒有影響.當(dāng)θ′>70°時(shí),ψ1才略有偏差.由此看來,大氣折射是近地大氣效應(yīng).除此,表2給出,θ′=88°恒星,其ψ1=34′20″.48與古爾譚給出θ′~90°,ψ=34′40″.9相當(dāng)接近,也證實(shí)了這一點(diǎn).

    參考文獻(xiàn)

    1 胡寧生.大氣折射.中國大百科全書(天文學(xué)),1980(2):42~43

    2 J·C·強(qiáng)生.物理氣象學(xué).王鵬飛譯.北京:科學(xué)出版社,1960.24~27

    3 楊步恩.光線在湍流大氣中作Brown運(yùn)動的統(tǒng)計(jì)解釋.大連理工大學(xué)學(xué)報(bào),1991(5):515~520

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