多角度審視過山車問題
——以運(yùn)動(dòng)學(xué)物理量解決動(dòng)力學(xué)問題初探

麻志洪 陳亞琳

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江 金華 321004)

1 過山車運(yùn)動(dòng)問題

日常生活中，我們經(jīng)常有看到游樂園里的過山車從軌道上進(jìn)行360°的大旋轉(zhuǎn)，極為驚險(xiǎn)刺激.但是，如果仔細(xì)思考，我們可以抽象出這樣一個(gè)問題.

在忽略空氣阻力條件下，過山車在軌道的上半部分某一點(diǎn)處速度至少達(dá)到多少時(shí)，過山車不會(huì)從該點(diǎn)掉下？

現(xiàn)將物理現(xiàn)象抽象為物理問題.如圖1所示，位于豎直平面內(nèi)的光滑圓形軌道，半徑為R，一質(zhì)量為m的小球在圓形軌道上運(yùn)動(dòng)，若小球能夠通過圖中P(x0,y0)位置不掉下(忽略一切阻力)，設(shè)此時(shí)小球的速度為v，問v至少為多少？

圖1

2 多種解法

(1)運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解

設(shè)此時(shí)軌道對(duì)小球的壓力為N，小球與坐標(biāo)軸原點(diǎn)的連線與y軸的夾角為θ.則

其中，N=0為臨界狀態(tài).

解得

創(chuàng)新點(diǎn)：運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律形式簡(jiǎn)單，運(yùn)算簡(jiǎn)便，具有相當(dāng)大的優(yōu)越性，同時(shí)也是學(xué)生常用的解法.

(2)運(yùn)用矢量的方法求解

如圖2，假設(shè)P點(diǎn)以上軌道不存在，小球?qū)⒆鲂睊佭\(yùn)動(dòng)，根據(jù)斜坐標(biāo)法，斜拋運(yùn)動(dòng)可以等效成豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)與沿著v方向的勻速直線運(yùn)動(dòng).

圖2

設(shè)小球在P點(diǎn)開始做斜拋運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過很小的一段時(shí)間t(t→0)，則小球沿著v方向的位移矢量大小為R1，同時(shí)自由落體的位移矢量大小為R2，R1在豎直方向上的投影為R1cosθ，可得表達(dá)式

M(y)=R1sinθ-R2+Rcosθ

同時(shí)，與M橫坐標(biāo)相同的N點(diǎn)縱坐標(biāo)為

要使小球不從軌道上掉下，只需要

M(y)≥N(y)

即得到表達(dá)式

(1)

將式(1)展開并化簡(jiǎn)可得

因?yàn)閠→0，所以，令

要使該函數(shù)在t→0時(shí)大于零，則根據(jù)函數(shù)極限知識(shí)，解得

創(chuàng)新點(diǎn)：通過矢量的觀點(diǎn)解決該問題，雖然運(yùn)算上稍加復(fù)雜，卻從一定程度上提示我們，這一問題是有其他解法的.

(3)對(duì)解法2的另一種闡述

我們可以通過解出使小球不能在軌道上的運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度來(lái)解出答案.當(dāng)小球不能在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球?qū)⒆鲂睊佭\(yùn)動(dòng).

將速度v分解成水平方向vx與豎直方向vy.只需小球在很小一段時(shí)間內(nèi)豎直方向上的上升高度小于因小球水平方向移動(dòng)時(shí)圓上增加的高度，小球?qū)⒉荒苎刂鴪A軌道運(yùn)動(dòng).

只需要ΔH1≤ΔH2，即可解出小球不能沿軌道運(yùn)動(dòng)的速度.

圖3

后面的解法與解法2相同，再取v的在正實(shí)數(shù)的補(bǔ)集即解出答案，在此不做闡述.

創(chuàng)新點(diǎn)：此解法雖與解法2大體相同，但采用不同的速度分解方式亦體現(xiàn)出物理學(xué)不同的思考方式就有不同的物理解釋.

(4)當(dāng)小球位于P點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)在軌跡A上的右導(dǎo)數(shù)小于在軌跡B(即圓軌道上)上的右導(dǎo)數(shù)，由微分知識(shí)可知，存在區(qū)間(x1,x2)曲線A將位于曲線B下方，即小球?qū)?huì)脫離圓軌道.

圖4

當(dāng)時(shí)間取極限t→0時(shí)，P點(diǎn)在軌跡A上的右導(dǎo)數(shù)與離P點(diǎn)無(wú)限接近的軌跡A上的F點(diǎn)的切線斜率相等，同理，在軌跡B上的右導(dǎo)數(shù)與離P點(diǎn)無(wú)限接近的軌跡B上的M點(diǎn)的切線斜率相等，又已知軌跡A的切線方向即小球的速度方向，則當(dāng)小球在P點(diǎn)剛好沿著A軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，在很小一段時(shí)間Δt后，速度傾斜角將小于對(duì)應(yīng)相同橫坐標(biāo)圓上點(diǎn)的切線傾斜角.設(shè)v的傾斜角為α，t時(shí)間后切線的傾斜角為β，設(shè)圓的方程為x2+y2=R2，在P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圓的方程為

可列出表達(dá)式

(2)

(3)

由極限知識(shí)可知，當(dāng)小球不能沿著軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)只需

tanα≤tanβ

將式(3)、(4)代入，因?yàn)閠→0，略去高階無(wú)窮小，可得

-2Rv3tsinθcos3θ<

2Rv3tsin3θcosθ-2vgtsinθcos2θR2

進(jìn)一步化簡(jiǎn)并取v正實(shí)數(shù)上的補(bǔ)集即得出答案

創(chuàng)新點(diǎn)：通過做向心運(yùn)動(dòng)后速度傾斜角與圓切線傾斜角的關(guān)系得出答案也不失為一種方法.

(5)通過運(yùn)動(dòng)學(xué)方法，運(yùn)用曲率知識(shí)進(jìn)行求解.

數(shù)學(xué)知識(shí)補(bǔ)充：

其中，k為曲率半徑，有

通過上述數(shù)學(xué)知識(shí)，可尋求y=y(x)的關(guān)系式，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

圖5

假設(shè)P點(diǎn)以上軌道不存在，則小球在P點(diǎn)以后將有3種情況：

1)沿著路徑c小球?qū)?huì)下落，不能沿著軌道運(yùn)動(dòng)；

2)沿著圓弧路徑b，小球剛好能沿著軌道運(yùn)動(dòng)；

3)沿著路徑a運(yùn)動(dòng)，則小球?qū)?huì)飛出軌道，此時(shí)也就是小球在P點(diǎn)的曲率半徑大于圓的半徑，列出小球的運(yùn)動(dòng)方程則有

x-x0=vtcosθ

聯(lián)立得

所以

得

創(chuàng)新點(diǎn)：運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)結(jié)合曲率公式，也較為巧妙地解決動(dòng)力學(xué)問題.

解法總結(jié)：從以上5種方法我們可以發(fā)現(xiàn)很有意思的一個(gè)物理現(xiàn)象，方法1利用加速度解題，方法2利用位移解題，而方法3利用速度解題，這幾個(gè)物理量也正是運(yùn)動(dòng)學(xué)中最關(guān)鍵的物理量，均可作為解題思路，由此可見物理學(xué)體系的統(tǒng)一性.

3 多解過山車問題的思考

在物理的學(xué)習(xí)中，思維處于核心地位，而本節(jié)“一題多解“方法在一定程度上體現(xiàn)創(chuàng)新理念，注重各物理量既有聯(lián)系又有差別的理念建立過程，注重科學(xué)的研究方法，應(yīng)用全方位知識(shí)解決實(shí)際問題。

從創(chuàng)新思維的可行性入手，為問題的深入理解提供可靠的條件．在總體上，注意緊緊圍繞學(xué)習(xí)目的，循序漸進(jìn)地從提出問題，建立模型、全方位尋找方法去解釋一些物理現(xiàn)象，以增強(qiáng)自身理性知識(shí)為突破口，走出思維定勢(shì)的陰影，奔向創(chuàng)新的陽(yáng)關(guān)大道.

參考文獻(xiàn)

1 程君妮.開放實(shí)驗(yàn)與學(xué)生創(chuàng)新思維培養(yǎng)模式之初探.物理通報(bào)，2011(2)

2 陳禮，關(guān)偉.過山車動(dòng)力學(xué)建模與仿真.中國(guó)工程機(jī)械學(xué)報(bào)，2010(4)

3 趙堅(jiān).機(jī)械能守恒定律理解中一個(gè)值得重視的問題.物理通報(bào)，2006(6)