樂(lè)高差速器中齒輪組內(nèi)部角速度關(guān)系初探
——用高中物理知識(shí)解釋簡(jiǎn)易差速器

郝志國(guó) 沈麗

(張家口市宣化第一中學(xué) 河北 張家口 075100)

1 差速器用途[1]

差速器是一種能使旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)自一根軸傳至另一根軸，并使兩軸實(shí)現(xiàn)不同的轉(zhuǎn)速的差動(dòng)機(jī)構(gòu)．簡(jiǎn)單地說(shuō)，差速器就是在汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)，能夠讓汽車的內(nèi)側(cè)車輪與外側(cè)車輪以不同轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)的裝置，下面通過(guò)圖片可以簡(jiǎn)要說(shuō)明．

汽車直行時(shí)，兩側(cè)車輪轉(zhuǎn)速相同，角速度也相同，如圖1(a)所示，即ω內(nèi)=ω外.

汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)，外側(cè)車輪要比內(nèi)側(cè)車輪走過(guò)的弧長(zhǎng)更長(zhǎng)，如圖1(b)所示，所以外側(cè)車輪要求轉(zhuǎn)速更快，即ω外>ω內(nèi)．如果兩側(cè)車輪都固定在同一根軸上，這是不可能實(shí)現(xiàn)的，這就需要差速器來(lái)完成．

圖1 汽車直行和轉(zhuǎn)彎時(shí)，兩輪的轉(zhuǎn)速和角速度

2 普通差速器的結(jié)構(gòu)(以樂(lè)高差速器為例)

這里我們以最簡(jiǎn)單最基本的差速器——樂(lè)高差速器為例，簡(jiǎn)單做一下差速器結(jié)構(gòu)的介紹，至于各種實(shí)際車輛中更復(fù)雜的差速器我們暫不討論．

差速器由兩個(gè)與車軸固定的齒輪，我們稱之為太陽(yáng)齒輪S1，S2，由一個(gè)固定在框架上的行星齒輪P和一個(gè)行星框架(差速器外殼)組成，其中3個(gè)齒輪都是錐形齒輪．如圖2所示，兩個(gè)太陽(yáng)輪分別與兩個(gè)車軸固定連接， 即分別與兩車輪有相同的轉(zhuǎn)速，行星齒輪固定在差速外殼上，并受太陽(yáng)齒輪的影響而轉(zhuǎn)動(dòng)，因此，差速器外殼與行星齒輪一起公轉(zhuǎn)，有相同的角速度．

圖2 差速器的結(jié)構(gòu)圖

3 用高中物理知識(shí)解釋簡(jiǎn)易差速器中齒輪組的角速度關(guān)系

首先，我們要用高中物理知識(shí)，先解釋最基礎(chǔ)的兩齒輪相互咬合時(shí)的角速度關(guān)系，然后再解釋行星齒輪組的角速度關(guān)系，最后解釋差速器中齒輪組的角速度關(guān)系，目的是總結(jié)出車輪在直行和轉(zhuǎn)彎時(shí)差速器的運(yùn)行規(guī)律．

3.1 兩固定齒輪咬合時(shí)角速度的關(guān)系[2]

如圖3，齒輪A，B分別固定在兩軸上軸心分別為O1，O2，A齒輪的半徑為r1，角速度為ω1，線速度為v1，B齒輪的半徑為r2，角速度為ω2，線速度為v2．當(dāng)A齒輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，會(huì)帶動(dòng)B齒輪按如圖4方式轉(zhuǎn)動(dòng)，兩齒輪相互咬合，故具有相同的線速度

v1=v2

(1)

v1=ω1r1

(2)

v2=ω2r2

(3)

(4)

圖3

3.2 行星齒輪與太陽(yáng)齒輪咬合時(shí)公轉(zhuǎn)線速度與自轉(zhuǎn)線速度的關(guān)系

我們將差速器結(jié)構(gòu)圖(圖2)轉(zhuǎn)過(guò)90°來(lái)看一下．此時(shí)行星框架內(nèi)部的結(jié)構(gòu)就如圖4，上下兩個(gè)太陽(yáng)齒輪之間是一個(gè)行星齒輪．要想研究?jī)蓚€(gè)太陽(yáng)齒輪和行星齒輪之間的角速度，我們先研究一下行星齒輪在水平齒條上轉(zhuǎn)動(dòng)的情形．

圖4 差速器結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)90°

水平齒條可看作半徑無(wú)限大的齒輪，行星齒輪整體前進(jìn)(公轉(zhuǎn))的同時(shí)也在繞輪心轉(zhuǎn)動(dòng)(自轉(zhuǎn))，我們先研究一下齒輪輪心前進(jìn)的速度v公和齒輪邊緣轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的線速度v自之間的關(guān)系．如圖5在齒輪上標(biāo)記一點(diǎn)Q，當(dāng)Q轉(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí)，Q走過(guò)的路程就是齒輪邊緣的周長(zhǎng)，可以觀察到輪心的初末位置之間的距離也是這個(gè)周長(zhǎng)，也就是說(shuō)輪心在相同的時(shí)間也移動(dòng)了相同的距離， 這就說(shuō)明了

v公=v自

圖5

如果齒條本身也向前運(yùn)動(dòng)，向前移動(dòng)的速度是v1，則齒輪在齒條上向前轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，也隨齒條一起向前移動(dòng)，由圖6的幾何關(guān)系式可得

v公t=v自t+v1t

即

v公=v自+v1

圖6

然后可以把齒條換成一個(gè)有確定半徑的齒輪——太陽(yáng)齒輪，在太陽(yáng)輪自己繞軸心O1轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，行星輪也圍繞太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)．如圖7所示，當(dāng)太陽(yáng)齒輪邊緣轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度是v1時(shí)，行星齒輪邊緣自轉(zhuǎn)的線速度v自與行星齒輪輪心公轉(zhuǎn)的線速度v公也滿足

v公=v自+v1

圖7

再由線速度與角速度和半徑的關(guān)系知

ω公r日=ω自r星+ω1r日

下面來(lái)分析樂(lè)高差速器中一個(gè)太陽(yáng)齒輪與行星齒輪的關(guān)系，簡(jiǎn)易圖如圖8所示，雖然行星齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)平面與太陽(yáng)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)平面垂直，但是把行星齒輪在太陽(yáng)輪平面上投影，我們?nèi)匀豢梢园l(fā)現(xiàn)和圖8中兩齒輪共面時(shí)的規(guī)律相同， 即滿足

ω公r日=ω自r星+ω1r星

圖8

若r星=r日(既太陽(yáng)輪與行星輪采用相同齒輪)，則有

ω公=ω自+ω1

(9)

接下來(lái)我們研究齒條在齒輪的上方時(shí)，齒條與齒輪的速度關(guān)系．由圖9的幾何關(guān)系式可得

v2t=v自t+v公t

即

v2=v自+v公

圖9

同理，樂(lè)高差速器(齒輪組簡(jiǎn)圖如圖11)中的齒輪組另一個(gè)太陽(yáng)齒輪(圖10中上方太陽(yáng)輪)與行星齒輪的關(guān)系應(yīng)滿足

v2=v自+v公

圖11 差速器與兩車輪連接方式圖

又因?yàn)樯舷聝蓚€(gè)太陽(yáng)輪與中間行星齒輪均采用相同齒輪，所以滿足

ω2=ω自+ω公

(10)

聯(lián)立式(9)、(10)可得

2ω公=ω2+ω1

(11)

3.3 樂(lè)高差速器與車輪連接的三種工作狀態(tài)

差速器與兩個(gè)車輪連接的方式如圖11所示．

圖11

3.3.1 小車直行時(shí)

當(dāng)小車直行時(shí)，左右兩輪在相同的時(shí)間走過(guò)相同的距離，所以有左右兩輪的角速度相同，即

ω1=ω2

因2ω公=ω2+ω1，有ω公=ω2=ω1．

也就是說(shuō)兩個(gè)太陽(yáng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同、在數(shù)值上角速度相同，此時(shí)行星輪沒(méi)有自轉(zhuǎn)只有公轉(zhuǎn)．所以太陽(yáng)輪S1和S2等轉(zhuǎn)速向前轉(zhuǎn)一圈，行星輪P也帶動(dòng)行星框架向前公轉(zhuǎn)一圈，可以視為兩車輪同軸轉(zhuǎn)動(dòng)．

3.3.2 小車一個(gè)輪不動(dòng)，另一個(gè)輪繞其轉(zhuǎn)動(dòng)

小車一個(gè)輪不動(dòng)，與其相連的一個(gè)太陽(yáng)齒輪S1也會(huì)不動(dòng)，即ω1=0，由于以前推出2ω公=ω2+ω1，可知2ω公=ω2，又由于ω2=ω自+ω公，所以

即太陽(yáng)齒輪轉(zhuǎn)一圈時(shí)，行星齒輪自轉(zhuǎn)半圈，并且公轉(zhuǎn)半圈．也就是說(shuō)當(dāng)一側(cè)車輪不轉(zhuǎn)動(dòng)，另一側(cè)車輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是行星框架角速度的2倍．

3.3.3 當(dāng)小車任意轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)

由ω公=ω自+ω1可知內(nèi)側(cè)車輪的角速度小于行星框架的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，且等于行星齒輪的公轉(zhuǎn)角速度與自轉(zhuǎn)角速度之差；由ω2=ω自+ω公可知，外側(cè)車輪的角速度大于行星框架的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，且等于行星齒輪的公轉(zhuǎn)角速度與自轉(zhuǎn)角速度之和．所以兩個(gè)車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的不同是靠行星輪的自轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)的，且與行星輪的自轉(zhuǎn)角速度無(wú)關(guān)

2ω公=ω2+ω1

4 小結(jié)

本文旨在利用高中物理運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)解釋清楚差速器中齒輪組內(nèi)部角速度關(guān)系．我們首先研究齒輪在齒條上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，齒輪邊緣的自轉(zhuǎn)速度與齒輪輪心向前移動(dòng)的速度(稱為公轉(zhuǎn)速度)之間的關(guān)系，然后將齒條換成齒輪，亦有同樣的結(jié)果．再根據(jù)角速度與線速度的關(guān)系得出中間固定的太陽(yáng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，與行星齒輪公轉(zhuǎn)角速度、自轉(zhuǎn)角速度之間的關(guān)系．最后將平面齒輪推廣到錐形齒輪，得到內(nèi)側(cè)齒輪ω公=ω自+ω1，外側(cè)齒輪ω2=ω自+ω公，聯(lián)立兩式得2ω公=ω2+ω1，并用其解釋了在小車的三種工作狀態(tài)中，差速器齒輪組之間的角速度關(guān)系．由于學(xué)識(shí)有限，難免有疏漏和不足之處，懇請(qǐng)批評(píng)指正．

參考文獻(xiàn)

1 王望予.汽車設(shè)計(jì).北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2000.118～124

2 張大昌.高中物理·必修2.北京：人民教育出版社，2007.13～16