非慣性參考系下的慣性力應(yīng)用

黃開智 陳宏

(姜堰二中 江蘇 泰州 225500)

1 引言

高中階段，對(duì)于牛頓第二定律的應(yīng)用一般是在慣性參考系中進(jìn)行的，其實(shí)伽利略早在牛頓定律問世之前，就已經(jīng)通過觀察和實(shí)驗(yàn)論證了在力學(xué)規(guī)律面前任何慣性參考系都是平等的結(jié)論．如此，在運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律時(shí)，選擇慣性參考系似乎就成了“必然”．但一味選擇慣性系來分析問題，有時(shí)會(huì)顯得單薄，且分析過程繁瑣不堪，甚至是無法求解．面對(duì)這種尷尬境況，如果把參考系從慣性系變?yōu)榉菓T性系，出現(xiàn)的困境將會(huì)得到迎刃而解．非慣性系一般分為直線加速參考系和轉(zhuǎn)動(dòng)參考系，本文主要介紹了直線加速參考系下慣性力的應(yīng)用．

2 非慣性系下的慣性力的引入

若選擇的參考系相對(duì)于慣性系運(yùn)動(dòng)，對(duì)于固定在該參考系中的直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)做變速直線運(yùn)動(dòng)，且各個(gè)坐標(biāo)軸的方向保持不變，該參考系就稱之為直線加速參考系，為非慣性系．

如圖1所示，剛開始，小車靜止，置于車內(nèi)光滑水平面上的小球保持靜止?fàn)顟B(tài)．此時(shí)，若小車相對(duì)于地面以加速度a向右做加速直線運(yùn)動(dòng)，從地面上觀察，小球水平方向不受外力作用，故相對(duì)地面始終保持靜止?fàn)顟B(tài)．若選擇小車為參考系，則小球以加速度-a向左做加速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)可以假設(shè)有一力F*作用于小球，其方向與小車相對(duì)于地面加速度的方向相反，其大小等于小球質(zhì)量m與加速度a的乘積，即F*=-ma，該力稱之為慣性力．因此，在非慣性系下，仍然可以沿用牛頓第二定律的形式，小球的加速度-a是由于慣性力F*作用于小球而產(chǎn)生的．它不同于相互作用力，首先，慣性力不是物體真實(shí)所受到的力，慣性力沒有反作用力；其次，相互作用力無論是在慣性系還是非慣性系，都能夠觀測到，而慣性力只存在于非慣性系中．

圖1

3 非慣性系下質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程的不變性

定義相對(duì)于非慣性系運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)稱之為相對(duì)運(yùn)動(dòng)，相對(duì)于地面(慣性系)的運(yùn)動(dòng)稱之為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，在非慣性參考系中的直角坐標(biāo)系O′相對(duì)于固定于地面的直角坐標(biāo)系O的運(yùn)動(dòng)稱之為牽連運(yùn)動(dòng)．如圖2所示，可得到質(zhì)點(diǎn)A相對(duì)于地面的位置矢量

r=r′+rO′

(1)

圖2

按照經(jīng)典力學(xué)的時(shí)空觀，時(shí)間在O和O′具有同時(shí)性，因此上式兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間t求二階導(dǎo)數(shù)，可得

a絕=a相+a

(2)

上式中分別表示質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)加速度，相對(duì)加速度和牽連加速度，質(zhì)點(diǎn)對(duì)于慣性系O有∑Fi=ma絕，代入式(2)則有∑Fi-ma=ma相，其中-ma表示質(zhì)點(diǎn)在O′系中所受到的慣性力F*，于是

∑Fi+F*=ma相

(3)

上式表明，在直線加速的非慣性系中，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與相對(duì)加速度的乘積等于作用于該質(zhì)點(diǎn)的相互作用力和慣性力的合力，從形式上看，保持了質(zhì)點(diǎn)在慣性系中的動(dòng)力學(xué)方程特點(diǎn)[1]．

4 慣性力的應(yīng)用

【例1】升降機(jī)A內(nèi)有一裝置，如圖3(a)所示，懸掛的兩物體的質(zhì)量各為m1，m2且m1>m2．若不計(jì)繩及滑輪質(zhì)量，不計(jì)軸承處的摩擦，繩不可伸長，求當(dāng)升降機(jī)以加速度a向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩物體的加速度分別是多少？繩子的拉力是多少？

圖3

解析:該題要求解兩物體的加速度，如果選擇的參考系是地面，則對(duì)兩物體而言，分別運(yùn)用牛頓第二定律時(shí)，發(fā)現(xiàn)各自的加速度無法求解，此時(shí)運(yùn)用式(2)的加速度運(yùn)算關(guān)系才能求解；但如果一開始選擇的參考系是升降機(jī)(非慣性系)，則對(duì)兩物體運(yùn)用在直線非慣性系的動(dòng)力學(xué)方程式(3)，則可輕易解出輕繩的拉力和各自的加速度．下面運(yùn)用這兩種方法，分別求解．

4.1 在慣性系下的求解

選擇地面為參考系，則對(duì)m1，m2而言，其受力情況如圖3(b)所示，設(shè)各自的加速度為a1，a2，向下為正方向，運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律可得

(4)

設(shè)物體相對(duì)于升降機(jī)的加速度為a相，運(yùn)用式(2)加速度關(guān)系式，則有

(5)

聯(lián)立(4)、(5)方程組，得到兩物體的加速度、相對(duì)于升降機(jī)的加速度和繩子的拉力為

(6)

4.2 在非慣性系下的求解

選擇升降機(jī)為參考系，則對(duì)m1，m2而言，除了受重力和拉力之外還受到向上的慣性力，其受力情況如圖3(b)所示，設(shè)各自的加速度為a1，a2，向下為正方向，非慣性系下的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程式(3)可得

(7)

通過上式可以立即求得繩子的拉力相對(duì)于升降機(jī)的加速度為

(8)

接下來利用式(2)，求得物體的加速度

(9)

討論：對(duì)比該題在慣性系下和非慣性系下的求解過程，不難發(fā)現(xiàn)在慣性系下分析時(shí)，容易出錯(cuò)，并且不好理解，但在非慣性系下，加上慣性力之后，保證了質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程形式不變的前提下，更容易理解，比在慣性系下解題的思維要簡單，且容易接受．

4.3 非慣性系下的求解示例

圖4

【例2】如圖4(a)所示，傾角為θ，質(zhì)量為M的直角三棱柱放置在光滑的水平面上，現(xiàn)將一質(zhì)量為m的光滑小物塊放置于斜面上，求小滑塊在下滑過程中，滑塊和三棱柱的加速度大小？

解析:該題要求解兩物體的加速度，同理，如果選擇的參考系是地面，則對(duì)小物塊而言，一方向相對(duì)于斜面做加速運(yùn)動(dòng)，另一方面斜面也在做加速運(yùn)動(dòng)，很難分析出其加速度的大小，因此該題選擇斜面為參考系，此時(shí)小物塊在斜面方向做加速運(yùn)動(dòng)，垂直斜面方向保持相對(duì)靜止，則可以列出在非慣性系下的

動(dòng)力學(xué)方程．

選擇三棱柱為參考系，設(shè)t時(shí)刻物塊相對(duì)于斜面的加速度為a相，相對(duì)于地面的加速度為am，三棱柱的加速度為aM，小物塊和三棱柱的受力分析如圖4(b)所示，于是可以得到小物塊的動(dòng)力學(xué)方程

(10)

解得

(11)

對(duì)于小物塊而言，其加速度am=a相+aM，于是最終得到物塊的加速度大小為

(12)

5 小結(jié)

在非慣性系中分析問題，有其獨(dú)特的優(yōu)勢，可以簡化分析問題的思路，優(yōu)化解題步驟，但必須要正確處理慣性力，要抓住研究對(duì)象相對(duì)非慣性系的運(yùn)動(dòng)情況，在引入慣性力之后，正確列出動(dòng)力學(xué)方程是關(guān)鍵．

參考文獻(xiàn)

1 漆安慎，杜嬋英.普通物理學(xué)教程.北京：高等教育出版社，2005.85～86