奇數(shù)項數(shù)據(jù)的最佳逐差間隔數(shù)與誤差分析

許湘苗

(江門市第一中學 廣東 江門 529080)

逐差法常用于處理等間隔數(shù)據(jù)和滿足線性方程的數(shù)據(jù)，其是將測量得到的數(shù)據(jù)按自變量的大小順序排列后平分為前后兩組, 先求出兩組中對應項的差值(即求逐差) , 然后取其平均值．如果測量數(shù)據(jù)為N=2l-1項時，一般要先剔除中間數(shù)據(jù)，再進行分組，方可確保誤差達到最?。欢死碚搮s缺乏相關的數(shù)學分析和理論上的闡述．因此，本文試圖在分析逐差間隔n對計算結果誤差大小以及數(shù)據(jù)利用程度的影響，從而驗證剔除中間數(shù)據(jù)的必要性．

1 逐差間隔數(shù)n越大絕對誤差δa越小

假設測定9項實驗數(shù)據(jù)s1，s2，…，s9，即N=9,

l=5，若取逐差間隔n=3，則可分為6組，分別為s4-s1，s5-s2，s6-s3，s7-s4，s8-s5，s9-s6；若取n=6，則可分為s7-s1，s8-s2，s9-s3．隨著逐差間隔數(shù)n取值的變化，數(shù)據(jù)的分組也隨之變化．從以上例子可總結出，當測定N項數(shù)據(jù)，逐差項為n，組數(shù)g=N-n．那么當取何值時，能盡量減少計算誤差呢？下面就來探討這個問題．

等間距的測量N=2l-1項數(shù)據(jù)，測量值為s，每相鄰數(shù)據(jù)的間隔為T2，未知數(shù)為a．s與a線性關系表示為

s1=v0t+aT2

s2=v0t+2aT2

s3=v0t+3aT2

s4=v0t+4aT2

?

s2l-1=v0t+2l-1aT2

設隔n項逐差，n的區(qū)間為1,2l-2中的任意整數(shù)，逐差后表達式為

Δsi=si+n-si=naT2i=1,2,3，…，2l-1

共有N-n個Δsi，每個Δsi對應一個a，則每個a可表示為

因此a的平均值為

(1)

a的絕對誤差為

(2)

根據(jù)和差的誤差傳遞公式，設s的誤差為δs，則

(3)

在實驗過程中，采用相同的儀器和方法進行測量，因此可認為，所產(chǎn)生的誤差來源于隨機誤差，經(jīng)過多次測量，其δs趨近一個小量d，則

(4)

聯(lián)立式(1)～(4)，得

上式表明，逐差間隔數(shù)n的取值區(qū)間為1,2l-2中的任意整數(shù)，且n越大，誤差δa越小．

假設測得一組N=9,l=5分別為s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7,s8,s9，當逐差間隔數(shù)n=3，可分為6組，分別為

由結果發(fā)現(xiàn)，在計算的過程中s4，s5，s6因被重復利用兩次而相互抵消．假設選擇逐差間隔數(shù)n=5，可分為4組，如下

假設選擇逐差間隔數(shù)n=7，如下

以上舉例表明，盡管n的取值越大，絕對誤差δa越小，但是當n大于一定值時，數(shù)據(jù)未被充分利用．使用逐差法的優(yōu)勢就是能夠充分地利用每一個數(shù)據(jù)進行運算，而以上計算結果卻違背了使用初衷．

2 當n=l或n=l-1時數(shù)據(jù)的利用程度最高

為解決上一小節(jié)問題，我們需要計算出最大的nmax，使得數(shù)據(jù)能被充分利用，且誤差δa足夠小．由于

(5)

根據(jù)逐差法以及代數(shù)連加的特點，計算過程中部分數(shù)據(jù)相互抵消，因此

式(1)可改寫為

(6)

由于n與N-n是等效的，所以當逐差間隔數(shù)為n時，將會有2n-N項數(shù)據(jù)未被利用．其中，2n為偶數(shù)，N=2l-1為奇數(shù)，因此2n-N的最小整數(shù)值為1，求得n=l或n=l-1．因此，n的最大取值為nmax=l．

綜上所述，當nmax=l時滿足充分利用數(shù)據(jù)以及使得計算結果誤差足夠?。?/p>

3 nmax=l時中間數(shù)據(jù)恰好被抵消或剔除

從前兩節(jié)的結論可見，奇數(shù)項數(shù)據(jù)使用逐差法過程中，為充分利用數(shù)據(jù)，且使絕對誤差δa達到最小，逐差間隔的取值為nmax=l．下面以一組數(shù)據(jù)探討一下其內(nèi)在規(guī)律．

假設測得一組N=9,l=5數(shù)據(jù)分別為s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7,s8,s9，當n分別取1～8時，數(shù)據(jù)的利用率如表1所示.

表1 隨著n的變化未被利用的數(shù)據(jù)si

通過表格和計算過程，可見當n=l-1=4或n=l=5時，未被利用的數(shù)據(jù)只有s5，同時要滿足δa最小，則取nmax=5．以上數(shù)據(jù)表明，奇數(shù)項數(shù)據(jù)使用逐差法進行計算過程中，為充分利用數(shù)據(jù)并使誤差達到最小，所剔除的數(shù)據(jù)恰好為中間數(shù)據(jù)．

當nmax=l時，將數(shù)據(jù)從小到大排列，處于中間數(shù)據(jù)為sl，對式(6)進行展開，得

因此，利用逐差法處理奇數(shù)項數(shù)據(jù)的過程中，在合理的選擇逐差間隔的前提下，剔除中間數(shù)據(jù)恰能使誤差達到最小．

4 結論

將奇數(shù)項N=2l-1等間隔數(shù)據(jù)按順序從小到大排列，并采用逐差法處理數(shù)據(jù)時，其誤差及數(shù)據(jù)的利用程度與逐差間隔n存在密切相關性．當且僅當nmax=l時，只有2n-N=1項數(shù)據(jù)未被利用，數(shù)據(jù)利用程度達到最高且未知數(shù)δa的誤差最小．為滿足此條件以及逐差法定義，位置處于最中間的數(shù)據(jù)sl恰好被剔除或抵消．

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