“構(gòu)造”使參考系變換更簡(jiǎn)潔

梅鑫華

(南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院 江蘇 南京 210046)

在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，絕對(duì)速度、相對(duì)速度和牽連速度是十分重要卻又容易混淆的概念，對(duì)于高中生尤其是高一學(xué)生，掌握與理解這3個(gè)速度具有一定的難度．文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]，分別介紹了“矢量圖”及“下標(biāo)標(biāo)注法”處理相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題，使問題解決避開了3個(gè)速度的具體討論．筆者閱讀后深受啟發(fā)，結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，也來談?wù)劇皹?gòu)造法”處理運(yùn)動(dòng)類問題的簡(jiǎn)潔性．

“加1減1”是數(shù)學(xué)解題中常見的技巧，筆者將其引入物理，并稱之為“構(gòu)造法”．請(qǐng)先看數(shù)學(xué)兩例．

1數(shù)學(xué)計(jì)算兩例——引出“構(gòu)造法”

【例1】x2+2x=0配方后得______.

簡(jiǎn)解：等式左邊x2+2x要配方，必須加一個(gè)1．為使等式保持不變，加1之后要減1．即x2+2x+1-1=0，配方得(x+1)2-1=0，移項(xiàng)后得

(x+1)2=1

簡(jiǎn)解：

從以上兩例看出，當(dāng)我們需要一個(gè)數(shù)時(shí)，可以構(gòu)造之，但為了保持與原式相等，須同時(shí)減去構(gòu)造的數(shù)值．引入到物理運(yùn)動(dòng)類題目時(shí)，即得“構(gòu)造法”：當(dāng)我們需要使某物體具有某速度時(shí)，可以構(gòu)造之，但為了保持與原運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同，則同時(shí)需構(gòu)造相反的速度．示意圖如圖1，圖中a與c的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是等效的．通過這樣的構(gòu)造，可使參考系變換更簡(jiǎn)潔，有利于解題．

圖1 構(gòu)造法示意圖

2 參考系變換一例 ——引出“構(gòu)造法”的參考系變換

【例3】如圖2所示，小球a以速度v1豎直向下運(yùn)動(dòng)，小球b以速度v2水平向右運(yùn)動(dòng)，若以球a為參考系，則小球b的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？

圖2

簡(jiǎn)解：本題以a為參考系，先在b球中構(gòu)造與a相同的速度，同時(shí)構(gòu)造相反的速度．當(dāng)以a為參考系時(shí)，b的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)即為除v1外，剩下速度的合速度v3，如圖3所示．

圖3

使用“構(gòu)造法”的參考系變換簡(jiǎn)潔性，主要體現(xiàn)為：只有矢量加，而無矢量減．這種參考系的變換法具體描述如下：A，B兩物體，當(dāng)以A為參考系時(shí)，先在B中構(gòu)造A的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及相反的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，略去與A相同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，剩下運(yùn)動(dòng)的合成即為B物體以A為參考系時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．事實(shí)上，許多相對(duì)運(yùn)動(dòng)題目，就是選擇參考系的問題．

3 “構(gòu)造法”的應(yīng)用實(shí)例

【例4】某人以4 m/s的速度勻速向東行走，假設(shè)雨以3 m/s的速度相對(duì)于地豎直下落．問此人感受到的雨滴的速度大小和方向如何？

解：人感受雨滴的速度，即雨滴以人為參考系時(shí)的速度．根據(jù)“構(gòu)造法”參考系變換，先在雨滴中構(gòu)造出人的速度及反速度，略去與人相同的速度，剩下速度的合速度即為雨滴相對(duì)于人的速度，如圖4所示．

圖4

對(duì)于一道容易產(chǎn)生負(fù)遷移的玻璃切割問題，“構(gòu)造法”也同樣適用．

【例5】玻璃生產(chǎn)線上，寬4 m的成型玻璃板以6 m/s的速度連續(xù)不斷的向前行進(jìn)，在切割工序中，金剛石刀的走刀速度是10 m/s，為了使割下的玻璃板都成規(guī)定尺寸的矩形．問金剛石刀的切割軌道應(yīng)如何控制？

圖5

對(duì)于某些電磁綜合題，用“構(gòu)造法”恰到好處．

【例6】(2008年高考江蘇卷第14題)在場(chǎng)強(qiáng)為B的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一質(zhì)量為m，帶正電q的小球在O點(diǎn)靜止釋放，小球的運(yùn)動(dòng)曲線如圖5所示．已知此曲線在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到x軸距離的2倍(重力加速度為g)．求 ：

(1)小球運(yùn)動(dòng)到任意位置P(x,y)的速率；

(2)小球在運(yùn)動(dòng)過程中第一次下降的最大距離ym；

(3)當(dāng)在上述磁場(chǎng)中加一豎直向上場(chǎng)強(qiáng)為E

圖6

解：第(1)、(3)問略，這里重點(diǎn)解第(2)問．分析可知，由于重力的存在，小球的速度大小是變化的，對(duì)應(yīng)的洛倫茲力也是變化的．倘若構(gòu)造一個(gè)速度v，使洛倫茲力與重力平衡，則由重力導(dǎo)致的速度大小變化就不復(fù)存在，但同時(shí)需要構(gòu)造一個(gè)相反的速度v′．通過構(gòu)造，小球的運(yùn)動(dòng)情況為：以速度v勻速向右運(yùn)動(dòng)；同時(shí)以相反的速度v′，在洛倫茲力下做圓周運(yùn)動(dòng)．實(shí)際運(yùn)動(dòng)為勻速運(yùn)動(dòng)及圓周運(yùn)動(dòng)的合成．顯然，第一次下降的最大距離即為圓周運(yùn)動(dòng)直徑

由于構(gòu)造速度v滿足

qvB=mg

因此

簡(jiǎn)評(píng)：由以上解法可知，題中即便不給“最低點(diǎn)曲率半徑”的條件，也能求解．此外，這種類型的電磁綜合題，通過“構(gòu)造法”還可求得其軌跡方程．

此題，勻速運(yùn)動(dòng)的位移方程

圓周運(yùn)動(dòng)位移方程

合運(yùn)動(dòng)的軌跡參數(shù)方程即為

4 小結(jié)

物理與數(shù)學(xué)聯(lián)系緊密，不僅表現(xiàn)在數(shù)學(xué)運(yùn)算上，還表現(xiàn)在解題技巧上．通過“構(gòu)造法”，可使參考系的變換“只有矢量加，而無矢量減”，在處理相對(duì)運(yùn)動(dòng)問題時(shí)能夠收到很好效果．而在處理某些電磁綜合題時(shí)，通過“構(gòu)造法”，使一部分洛倫茲力與其他恒力相平衡，將復(fù)雜的實(shí)際運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化成勻速直線運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)的合成．

參考文獻(xiàn)

1 黃效新.巧用矢量圖速解相對(duì)運(yùn)動(dòng)問題.物理通報(bào)，2010(5):31～32

2 李文勝，孫建美.處理相對(duì)運(yùn)動(dòng)的一種簡(jiǎn)潔方法.物理通報(bào)，2011(8):94～95