巧探何處速度最大

汪飛

(江蘇省海門(mén)中學(xué) 江蘇 南通 226100)

在力學(xué)中，有一道小物塊在有摩擦的豎直圓周軌道中運(yùn)動(dòng)時(shí)何處速度最大的問(wèn)題.

題目：如圖1所示，一物塊從半圓形軌道頂端無(wú)初速滑下，當(dāng)物體通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，速度為v，已知物體和軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，圓軌道半徑為R，則物塊滑過(guò)最低點(diǎn)時(shí)受到的摩擦力為多少？并討論在下滑過(guò)程中，何處速度最大？

圖1

分析：通過(guò)對(duì)物塊下滑過(guò)程中的受力情況和做功情況的分析，易得

要想得出何處速度最大，必須求出物塊在下滑過(guò)程中克服摩擦力做的功Wf，由于摩擦力f為變力，按照常規(guī)思路應(yīng)通過(guò)積分來(lái)求Wf，得

將Wf代入動(dòng)能定理表達(dá)式得

mgRsinθ-(1-cosθ)μmgR-

此式是v與θ間的復(fù)雜的隱函數(shù)，無(wú)法通過(guò)積分知識(shí)求出v與θ間顯性的函數(shù)表達(dá)式，也就無(wú)法根據(jù)極值條件求出速度最大的位置．通過(guò)對(duì)上式的仔細(xì)研究，發(fā)現(xiàn)通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃慰梢杂靡浑A非齊次線性微分方程理論求出v與θ間的表達(dá)式[2]．

應(yīng)用微分方程理論求解：

化簡(jiǎn)

mgRsinθ-(1-cosθ)μmgR-

得

2gRsinθ-2μgRcosθ+2μgR=0

(1)

令v2=f(θ)，則式(1)變?yōu)?/p>

2μgRcosθ+2μgR=0

(2)

對(duì)式(2)進(jìn)行一階求導(dǎo)得

f′(θ)+2μf(θ)=2gRcosθ-2μgRsinθ

(3)

令φ(θ)=2gRcosθ-2μgRsinθ，則式(3)變?yōu)?/p>

f′(θ)+2μf(θ)=φ(θ)

(4)

式(4)為一階非齊次線性方程.由式(1)可知此方程的初始條件為

f(0)=0

(5)

f(θ)=Q(θ)e-2μθ

則f′(θ)=(Q′-2μQ)e-2μθ

(7)

將式(6)、(7)代入方程(4)得

(Q′-2μQ)e-2μθ+2μQe-2μθ=φ(θ)

即Q′e-2μθ=φ(θ)，兩端積分得

將此式代入式(6)得非齊次線性方程的通解為

f(θ)=C1e-2μθ+

(8)

由分部積分的方法得

(9)

(10)

將式(9)、(10)代入式(8)得非齊次線性微分方程(4)的通解為

sinθ-2μ2sinθ)

(11)

6μ2e-2μθ+(cosθ-2μ2cosθ-3μsinθ)=0

(13)

MATLAB數(shù)值分析：

為了便于極值的計(jì)算，令μ=0.5,R=1 m,g=10 m/s2，極值條件式(13)為

3e-θ+cosθ-3sinθ=0

(14)

式(12)為

(15)

可利用計(jì)算軟件MATLAB中方程求解函數(shù)fsolve( )，對(duì)式(14)、(15)進(jìn)行數(shù)值分析．

打開(kāi)MATLAB，在命令窗口輸入：f=@(x)(3*exp(-x)+cos(x)-3*sin(x)); x=fsolve(f,0.7)按回車(chē)鍵后命令窗口顯示出：ans =0.774 4．即當(dāng)θ=0.774 4=44.37°時(shí)，速度達(dá)到最大．繼續(xù)在命令窗口輸入：x=0.774 4;v=sqrt(-15*exp(-x)+5*sin(x)+15*cos(x))按回車(chē)鍵后，命令窗口顯示出最大速度vm=2.702 7 m/s．

同時(shí)也可利用MATLAB中的繪圖函數(shù)plot( )對(duì)v和θ間的函數(shù)進(jìn)行研究．

在命令窗口輸入：syms x v;x=0:0.02:pi/2;

v=sqrt(-15*exp(-x)+5*sin(x)+15*cos(x));plot(x,v,′*-′)

xlabel(′角度—theta′); ylabel(′速度v′); 得出v和θ間的函數(shù)圖像如圖2所示，由圖像可以形象地分析出：

物體的速度先變大后變小，當(dāng)

θ

≈0.8時(shí)，

v

m

≈2.7 m/s．

圖2

參考文獻(xiàn)

1 賈開(kāi)鵬．何處速度最大．物理教師，2013(1)：35

2 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)第五版，北京：高等教育出版社，2002