三體相互作用下三勢阱中玻色-愛因斯坦凝聚體的穩(wěn)定性研究

穆愛霞

(平?jīng)鲠t(yī)學(xué)高等?？茖W(xué)校 甘肅 平?jīng)?744000)

1 引言

自從玻色-愛因斯坦凝聚體在實(shí)驗(yàn)上被觀測，許多研究是關(guān)于兩組分或雙耦合BEC(玻色-愛因斯坦凝聚體)的隧穿現(xiàn)象及宏觀量子自俘獲，但很少研究三組分[1～5].在目前的研究中，三囚禁勢阱中的隧穿特性已從理論上得到，多阱中的BEC自俘獲現(xiàn)象也已經(jīng)從實(shí)驗(yàn)上證明，但是其背后的相關(guān)物理實(shí)質(zhì)還未曾知道.因此，要了解多阱中的非線性約瑟夫森振蕩和自俘獲現(xiàn)象是很重要的，最簡單的三囚禁勢阱中的BEC能更多地展示一些有趣的行為且為研究光晶格BEC提供便利[6，7].

對于相互吸引的BEC，凝聚體基態(tài)原子數(shù)會在塌縮和增長間交替變化，在這個過程中，三體復(fù)合起主要作用，塌縮和增長已通過分析GP方程而證明，通過突然改變原子之間相互作用或勢阱，凝聚體易進(jìn)入長期的混沌振蕩.在本文中，我們討論有三體復(fù)合耗散效應(yīng)時(shí)，玻色-愛因斯坦凝聚體在三勢阱中的動力學(xué)特性.在三體問題中增加任何量都會增加難度，其結(jié)果是有更復(fù)雜的非線性，且基本方程中更多參數(shù)將會在模型中引入更為豐富的動力學(xué)特性和更復(fù)雜的結(jié)構(gòu).我們將結(jié)合數(shù)值分析的方法，研究三阱中有原子填充項(xiàng)和三體復(fù)合耗散時(shí)BEC特性，相對粒子數(shù)的數(shù)值結(jié)果展示了自俘獲現(xiàn)象和定態(tài)解的穩(wěn)定性.

2 含三體項(xiàng)的三模近似

(1)

(2)

為了研究玻色-愛因斯坦凝聚體在三勢阱中的動力學(xué)特性，我們采用三模近似的方法來尋找方程(2)的解

(3)

假定勢壘足夠高，在隧穿區(qū)域，波函數(shù)的重疊非常少，即三體玻色-愛因斯坦凝聚體之間為弱耦合時(shí)，三模近似得到了很好的應(yīng)用，弱耦合時(shí)空間分布函數(shù)Φ1,Φ2,Φ3在各阱中的分布滿足正交關(guān)系

(4)

i?τΨ1=(E1-U1|Ψ1|2)Ψ1-

(5)

i?τΨ2=(E2-U2|Ψ2|2)Ψ1-

(6)

i?τΨ3=(E3-U3|Ψ3|2)Ψ3-K13Ψ1-

(7)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

其中Φ1=θ2-θ1,Φ2=θ3-θ1,為了了解三勢阱中玻色-愛因斯坦凝聚體相互作用的新現(xiàn)象，我們考慮理想情況，即完全對稱的情況.所以，令

U1=U2=U3=U

E1=E2=E3

阱1,2之間的粒子數(shù)差和阱2,3之間的粒子數(shù)差相同，即N1-N2=N3-N2,且忽略1,3阱之間的作用，考慮1,2阱之間的隧穿率等于第2,3阱之間的隧穿率，Φ1=Φ2=Φ，K12=K23=K,則上面的方程變?yōu)?/p>

(15)

(16)

(17)

作如下變換N1-N2=Z，則式(15)～(17)變?yōu)?/p>

(18)

(19)

(20)

可以發(fā)現(xiàn)方程(18)～(20)不同于兩阱時(shí)的情形，在方程中出現(xiàn)了一些耦合項(xiàng)不同于文獻(xiàn)[7]中的方程(16)～(18).因此，三勢阱中中間一個阱對系統(tǒng)的隧穿特性有重要影響，我們期望三勢阱中的隧穿特性能展示與兩勢阱的區(qū)別.相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果將在下部分仔細(xì)討論.原子的填充效應(yīng)γ可被看做是一個線性放大，三體復(fù)合ξ同樣很重要，γ,U′等于零，則N是恒定不變的.當(dāng)考慮三體復(fù)合耗散時(shí)，N是隨時(shí)間變化的，此時(shí),由于γ,ξ兩項(xiàng)的出現(xiàn)，凝聚體會出現(xiàn)新的特性.這組方程是不可積分的，且數(shù)值解僅可以通過變分等近似方法得到.下面討論該非線性方程組解的穩(wěn)定性問題，我們通過改變散射長度來改變γ，從而,由調(diào)節(jié)γ得到新的特性.

3 系統(tǒng)定態(tài)解的穩(wěn)定性分析

圖1 初始條件為N(0)=29,Z(0)=10,Φ(0)=0,Φ(0)=π時(shí)，N,Φ,Z對應(yīng)的數(shù)值解

通過圖1發(fā)現(xiàn)，對于A=0.49,Φ(0)=0時(shí)，Φ和Z都在很大區(qū)域振蕩且最終沒有趨于一個定態(tài)解，但是對于A=0.55,Φ(0)=0時(shí)，Φ和Z最終都趨于一組定態(tài)解(N0=29,Φ0=0,Z0=-19.58),這些數(shù)值結(jié)果都很好地和表1對應(yīng)結(jié)果一致.因此，表1中對應(yīng)的A=0.49,Φ(0)=0一組定態(tài)解即為不穩(wěn)定的，而表1中A=0.55,Φ(0)=0對應(yīng)一組解是穩(wěn)定的.圖1中當(dāng)Φ(0)=π時(shí)，對于A=0.49,A=0.55，N,Φ,Z最終都趨于定態(tài)解,分別為

N0=68.48,Φ0=3.14,Z0=-6.69

和

N0=54.27,Φ0=3.14,Z0=-5.67

這些解同樣與表1給出的解很好地吻合.因此，表1中對應(yīng)的這些解同樣是穩(wěn)定的.所以，我們發(fā)現(xiàn)初始相位對定態(tài)解的穩(wěn)定性有重要影響.而且經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，在圖1中，當(dāng)A=0.49,Φ(0)=0時(shí)原子布居數(shù)Z在Z=-10之間振蕩，從數(shù)值上展示了三勢阱間原子的非定態(tài)量子隧穿.而當(dāng)A=0.49,Φ(0)=π時(shí)原子布居數(shù)Z在最終趨于一定值(Z=-6.69)，數(shù)值上展示了在三勢阱中原子布居數(shù)Z，可以呈現(xiàn)高度的不對稱分布，好像絕大多數(shù)原子被其中的一個阱俘獲，即系統(tǒng)進(jìn)入了自俘獲態(tài).另外，定態(tài)解的穩(wěn)定性還與參數(shù)K,γ,U′,U的改變有關(guān)，我們將在以后的研究中，展示更多參數(shù)對定態(tài)解的穩(wěn)定性的影響結(jié)果.

參考文獻(xiàn)

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7 Li Y and Hai WH. J.Phys.A:Math.gen., 2005, 38:

4 150～4 114