電磁感應(yīng)電路中功能關(guān)系的辨析

程方勇

(武漢市新洲一中 湖北 武漢 430410)

電磁感應(yīng)中的功能關(guān)系是高中物理里面非常難以理解的一部分內(nèi)容.特別是當里面含有電動機模型時，能量轉(zhuǎn)化過程很復(fù)雜，這里面有其他能轉(zhuǎn)化成電能，也有電能轉(zhuǎn)化成內(nèi)能和機械能等其他能，理清能量轉(zhuǎn)化的過程很重要.我們知道，功是能量轉(zhuǎn)化的量度，每種能的轉(zhuǎn)化必定要通過某種功去實現(xiàn).所以，當我們無法辨別能量的轉(zhuǎn)化方向時，可以借助功去分析它.在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，導(dǎo)體棒或者線圈克服安培力做功是量度其他能轉(zhuǎn)化為電能的，往往充當發(fā)電機，而當安培力對它們做正功時，則往往是消耗電能，充當電動機.

下面，筆者通過教學(xué)過程中學(xué)生極易錯的具體例題來辨析其中的功能轉(zhuǎn)化關(guān)系，與同行們一起探討.

1 雙棒問題中的功能關(guān)系

【例1】(2008年2月武漢市調(diào)考)如圖1所示，間距為l，電阻不計的兩根平行金屬導(dǎo)軌MN,PQ(足夠長)被固定在同一水平面內(nèi)，質(zhì)量均為m，電阻均為R的兩根相同導(dǎo)體棒a,b垂直于導(dǎo)軌放在導(dǎo)軌上，一根輕繩繞過定滑輪后沿兩金屬導(dǎo)軌的中線與a棒連接，其下端懸掛一個質(zhì)量為M的物體C，整個裝置放在方向豎直向上、磁感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場中.開始時,使a,b,C都處于靜止狀態(tài)，現(xiàn)釋放C，經(jīng)過時間t，C的速度為v1,b的速度為v2.不計一切摩擦，兩棒始終與導(dǎo)軌接觸良好，重力加速度為g.求：

(1)t時刻C的加速度值；

(2)t時刻a,b與導(dǎo)軌所組成的閉合回路消耗的總電功率.

圖1

解析：此題是一道力、電綜合題，比較而言，力學(xué)問題不算太難.電路分析與功能分析難度較大，是此題考查的重點，且兩者相互關(guān)聯(lián).第一問解答如下.

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，t時刻回路的感應(yīng)電動勢

(1)

回路中感應(yīng)電流

(2)

以a為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律

T-BIl=ma

(3)

以C為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律

Mg-T=Ma

(4)

聯(lián)立式(1)～(4)解得

第二問求的電路總功率，是否就是熱功率，即是否P熱=I2R，即

我們知道，只有是純電阻電路時，電功率等于熱功率.考查這個系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)化過程如圖2所示.

圖2 雙棒系統(tǒng)能量轉(zhuǎn)化過程

不難發(fā)現(xiàn)，a棒是克服安培力做功，是產(chǎn)生電能的，它是發(fā)電機，而b棒是安培力做正功，是消耗電能的，它是電動機.即由兩棒及導(dǎo)軌構(gòu)成的回路并不是純電阻電路，而是含電動機電路. 那么,電能就不是全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，還應(yīng)該加上機械能即b棒增加的動能，這樣,第二問就產(chǎn)生了第一種解法.

解法1：閉合回路消耗的熱功率

b棒的機械功率為

故閉合回路消耗的總電功率

這種解法帶來了一個新問題，那就是在第一問中計算電流的方程組(1)、(2)是否正確？需要說明的是，法拉第電磁感應(yīng)定律只是從數(shù)學(xué)角度給出了全電路的電動勢，并未完全反映現(xiàn)象中全部的物理本質(zhì).實際上，本題中的感應(yīng)電動勢應(yīng)該由電源電動勢即a棒的電動勢和b棒產(chǎn)生的反電動勢組成，即

E=Ea-Eb

認清了這個問題，就給本題帶來了第二種解法.

解法2：a棒等效為發(fā)電機，b棒等效為電動機.

a棒的感應(yīng)電動勢

Ea=Blv1

(5)

閉合回路消耗的總電功率

P=IEa

(6)

聯(lián)立式(1)、(2)、(5)、(6)解得

根據(jù)功能關(guān)系，本題還有第三種解法.單位時間內(nèi)，通過a棒克服安培力做功，把C物體的一部分重力勢能轉(zhuǎn)化為閉合回路的電能，而閉合回路電能的一部分以焦耳熱的形式消耗掉，另一部分則轉(zhuǎn)化為b棒的動能，所以，t時刻閉合回路的電功率等于a棒克服安培力做功的功率，即

2 磁場自身運動中的功能轉(zhuǎn)換問題

【例2】如圖3所示，兩平行長直金屬導(dǎo)軌置于豎直平面內(nèi)，間距為L，導(dǎo)軌上端有阻值為R的電阻，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒垂直跨放在導(dǎo)軌上，并擱在支架上，導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒電阻不計，接觸良好，且無摩擦．在導(dǎo)軌平面內(nèi)有一矩形區(qū)域的勻強磁場，方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強度為B.開始時導(dǎo)體棒靜止，當磁場以速度v勻速向上運動時，導(dǎo)體棒也隨之開始運動，并很快達到恒定的速度，此時，導(dǎo)體棒仍處在磁場區(qū)域內(nèi).試求：

(1)導(dǎo)體棒的恒定速度；

(2)導(dǎo)體棒以恒定速度運動時，電路中消耗的電功率．

圖3

解析:此題屬于單棒切割磁感線，但磁場與導(dǎo)體棒都有運動，設(shè)棒速為v′，則由法拉第電磁感應(yīng)定律得

E=BL(v-v′)

則導(dǎo)體棒受安培力

導(dǎo)體棒受力平衡有

mg=F安

聯(lián)立得

圖4

【例3】隨著越來越高的摩天大樓在各地的落成，至今普遍使用的鋼索懸掛式電梯已經(jīng)漸漸地不適用了.這是因為鋼索的長度隨著樓層的增高而相應(yīng)增加，這樣鋼索會由于承受不了自身的重量，還沒有掛電梯就會被扯斷.為此，科學(xué)技術(shù)人員正在研究用磁動力來解決這個問題.如圖4所示就是一種磁動力電梯的模擬機，即在豎直平面上有兩根很長的平行豎直軌道，軌道間有垂直軌道平面的勻強磁場B1和B2，且B1和B2的方向相反，大小相等，即B1=B2=1 T，兩磁場始終豎直向上做勻速運動.電梯轎廂固定在如圖4所示的一個用超導(dǎo)材料制成的金屬框abcd內(nèi)(電梯轎廂在圖中未畫出)，并且與之絕緣.電梯載人時的總質(zhì)量為5×103kg，所受摩擦力f=500 N，金屬框垂直軌道的邊長Lcd=2 m，兩磁場的寬度均與金屬框的邊長Lac相同，金屬框整個回路的電阻R=9．5×10-4Ω，假如，設(shè)計要求電梯以v1=10 m/s的速度向上勻速運動，問：

(1)磁場向上運動速度v0應(yīng)該為多大？

(2)在電梯向上做勻速運動時，為維持它的運動，磁場提供功率是多少？

解析：(1)當電梯向上勻速運動時，金屬框中感應(yīng)電流大小為

(7)

金屬框所受安培力

F=2B1ILcd

(8)

安培力大小與重力和摩擦力之和相等，所以

F=mg+f

(9)

由式(7)～(9)求得

v0=13 m/s

(2)磁場克服安培力做功，輸出能量轉(zhuǎn)化為電能，分為兩部分，一部分在閉合電路中由電流經(jīng)電阻做功轉(zhuǎn)變?yōu)榻饘倏虻膬?nèi)能，另一部分通過安培力對線框做正功，即克服電梯的重力和阻力做功，轉(zhuǎn)化為電梯的勢能和摩擦內(nèi)能.當電梯向上做勻速運動時，金屬框中感應(yīng)電流由式(7)得

I=1．26×104A

金屬框中的焦耳熱功率為

P1=I2R

代入數(shù)據(jù)得

P1=1．51×105W

(10)

而電梯的有用功率

P2=mgv1

代入數(shù)據(jù)得

P2=5×105W

(11)

阻力的功率

P3=fv1

代入數(shù)據(jù)得

P3=5×103W

(12)

磁場提供總功率

P總=P1+P2+P3

代入數(shù)據(jù)得

P總=5.56×105W

結(jié)論驗證：當電梯勻速運動時，電梯所受阻力或安培力是重力與摩擦力的合力

F=mg+f

代入數(shù)據(jù)得

F=5.05×104N

安培力與磁場速度的乘積

P=Fv0

代入數(shù)據(jù)得

P=5.56×105W

即安培力與磁場速度的乘積是磁場提供的電功率.通過計算進一步證明上面結(jié)論正確.

通過以上分析，我們發(fā)現(xiàn)電能的轉(zhuǎn)化是通過克服安培力做功才實現(xiàn)的，對象可以是導(dǎo)體棒、線圈或者磁場，它們是發(fā)電機.而消耗電能是閉合電路里面通過電流做功去實現(xiàn).用電器不同，電能轉(zhuǎn)化的方向不同.純電阻電路的電能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，而當有安培力對導(dǎo)體棒或者線框做正功時，就有了電動機，盡管也切割磁感線，但它并不產(chǎn)生電能而是消耗電能.我們注意到，新課標的教材與大綱版教材在本章有很大區(qū)別，其中，在這一部份，新課標教材《物理·選修3-2》引入了反電動勢的概念，值得我們重視.另外，也可把這一部份與恒定電流里面的含電動機電路作對比分析，能幫助學(xué)生進行理解.