“人-船”模型的最簡初等解法*

邵建新

(石河子大學(xué)師范學(xué)院 新疆 石河子 832003 )

1 引言

如何掌握和運用“人-船”模型,已有不少文獻[1～6]對此進行過討論.為便于分析討論,先將問題呈現(xiàn)如下.

【問題】一條質(zhì)量為M,長為L的小船位于平靜的湖面上,一質(zhì)量為m的人站在船頭,最初人和船都靜止,如圖1．當(dāng)人從船頭走到船尾時,小船相對于湖岸移動了多少距離?(不計水對船的阻力)

圖1

文獻[1]在指出文獻[2～6]存在模糊與令人費解之處的基礎(chǔ)上,對“人-船”問題給出了適合中學(xué)物理教學(xué)特點的4種解法,并作了詳細(xì)的、有意義的討論,使我們受益匪淺.但筆者仍感相關(guān)的討論意猶未盡.

例如,4種解法都存在利用若干假定求解,而且并不是該問題最簡的初等解法.筆者認(rèn)為,利用等效方法求解該問題,物理意義鮮明,而且是最簡單的初等解法.

2 文獻[1]中四種解法存在的問題

文獻[1]結(jié)合中學(xué)物理教學(xué)的特點,探究、概括出4種可行的解法要點歸納如下.

解法1：動量守恒定律+勻變速直線運動速度規(guī)律.

將人、船間的摩擦力視作恒力,人、船相對湖岸的運動等效成“勻變速直線運動”,依據(jù)勻變速直線運動速度規(guī)律,結(jié)合人、船位移大小的關(guān)系求解.

解法2：動量守恒定律+動能定理+牛頓第三定律.

將人、船間的摩擦力視作恒力,運用動能定理、牛頓第三定律,結(jié)合人、船位移大小的關(guān)系求解.

解法3：勻變速直線運動位移規(guī)律+牛頓第二、三定律.

將人、船間的摩擦力視作恒力．人、船相對湖岸做勻變速直線運動．依據(jù)勻變速直線運動位移規(guī)律和牛頓第二、三定律,結(jié)合人、船位移大小的關(guān)系求解.

解法4：動量守恒定律+勻變速直線運動速度-位移規(guī)律+牛頓第二、三定律.

將人、船間的摩擦力視作恒力,人、船相對湖岸做勻變速直線運動,依據(jù)勻變速直線運動速度-位移規(guī)律，牛頓第二、三定律，動量守恒定律,結(jié)合人、船位移大小的關(guān)系求解.

不難看出,上述4種解法都離不開“人、船間的摩擦力為恒力”和“人、船相對湖岸做勻變速直線運動”這兩條假設(shè).實際上,假定“人、船間的摩擦力為恒力”必定導(dǎo)致“人、船相對湖岸做勻變速直線運動”這一結(jié)論.而這一假設(shè)未必與實際情況相符,學(xué)生也會對此提出疑問,為什么要做如此假定？這個假定是否必要？如果這些假定不合理,為什么在這些假定下所得的結(jié)果又是正確的呢？

3 大學(xué)普通物理的解法

為了弄清“人-船”模型問題的物理實質(zhì),我們先用大學(xué)普通物理的方法求解該問題.

將人、船選作系統(tǒng).建立如圖1所示的坐標(biāo)系.設(shè)任意時刻t,人和船相對于湖岸的速度大小分別是v1，v2(假定船與人的運動方向相反),因系統(tǒng)水平方向所受合外力為零,故水平方向系統(tǒng)的動量守恒.依據(jù)動量守恒定律可得

0=mv1+M(-v2)

(1)

設(shè)人從船頭走到船尾所用的時間是T,將式(1)兩邊同時對時間t積分,有

(2)

以s人,s船分別表示人、船相對湖岸的位移大小,則

(3)

(4)

將式(3)、(4)代入式(2),有

ms人-Ms船=0

(5)

依據(jù)位移合成定理,有

s人+s船=L

(6)

聯(lián)立式(5)、(6)求解可得

(7)

(8)

當(dāng)然,該問題還可以用質(zhì)心運動定律求解.因人和船組成的系統(tǒng)在水平方向不受外力,因而，在水平方向質(zhì)心的速度不變.又因為系統(tǒng)的質(zhì)心原來靜止,所以，在人走動的過程中質(zhì)心始終靜止,所以，質(zhì)心的坐標(biāo)值不變,據(jù)此可以列一個方程,再結(jié)合人、船位移大小的關(guān)系聯(lián)立求解即可.具體解法參看文獻[7].

4 分析討論

4.1 人和船相對湖岸的位移和人的運動方式無關(guān)

從上面的求解過程不難看出,如果忽略船在行進過程中所受的阻力,人和船組成的系統(tǒng)總動量在任何時刻均為零，即任何時刻人對水和船對水的運動形式相同而運動方向相反，也即人動船動,人加速船加速,人勻速船勻速,人減速船減速,人停船停.在某段時間內(nèi),人和船相對湖岸位移的大小和人的運動方式無關(guān),而只與人和船的質(zhì)量及船的長度有關(guān).

由此就可以理解文獻[1]給出的4種解法中，為什么在不同的假定下會有相同的結(jié)果了.

4.2 人-船問題有初等解法嗎

正如文獻[8]所指出的那樣,運用動量守恒定律的目的是，避開所研究問題的系統(tǒng)經(jīng)歷過程的細(xì)節(jié)和系統(tǒng)內(nèi)可能復(fù)雜的相互作用,直接考慮系統(tǒng)過程始末態(tài)的動量,從而使問題解決起來更簡捷.因此,“人-船”模型問題的求解首選動量守恒定律.然而,從以上求解可知,由動量守恒,即式(1)求位移,必須用積分.為了避免積分,文獻[4～6]引入平均動量的概念求解是不正確的.文獻[3]引入平均速度的概念求解

mv1-Mv2=0

(9)

s人=v1t

(10)

s船=v2t

(11)

s人+s船=L

(12)

即式(9)～(11)中的v1,v2分別是人和小船的平均速度,求得的結(jié)果是正確的.

顯然,式(10)～(12)是正確的.而式(9)則令人費解.因為動量守恒定律中涉及的動量均是指系統(tǒng)某時刻的動量,因而，不能用質(zhì)量乘以平均速度表示該動量.

在4.1的討論中，我們已經(jīng)指出,人和船相對湖岸位移的大小和人的運動方式無關(guān).既然與人的運動方式無關(guān),從求解問題的角度來看，關(guān)于人運動方式的各種假定都是可以的.當(dāng)然，假定人和船的運動是勻速直線運動一定是可以的(盡管這種假定不符合實際情況).問題是式(9)仍然正確嗎？如果式(9)錯了,那為什么聯(lián)立式(9)～(12)求得的結(jié)果又是正確的呢？如果不錯,其物理意義是什么呢？

筆者認(rèn)為,用等效法處理這類問題是最簡單的方法,但用該方法需要對勻速直線運動這個大家都認(rèn)為很簡單的理想模型以及平均速度的物理意義有深刻的理解和認(rèn)識.

4.3 勻速直線運動及變速直線運動平均速度的物理意義

勻速直線運動的嚴(yán)格定義是,在任何相等的時間內(nèi)通過的位移都相等.也就是說,在物體運動所經(jīng)歷的時間段內(nèi),任取兩個時間段t1，t2,若兩時間段內(nèi)發(fā)生的位移分別是s1，s2,則一定有

于是，將勻速直線運動的速度定義為

用來描述物體運動的快慢.

即在變速直線運動中,運動物體的位移和所用時間的比值,叫做這段時間內(nèi)的平均速度.引入平均速度的概念,盡管是粗略描寫,但效果相當(dāng),而且定義了平均速度后,對任何變速直線運動，上式都成立.

另外,人們往往會忽略勻速直線運動的一個基本特征,任意時刻的瞬時速度等于其速度v.也許正是這個忽略,導(dǎo)致人們長期沒有發(fā)現(xiàn)解決此類問題最簡單的初等解法.

5 最簡單的初等解法

通過4.3的分析不難得到人、船問題的最簡單的初等解法.設(shè)人從船頭走到船尾所用時間是T,人和船做的是變速直線運動,則人和船的平均速度分別是

(13)

(14)

聯(lián)立式(12)與(14)求解可得

式(14)變形后可得

ms人-Ms船=0

(15)

式(15)就是此類問題中動量守恒定律的等效表達式.

由此可見,式(9)并沒有錯誤,只是以往的文獻中要么直接給出不做推導(dǎo),要么詮釋有誤.

在物理教學(xué)和物理研究活動中,理想模型法和等效方法是常用的分析、解決物理問題非常有效的方法,將兩者有機結(jié)合并靈活運用,也是學(xué)生的物理思想和物理思維能力提升的一個重要途徑.

參考文獻

1 何述平.“人-船”模型的教學(xué)研究.物理教師,2012,33(6):13～15

2 閻金鐸,田世昆.中學(xué)物理教學(xué)概論(第2版).北京：高等教育出版社,2003.151

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4 陳剛,舒信隆.新編物理教學(xué)論.上海：華東師范大學(xué)出版社,2006.124～128

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