一道值得商榷的高考壓軸題

葉玉琴 楊純

(安慶市第二中學(xué) 安徽 安慶 246000)

【題目】如圖1所示，坐標(biāo)系xOy的第一象限中存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小為E.在其他象限中存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向里，A是y軸上的一點(diǎn)，它到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為h，C是x軸上的一點(diǎn)，到O點(diǎn)的距離為l.一質(zhì)量為m,電荷量為q的帶負(fù)電的粒子以某一初速度沿x軸方向從A點(diǎn)進(jìn)入電場區(qū)域，繼而通過C點(diǎn)進(jìn)入磁場區(qū)域，并再次通過A點(diǎn)，此時速度方向與y軸正方向成銳角.不計(jì)重力作用.試求：

(1)粒子經(jīng)過C點(diǎn)時速度的大小和方向；

(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B.

圖1

本題為2007年高考全國卷Ⅱ第25題，也即壓軸題，它把帶電粒子在電場中的運(yùn)動和磁場中的運(yùn)動結(jié)合在一起，涉及了類平拋運(yùn)動和圓周運(yùn)動的知識，注重物理過程的分析，把物理過程和物理規(guī)律相對應(yīng)是解決問題的關(guān)鍵，本題的解答還對幾何、三角等數(shù)學(xué)知識有較高的要求，且運(yùn)算也較復(fù)雜，是一道難度較大的力、電綜合題.

高考卷提供的參考答案如下：

解析:(1)以a表示粒子在電場作用下的加速度，加速度沿y軸負(fù)方向.

圖2

設(shè)粒子從A點(diǎn)進(jìn)入電場時的初速度為v0，由A點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)經(jīng)歷的時間為t，則有

(1)

l=v0t

(2)

由式(1)、(2)得

(3)

設(shè)粒子從C點(diǎn)進(jìn)入磁場時的速度為v，v垂直于x軸的分量為

(4)

由式(3)、(4)得

(5)

設(shè)粒子經(jīng)過C點(diǎn)時的速度v的方向與x軸的夾角為α，如圖2示，則有

(6)

聯(lián)立式(3)、(4)、(6)可解得

(7)

(2)粒子從C點(diǎn)進(jìn)入磁場后在磁場中做速度為v的圓周運(yùn)動.若圓周的半徑為R，則有

(8)

Rcosβ=Rcosα+h

(9)

Rsinβ=l-Rsinα

(10)

由式(7)、(9)、(10)解得

(11)

由式(5)、(8)、(11)得

質(zhì)疑：上述解答是常見的標(biāo)準(zhǔn)答案，看似天衣無縫，其實(shí)不然.筆者通過認(rèn)真分析研究，發(fā)現(xiàn)本題有不妥之處，若按原題條件進(jìn)行求解，進(jìn)一步分析就會得出自相矛盾的結(jié)果，現(xiàn)提出來與同仁交流.

矛盾之一：三角形兩邊之和小于第三邊.

在第(2)小題中，P點(diǎn)為圓心，現(xiàn)不妨延長CP交y軸于Q點(diǎn)，如圖3所示.

圖3

(12)

又由第(1)小題解得

于是可解得

所以

(13)

又因?yàn)?/p>

所以

(14)

比較式(13)、(14)易得出

很顯然，這是一個錯誤的結(jié)論.

矛盾之二：三角形的一個內(nèi)角的正弦值為負(fù).

在原解析中，根據(jù)第(1)小題解得的

可得

(15)

將式(11)、(15)代入式(10)可解得

即

sinβ<0

根據(jù)前面作圖及分析可知， ∠QAP=β，這表明，在△AQP中，它的一個內(nèi)角∠QAP的正弦之值為負(fù).

很顯然，這也是一個錯誤的結(jié)論.

釋疑：那么，導(dǎo)致以上矛盾的原因是什么？是命題情境不成立還是題給條件多余或是錯誤？經(jīng)過認(rèn)真的思考研究，筆者認(rèn)為原題中粒子由C點(diǎn)做圓周運(yùn)動再回到A點(diǎn)的情境是成立的，因?yàn)橛深}中條件即類平拋運(yùn)動軌跡上的點(diǎn)A，點(diǎn)C以及C點(diǎn)的速度方向，可以確定圓心P的位置，因?yàn)锳C為弦，過C點(diǎn)且垂直于C點(diǎn)速度的直線與弦AC的中垂線的交點(diǎn)即為圓心，也即粒子從C點(diǎn)進(jìn)入磁場后在磁場中的勻速圓周運(yùn)動的軌跡是唯一確定的.既然如此，那么“粒子再次通過A點(diǎn)的速度方向與y軸正方向成銳角”這一題給條件就是多余的，甚至可能是錯誤的.正是因?yàn)槿绱?，從而造成矛?

而在原解析中，我們可以看出圓心的位置是這樣大致確定的，因?yàn)榱Ｗ幼鰣A周運(yùn)動再次到達(dá)A點(diǎn)時的速度方向與y軸正方向成銳角，所以，過點(diǎn)A的半徑必然在y軸的右側(cè)，于是圓心P點(diǎn)即過A點(diǎn)、C點(diǎn)且分別垂直于該點(diǎn)速度方向的垂線的交點(diǎn)在y軸的右側(cè).但事實(shí)上，粒子再次回到A點(diǎn)時速度方向是右下方向，而非右上方向，也就是說與y軸負(fù)方向成銳角，即題給條件“再次通過A點(diǎn)，此時速度方向與y軸正方向成銳角”是錯誤的.筆者給出證明如下.

圖4

如圖4所示，設(shè)粒子從A點(diǎn)進(jìn)入電場時的初速度為v0，做類平拋運(yùn)動到C點(diǎn)時粒子速度為v，v的方向與x軸的夾角為α，同時令位移AC的方向與x軸的夾角為θ，如圖4所示，由平拋運(yùn)動規(guī)律知

tanα=2tanθ

進(jìn)行變形

于是有

sinαcosθ=2cosαsinθ

進(jìn)一步變形

sinαcosθ-cosαsinθ=cosαsinθ

即

sin(α-θ)=cosαsinθ

因?yàn)棣?，θ均為銳角，所以

0

于是有

sin(α-θ)

即

(α-θ)<θ

兩角差(α-θ)是一個有著雙重物理意義的量.第一，對于粒子在電場中的類平拋運(yùn)動來說，(α-θ)表示粒子在C點(diǎn)速度方向與位移AC方向的夾角；第二，對于粒子在磁場中的勻速圓周運(yùn)動來說，(α-θ)表示粒子在圓周上C點(diǎn)速度方向與弦AC的夾角，即弦切角.根據(jù)圓的性質(zhì)知，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動再次通過A點(diǎn)時的速度方向與弦AC的夾角也等于(α-θ)，由分析證明得(α-θ)<θ，這表明粒子再次通過A點(diǎn)時的速度方向是在v0與AC之間，即與y軸正向的夾角大于90°，與y軸負(fù)向的夾角為銳角，不僅如此，而且與v0方向，或者說與AC的夾角是確定的.

以上的分析表明，原題中的“再次通過A點(diǎn)，此時速度方向與y軸正方向成銳角”不僅是多余的，而且是錯誤的，所以，筆者建議將原題中“此時速度方向與y軸正方向成銳角”刪去，若考慮降低難度，便于學(xué)生求解，則應(yīng)將此條件改為“此時速度方向與y軸負(fù)方向成銳角” 或改為“此時速度方向與y軸正方向成鈍角”.真是一字之差，正誤之別.

第(1)小題解答不受此條件影響，僅第(2)題需調(diào)整，現(xiàn)解答如下.

(2)粒子從C點(diǎn)進(jìn)入磁場后在磁場中做速度為v的圓周運(yùn)動.若圓周的半徑為R，則有

(16)

圖5

由幾何關(guān)系得

Rcosβ=Rcosα+h

(17)

Rsinβ=Rsinα-l

(18)

由式(7)、(17)、(18)解得

(19)

由式(5)、(16)、(19)得

可以看出，條件調(diào)整后，只有式(10)發(fā)生變化，但所求結(jié)果仍與原解析一致.

結(jié)語：由于本題是高考全國卷的壓軸題，帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動的典型，屬于力、電綜合應(yīng)用題，覆蓋的知識點(diǎn)多，綜合考查學(xué)生的多種能力，所以，自2007年以來，幾乎各種版本的真題集、各種高三教輔資料、沖刺卷包括多種高考網(wǎng)絡(luò)資源等等，都有這道高考題及幾乎完全相同的高考卷的參考答案.但也由于本題難度較大，題中出現(xiàn)的錯誤條件隱蔽性強(qiáng)，故不易被教師和學(xué)生發(fā)現(xiàn)，筆者進(jìn)入期刊網(wǎng)進(jìn)行了大量檢索，未檢索出關(guān)于對這道高考題進(jìn)行質(zhì)疑研究的論文，故作此文，以期與讀者及同仁交流.