Excel最小二乘法在磁阻效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用*

唐春紅 唐曙光 劉揚(yáng)正

(南京工程學(xué)院基礎(chǔ)部 江蘇 南京 210067)

1 引言

磁阻器件由于靈敏度高、抗干擾能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)在工業(yè)、交通、儀器儀表、醫(yī)療器械、探礦等領(lǐng)域應(yīng)用十分廣泛，其中最典型的銻化銦傳感器是一種價(jià)格低廉、靈敏度高的磁電阻，因此，磁阻效應(yīng)是普通物理實(shí)驗(yàn)課中的重要內(nèi)容之一.本實(shí)驗(yàn)利用砷化鎵霍爾傳感器測(cè)量磁化強(qiáng)度，研究銻化銦傳感器在不同的磁感應(yīng)強(qiáng)度下的電阻大小.數(shù)據(jù)處理是該實(shí)驗(yàn)的重要組成部分和關(guān)鍵環(huán)節(jié)，也是評(píng)價(jià)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一個(gè)重要指標(biāo)，該實(shí)驗(yàn)采用的數(shù)據(jù)處理方法有列表法、作圖法、逐差法.特別是圖解法處理雖然簡(jiǎn)單、直觀(guān)，但它是一種粗略的數(shù)據(jù)處理方法.在圖紙上用目測(cè)的方法擬合直線(xiàn)，具有一定的主觀(guān)任意性，容易造成人為誤差[1].更為科學(xué)的方法是最小二乘法曲線(xiàn)擬合，但由于該方法計(jì)算較復(fù)雜，在基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理中常常不被采用[2].

與Matlab、MathCAD圖像處理、飛飛函數(shù)圖像及Mathematical相比，Microsoft Office Excel(Excel)是大學(xué)一年級(jí)學(xué)生比較熟悉的數(shù)據(jù)處理工具，其擁有強(qiáng)大的計(jì)算、分析、傳輸和共享功能，可以幫助用戶(hù)將繁雜的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為信息.若是借助Excel強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算和高質(zhì)量的繪圖功能，將克服最小二乘法計(jì)算量大的缺點(diǎn)，使復(fù)雜繁瑣的數(shù)據(jù)處理過(guò)程簡(jiǎn)單化、直觀(guān)化，且能較準(zhǔn)確地標(biāo)記出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)和繪制出擬合曲線(xiàn).

2 最小二乘法原理及曲線(xiàn)擬合[3,4]

最小二乘法(又稱(chēng)最小平方法)是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù).它通過(guò)最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配.利用最小二乘法可以簡(jiǎn)便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小.

2.1 線(xiàn)性參數(shù)的最小二乘法

求解得

2.2 非線(xiàn)性參數(shù)的最小二乘法

在一般情況下，函數(shù)yi=fi(x1,x2,…,xt)(i=1,2,…,n)為非線(xiàn)性函數(shù)，測(cè)量的誤差方程

(1)

是非線(xiàn)性方程，直接由它建立正規(guī)方程并求解是困難的，一般采用線(xiàn)性化的方法，將非線(xiàn)性函數(shù)化為線(xiàn)性函數(shù)，再按線(xiàn)性參數(shù)的情況進(jìn)行處理.為此，取x10,x20,…，xt0為待估計(jì)量x1,x2,…，xt的近似值，而估計(jì)量xr則可以表示為

(2)

式中δ1,δ2,…,δt為估計(jì)量與使取近似值的偏差.現(xiàn)將函數(shù)在x10,x20,…,xt0處展開(kāi)，則有

fi(x1,x2,…，xt)=fi(x10,x20,…,xt0)+

令

則誤差方程(1)化成線(xiàn)性方程組

(3)

于是，就可以按線(xiàn)性參數(shù)的情形列出正規(guī)方程并求解出δ，進(jìn)而求得相應(yīng)的估計(jì)量

xr(r=1,2,…,t)

3 用Excel處理磁阻效應(yīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

表1為我們?cè)诖抛鑼?shí)驗(yàn)中記錄原始數(shù)據(jù)及相關(guān)計(jì)算[5].

表1 磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁電阻大小的對(duì)應(yīng)關(guān)系表 磁電阻電流I=1.00 mA

B/mT150.0200.0250.0300.0350.0400.0450.0500.0ΔRR(0)0.3970.4940.5800.6590.7420.8290.9191.008

選擇數(shù)據(jù)→圖表向?qū)А鶻Y散點(diǎn)圖→點(diǎn)擊圖上數(shù)據(jù)點(diǎn)→點(diǎn)右鍵→添加趨勢(shì)線(xiàn)→選多項(xiàng)式→階數(shù)取值大于5后圖形擬合的很好(圖中階數(shù)取為6)→取選項(xiàng)→顯示公式及顯示R平方值，結(jié)果如圖1.

圖1 銻化銦傳感器不同磁感應(yīng)強(qiáng)度下電阻大小的擬合曲線(xiàn)

由圖1中可以看出相關(guān)系數(shù)R2代表擬合曲線(xiàn)的確定系數(shù)，用來(lái)檢驗(yàn)擬合方程是否符合變量間的規(guī)律及擬合曲線(xiàn)的精度如何.R2值越接近1，說(shuō)明實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)越靠近擬合曲線(xiàn)，趨勢(shì)線(xiàn)越可靠.由圖1可見(jiàn)R2值為0.999 9，說(shuō)明擬合曲線(xiàn)幾乎通過(guò)全部的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，則銻化銦傳感器磁感應(yīng)強(qiáng)度與電阻大小關(guān)系的曲線(xiàn)方程為

4×10-7B3+6×10-5B2-8×10-4B+3.6×10-3

圖2 銻化銦傳感器B-關(guān)系曲線(xiàn)擬合的曲線(xiàn)方程

在[150.0,500.0]區(qū)域，n=1，k=0.001 7，曲線(xiàn)方程為

4 結(jié)論

在磁阻效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中,大學(xué)一年級(jí)的學(xué)生就可以利用自己熟悉的Excel，借助其強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算及繪圖功能，能較準(zhǔn)確地標(biāo)記出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)和繪制出擬合曲線(xiàn).隨著計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力的飛速發(fā)展，特別是Excel還可以進(jìn)行Whst-If分析，以及執(zhí)行更多更專(zhuān)業(yè)的分析，因此，如學(xué)生親自參與編程操作，將計(jì)算機(jī)應(yīng)用與物理實(shí)驗(yàn)結(jié)合起來(lái)，更能有效提高學(xué)生的計(jì)算機(jī)實(shí)際操作能力，使兩學(xué)科的知識(shí)相互交叉，拓寬了學(xué)生的視野，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，尤為重要的是通過(guò)Excel軟件的使用可以有效地提高教學(xué)效率，為課程教學(xué)方法和手段的改革探索了新的思路.

參考文獻(xiàn)

1 王禮祥, 蔡書(shū), 劉一.Excel圖表功能在數(shù)學(xué)、物理中應(yīng)用的研究. 西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)·自然科學(xué)，2012(1):150

2 韓敬，鐘方川，李林.Matlab在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2008,26(1)：88

3 熊澤本.Excel 的回歸函數(shù)在數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用研究. 濮陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2010(12):140

4 費(fèi)業(yè)泰.誤差理論與數(shù)據(jù)處理. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2000.105

5 唐曙光.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn) . 北京：科學(xué)出版社，2011.126