為何弱阻尼振動(dòng)的振幅呈指數(shù)規(guī)律衰減

鄭金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽(yáng) 122500)

機(jī)械振動(dòng)包括簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)、阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)，其中不受驅(qū)動(dòng)力的阻尼振動(dòng)為自由振動(dòng)，反之為受迫振動(dòng).對(duì)于阻尼振動(dòng)，若阻力大小恒定，則稱(chēng)為恒阻尼振動(dòng)；若阻力大小跟速度成正比，則稱(chēng)為線(xiàn)性阻尼振動(dòng). 對(duì)于線(xiàn)性自由阻尼振動(dòng)，按阻力大小，依次分為過(guò)阻尼狀態(tài)、臨界阻尼狀態(tài)和弱阻尼狀態(tài)三種情形，其中只有弱阻尼振動(dòng)具有周期性，振幅按指數(shù)規(guī)律衰減，條件是阻力很小.機(jī)械線(xiàn)性力主要為介質(zhì)阻力，如空氣阻力，液體的粘滯阻力等.條件是物體運(yùn)動(dòng)速度較小，否則就不是線(xiàn)性力了.例如,彈簧振子在液體中的振動(dòng)，若粘滯阻力與運(yùn)動(dòng)速度成正比，則為線(xiàn)性自由阻尼振動(dòng)，當(dāng)阻力非常小時(shí)，為弱阻尼振動(dòng).

無(wú)論機(jī)械阻尼振動(dòng)，還是電磁阻尼振動(dòng)或振蕩，只要阻尼是線(xiàn)性的，就遵循相同的規(guī)律，即物理量的變化滿(mǎn)足二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程x″+px′+qx=0，其通解由特征方程r2+pr+q=0的兩個(gè)根r來(lái)確定.那么,如何推導(dǎo)振動(dòng)的微分方程和通解呢？為何弱阻尼振動(dòng)振幅按指數(shù)規(guī)律衰減？時(shí)間常數(shù)與瞬態(tài)過(guò)程的時(shí)間常數(shù)和諧振電路的固有周期之間有何關(guān)系？下面以?xún)煞N電磁線(xiàn)性阻尼振動(dòng)為例進(jìn)行分析.

1 安培力阻尼振動(dòng)

【例1】如圖1所示，固定的水平光滑金屬導(dǎo)軌，間距為l，左端接有阻值為R的電阻，處在方向豎直向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒與固定彈簧相連，放在導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒的電阻均可忽略．初始時(shí)刻，彈簧恰處于自然長(zhǎng)度，導(dǎo)體棒具有水平向右的初速度v0．在沿導(dǎo)軌往復(fù)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌垂直并保持良好接觸．試分析在弱阻尼狀態(tài)下導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

圖1

解析：導(dǎo)體棒切割磁感線(xiàn)而產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=Blv，則受到的安培力大小為

開(kāi)始時(shí),導(dǎo)體棒受到的彈簧彈力和安培力都為阻力，由牛頓第二定律有

即

(1)

式中ω0為無(wú)阻尼時(shí)彈簧振子的固有角頻率，β為阻尼因數(shù).

二階微分方程即x″+px′+qx=0的解與指數(shù)函數(shù)密切相關(guān)，原因是對(duì)于指數(shù)函數(shù)x=ert，當(dāng)r為常數(shù)時(shí)，與它的各階導(dǎo)數(shù)只相差一個(gè)常數(shù)因子.因此,只要取適當(dāng)?shù)某?shù)r，就能使x=ert滿(mǎn)足微分方程.為了確定常數(shù)r，可將x=ert,x′=rert和x″=r2ert代入微分方程，得到特征方程為

r2+pr+q=0

由此可知方程(1)的特征方程為

其兩個(gè)根為

對(duì)于弱阻尼運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即當(dāng)β<ω0時(shí)，特征方程的兩個(gè)根為

此時(shí)微分方程的兩個(gè)解為x1=er1t=eat·eibt和x2=er2t=eat·e-ibt，為了得到實(shí)函數(shù)形式，可利用歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ將其化為三角函數(shù)形式，是一對(duì)共軛復(fù)數(shù).實(shí)部為

都等于兩個(gè)特解的線(xiàn)性疊加，則由解的疊加原理可知，它們也是微分方程的解，且二者比值cotbt不是常數(shù)，即線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以通解為

由輔助角公式可知其等價(jià)式為x=Aeat(sinbt+φ).

x=Ae-βtsin(ωt+φ)

(2)

振幅衰減的時(shí)間常數(shù)為

(3)

圖2

2 RLC串聯(lián)電路阻尼振蕩

圖3

【例2】如圖3所示，有一個(gè)電阻R,自感L,電容C和電源E串聯(lián)組成的電路，其中R,L及C為常數(shù)，電容器已充電，當(dāng)閉合開(kāi)關(guān)S時(shí)，試推導(dǎo)電容器兩極電壓隨時(shí)間變化的微分方程及在弱阻尼狀態(tài)下電壓隨時(shí)間變化的規(guī)律.

解析：當(dāng)開(kāi)關(guān)S接通后，電路中的電流由無(wú)到有，突然增大，使電感線(xiàn)圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)增強(qiáng)，即磁感應(yīng)強(qiáng)度B增大，則穿過(guò)線(xiàn)圈的磁通量Φ=BS增大，因此,線(xiàn)圈產(chǎn)生自感電動(dòng)勢(shì)大小為

電容器開(kāi)始帶電量為qm，當(dāng)放電量為q時(shí)，電容器剩余電量為

Q=qm-q=CuC

因此兩極板間的電壓為

則放電電流為

由基爾霍夫電壓定律列出回路電壓方程為

uC-EL-Ri=0

可得

即

令

可得RLC串聯(lián)電路的自由阻尼振蕩的微分方程為

(4)

若推導(dǎo)電容器所帶電荷量Q的變化規(guī)律，則由回路電壓方程

及放電電流

得自由阻尼振蕩方程為

在β<ω0的條件下，為弱阻尼振蕩狀態(tài).對(duì)方程(4)由二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程的通解公式得

uC=Ae-βtsin(ωt+φ)

(5)

取導(dǎo)數(shù)并利用初始條件

得

所以，當(dāng)無(wú)源RLC串聯(lián)電路處于弱阻尼振蕩狀態(tài)時(shí)，振幅按e-βt的指數(shù)規(guī)律衰減，時(shí)間常數(shù)為

(6)

RLC串聯(lián)電路放電過(guò)程的uC-t圖像如圖4所示，可見(jiàn)阻尼振蕩具有周期性，角頻率為

圖4

這是無(wú)阻尼時(shí)LC串聯(lián)電路的自由振蕩方程.角頻率為

固有周期為

假如將電路中的周期性?xún)?chǔ)能元件電容器去掉，換為直流電源，當(dāng)閉合開(kāi)關(guān)S時(shí)，對(duì)RL串聯(lián)電路的充電過(guò)程為瞬態(tài)過(guò)程，回路電壓方程為

即為

也可從能量損耗的角度來(lái)理解Q的含義，如圖4所示，對(duì)于弱阻尼振蕩，電容器兩端電壓振幅的包絡(luò)線(xiàn)方程為uCm=Ae-βt，每個(gè)振幅對(duì)應(yīng)的能量為

則相鄰兩個(gè)振幅對(duì)應(yīng)的能量差為

而t2=t1+T，可知

參考文獻(xiàn)

1 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè)).北京：高等教育出版社，1986.352～360

2 漆安慎，杜嬋英.力學(xué)基礎(chǔ).北京：高等教育出版社，1987.427～429

3 趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué)(下冊(cè)).北京：高等教育出版社，1988.522，730～732

4 楊曉雷.串聯(lián)諧振電路Q(chēng)值的計(jì)算與意義.物理通報(bào)，2011(10)：15

5 趙健生,等.阻尼振動(dòng)系統(tǒng)普遍性質(zhì)的研究.物理通報(bào)，2000(5)：5