從不定積分的計算談數(shù)學思想方法的教學

邢巧芳，孫銘娟

從不定積分的計算談數(shù)學思想方法的教學

邢巧芳，孫銘娟

不定積分的計算是一元函數(shù)積分學里的核心問題.不定積分的計算是非常靈活的，除了可以根據(jù)基本積分表中的公式求解外，利用微分和不定積分之間的互逆關系，根據(jù)復合函數(shù)的求導運算法則和乘積函數(shù)的求導運算法則還建立了求不定積分的2類重要的方法，即換元積分法和分部積分法.同時在微分學中的求導法則中，還有關于反函數(shù)的求導法則.

基于不定積分與微分的關系，一個自然的問題是：反函數(shù)與原函數(shù)的不定積分之間是否也存在某種內(nèi)在的規(guī)律.

1 反函數(shù)的不定積分公式

為了探索反函數(shù)與原函數(shù)的不定積分之間的規(guī)律，可以借助三角函數(shù)與反三角函數(shù)互為反函數(shù)的關系進行研究.

令y=arcsinx是函數(shù)x=siny在對應區(qū)間上的反函數(shù)，則

同理，按照分部積分法，可得

由式（1）和式（2），不難得到

式（3）中反應出的規(guī)律是否具有一般性，不妨大膽猜測，小心求證，假設式（3）具有一般性，則可形成如下結論：

結論 設x=f(y)的反函數(shù)為，記，則

利用式（4），可以直接得到一些反函數(shù)的積分.

例1 取x=tany，其反函數(shù)為y=arctanx.，經(jīng)計算可得F(arctanx)=0.5ln(1+x2)+C，則

例2x=ey是y=lnx的反函數(shù)，且

2 高等數(shù)學中特殊化思想

從一個特殊的反函數(shù)不定積分的計算，探討了互為反函數(shù)的2個函數(shù)不定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，得出了一般性結論，利用該結論計算了一些反函數(shù)的不定積分.概括地講，即對于某個一般性的數(shù)學問題，如果一時難以直接解決，那么可以先解決它的特殊情況，即從研究對象的全體轉變?yōu)檠芯繉儆谶@個全體中的一個對象或部分對象，然后再把解決特殊情況的方法或結論應用或者推廣到一般問題上，從而獲得一般性問題的解答，這種用來解決問題的思想就稱之為特殊化思想.

在高等數(shù)學的教學中，如能結合相關內(nèi)容，適時介紹和滲透這種思想，則對于開闊學生視野，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)都是大有裨益的.

典型案例1 利用牛頓-萊布尼茲公式解決定積分的計算問題.在探索定積分的簡單算法時，從研究物理上求變速直線運動物體在有限時間內(nèi)通過的路程這一特殊問題入手，將從這一特殊的問題中得出的結論作一般的、普遍性的推廣，進而得出了牛頓-萊布尼茲公式這一解決定積分計算的普適性方法，體現(xiàn)了特殊化思想.

典型案例2 微分中值定理的教學.為了研究函數(shù)整體形態(tài)與局部概念——導數(shù)之間的關系，在高等數(shù)學教材中往往是通過數(shù)形結合先介紹最簡單、直觀的羅爾中值定理，然后通過改變條件，把羅爾定理推廣成具有更一般形式的拉格朗日中值定理及柯西中值定理，也體現(xiàn)了從特殊到一般的推廣和拓展.

在高等數(shù)學的學習中，除了特殊化思想外，還有極限思想、數(shù)形結合思想、轉化思想、類比思想、歸納推理思想等.教師在教學過程中，應以知識為載體，要有意識地挖掘、傳授隱藏在知識背后的思想方法.使學生在掌握數(shù)學知識的同時，進一步提高他們的數(shù)學素養(yǎng).

解放軍信息工程大學 理學院，河南 鄭州 450002）

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