數(shù)學(xué)插值方法在水文地質(zhì)學(xué)中的應(yīng)用探討

摘 要：數(shù)學(xué)插值法是一種由已知的離散因變量的值來估計未知的中間插值的方法。這種方法在很多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，本文主要是論述了幾種常用的數(shù)學(xué)插值法及其在水文地質(zhì)學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)插值法；水文地質(zhì)；實際應(yīng)用

數(shù)學(xué)插值法又被叫做稱內(nèi)插法，其在水文地質(zhì)學(xué)應(yīng)用廣泛，尤其是在山區(qū)的水文地質(zhì)檢測中。數(shù)學(xué)插值法是在水文地質(zhì)運(yùn)算中常用的一種函數(shù)，是利用函數(shù)f（x）在某區(qū)間中若干點(diǎn)的函數(shù)值，并根據(jù)這些數(shù)值得出恰當(dāng)?shù)奶囟ê瘮?shù)，利用這些已知的數(shù)值，在區(qū)間的其他點(diǎn)上用這特定函數(shù)的值作為函數(shù)f（x）的近似值的一種方法。數(shù)學(xué)插值包括：lagrange插值、newton插值、hermite插值、分段多項式插值及樣條插值。

在水文地質(zhì)學(xué)中，為了能夠有效的反映含水層的空間分布以及空間形態(tài)特征，需要用到插值法來編制含水層的厚線圖，以及等高線圖等。為了繪制這些圖，就必須涉及數(shù)學(xué)插值問題。當(dāng)我們使用數(shù)學(xué)插值法來評估地下水資源時，我們有必要將所研究的地區(qū)進(jìn)行剖析，將連續(xù)變量離散化，從而得出結(jié)點(diǎn)上的源頭值。但是，在多數(shù)結(jié)點(diǎn)的一些參數(shù)是未知的，這些未知的參數(shù)需要插值法來確定。近些年，隨著水文地質(zhì)學(xué)的需要，在實際的工作中人們?nèi)匀淮罅康氖褂脭?shù)學(xué)插值法。

1 幾種常見的插值

第一，拉格朗日（Lagrange）插值；已知f（x）的n+1個離散數(shù)據(jù)對{（xi，yi）}ni=0.求作次數(shù)不超過n的多項式y(tǒng)（x），使?jié)M足條件y（xi）=f（xi），i=0，1，…，n.這就是多項式插值問題。當(dāng)我們用幾何語言來描述這種插值，也就是通過在曲線上給定的n+1個點(diǎn)，來做出一條代數(shù)曲線，這條曲線的次數(shù)不能超過n。

第二，分段線性插值；所謂分段線性插值是通過相鄰的兩個基點(diǎn)作為線性插值，其主要的優(yōu)點(diǎn)是可以克服拉格朗日（Lagrange）插值在計算過程中可能出現(xiàn)的數(shù)值不收斂性。使用該方法處理數(shù)據(jù)主要是增加了插值的基點(diǎn)，從而進(jìn)一步的提高了數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度。但是，通過幾何方法分析，分段插值法存在著基點(diǎn)處不光滑等缺點(diǎn)。盡管分段線性插值的精度可能會差一些，但是在實際中還是有著廣泛的應(yīng)用，比如在水文地質(zhì)學(xué)的計算中，就因其不會出現(xiàn)不收斂的現(xiàn)象而常常被使用。

第三，三次樣條插值；這種方法最大的特點(diǎn)就是客服了上述兩種方法存在的不足，即基點(diǎn)處的不光滑，以及插值的不收斂性。但是，使用三次樣條插值法必須要滿足下列條件：首先，y（x）在每個子區(qū)間上的次數(shù)都不能多于3；其次，y（x）、y'（x）以及y\"（x）在插值區(qū)間上必須是連續(xù)的等。使用三次樣條插值可以降低多項式的次數(shù)，從而使得計算的結(jié)果具有較高的光滑性。

第四，近點(diǎn)法；該方法是按近點(diǎn)距離加權(quán)平均法的簡稱，其主要的優(yōu)點(diǎn)是計算程序設(shè)計步驟簡單，而且計算的速度也相對較快，而且使用該方法得出的等線值圖的光滑性是比較令人滿意的。該方法的缺點(diǎn)就是其唯一性較差，計算結(jié)果和選擇點(diǎn)的數(shù)量有直接的關(guān)系，如果選擇的點(diǎn)數(shù)不同，那么得到的數(shù)值就會不同。而且該方法的使用范圍也受到一定的限制。

第五，方位法；這種方法的全稱是四方位按距離加權(quán)平均法。該方法的優(yōu)點(diǎn)是計算速度快，但是在計算不均勻的數(shù)據(jù)時，獲得的插值效果較差。如果用該方法在水文地質(zhì)中的含水層厚度空白區(qū)插值計算，則會出現(xiàn)去全局趨勢不吻合的現(xiàn)象。分析其原因，主要是因為方位法獲得插值是由一個插值點(diǎn)上的四個數(shù)據(jù)點(diǎn)來決定的，當(dāng)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)分布較為稀疏的時候，這種方法則不能包含所有的信息。所以，在實際的應(yīng)用中要根據(jù)具體的情況來決定是否使用該方法。

第六，雙三次多項式曲面片擬合法（曲面法）；該方法適用于按規(guī)律分布的數(shù)據(jù)，在這種條件下，該方法可以發(fā)揮其擬合度高的優(yōu)點(diǎn)。而且我們可以利用相鄰結(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，將整個區(qū)域組合成一個連續(xù)的大曲面。但是，不足的是該方法只能用于規(guī)則的數(shù)據(jù)，這使其使用價值顯著降低。而且其程序設(shè)計也相對復(fù)雜。

第七，加權(quán)二乘法；雖然該方法需要考慮的因素較多，但是使用該方法所得到的圖形可以較好的反應(yīng)一定的變化趨勢，而且圖形的平滑性相對較好，也有較好的唯一性。但是，由于計算每一個插值都需要解一個一次方程組，所以影響了計算速度。

2 在水文地質(zhì)學(xué)中使用數(shù)學(xué)插值法應(yīng)該注意的問題以及改進(jìn)方法

首先，有效的處理好方位因素的影響；對插值方法影響較大的是出現(xiàn)數(shù)據(jù)分布不均勻的時候。當(dāng)數(shù)據(jù)分布不均勻時，對加權(quán)二乘法的影響最為顯著，主要是因為當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)的選擇不當(dāng)，會使去面片發(fā)生異位。對于該問題，筆者認(rèn)為可以采取以下兩種措施來盡可能的避免誤差的出現(xiàn)：第一，用方向性對數(shù)據(jù)分析結(jié)果進(jìn)行補(bǔ)償；第二，以插值點(diǎn)為中心，進(jìn)行角限選值，主要是將平面分成n等分，然后在每一個角限域內(nèi)選擇合適的數(shù)據(jù)進(jìn)行計算。

其次，科學(xué)的選擇權(quán)函數(shù)；主要是針對近點(diǎn)法以及加權(quán)二乘法。所以，筆者認(rèn)為根據(jù)不同條件下水文地質(zhì)學(xué)計算的要求，我們選擇不同的權(quán)函數(shù)。

第三，斷層問題的處理；在水文地質(zhì)學(xué)中經(jīng)常會遇到斷層問題的計算。但是，從實際的經(jīng)驗看來，如果使用斷層兩側(cè)的數(shù)據(jù)來計算插值是不符合邏輯的。筆者認(rèn)為，在遇到斷層需要計算時，可以在程序的設(shè)計中將斷層假定為簡單的直線或是曲線f（x）。這樣在計算時，可以將斷層分成幾段不連續(xù)的曲面，在計算的過程中就可以對其進(jìn)行有效的控制。但是，如果用將斷層用直線表示，則可以用：f（x，y）=y-（b+bx）。

第四，數(shù)據(jù)點(diǎn)的選擇；當(dāng)需要處理的數(shù)據(jù)很多的時候，選擇有效的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)成為計算效率和準(zhǔn)確率的關(guān)鍵。如果選擇的點(diǎn)過多，則會導(dǎo)致計算量加大，相反，如果選的點(diǎn)不夠則會影響數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度。通過實踐，我們發(fā)現(xiàn)，在距離Z點(diǎn)近的數(shù)據(jù)點(diǎn)對數(shù)據(jù)的影響是最大的，而較遠(yuǎn)的點(diǎn)影響相對較小，所以，選擇近點(diǎn)的4到8個數(shù)據(jù)進(jìn)行計算就可以達(dá)到一定的精準(zhǔn)度。

3 結(jié)束語

水文地質(zhì)學(xué)在實際的應(yīng)用中，對我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展，以及國土規(guī)劃和整治以及城市的現(xiàn)代化建設(shè)，環(huán)境的保護(hù)等，都發(fā)揮著重要的作用。而數(shù)學(xué)插值法在水文地質(zhì)學(xué)中發(fā)揮著重要的作用，對于水文地質(zhì)學(xué)的快速進(jìn)步起著促進(jìn)作用。在水文地質(zhì)學(xué)中，應(yīng)用的幾種常見的數(shù)學(xué)插值法，在實際的應(yīng)用中，都必須考慮到實際的環(huán)境，對其應(yīng)用應(yīng)該做到具體情況具體分析，這樣才能提高計算的效率和準(zhǔn)確度。與此同時，當(dāng)前用的數(shù)學(xué)插值法還存在著不足，還需要進(jìn)一步的努力來逐漸的完善，并能夠結(jié)合計算機(jī)技術(shù)使其計算的速度和準(zhǔn)確度有更大的提高。

參考文獻(xiàn)

[1]李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，1982.

[2]陳公寧，沈嘉驥.計算方法[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]吳才斌.插值方法[J].湖北大學(xué)成人教育學(xué)院學(xué)報，1999，（5）.

[4]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2005.

[5]姜琴，周天宏.常見的插值法及其應(yīng)用[J].鄖陽師范高等專科學(xué)校學(xué)報，2006，（03）.