圓與梯形珠聯(lián)璧合

如下圖，⊙O的直徑AB=12cm，AM和BN是它的兩條切線，DE切⊙O于點(diǎn)E，交AM于D，交BN于C，設(shè)AD=x，BC=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，畫出它的圖像。（新人教版數(shù)學(xué)九年級上冊第123頁《圓的總復(fù)習(xí)》第14題）

點(diǎn)撥：輔助線靈感來源于梯形，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接DO并延長與CB的延長線相交，構(gòu)造全等三角形AOD與BOF，構(gòu)造[RtΔ]COF，再用三角形相似來求解。

解法三：如下圖，連接DO、CO，過點(diǎn)O作BC的平行線交CD于點(diǎn)F.

點(diǎn)撥：輔助線靈感來源于圓與切線的位置關(guān)系，連接OE，可得OE⊥CD，再連接OD、OC，利用全等構(gòu)造[RtΔ]OCD，再利用三角形相似來求解。

【觀察與結(jié)論】

解法一：僅作一條輔助線，應(yīng)用勾股定理建立方程；

解法二：作三條輔助線，使用全等和三線合一性質(zhì)，再用勾股定理列方程；

解法三：作三條輔助線，用到了梯形的中位線定理，再用勾股定理列方程；

解法四：作三條輔助線，利用角平分線和三角形相似列方程。

這四種解法中輔助線的作法各有千秋，但都是通過圖形分割構(gòu)造直角三角形來解決問題。解法中運(yùn)用了梯形的有關(guān)知識、圓切線的性質(zhì)定理、圓切線長定理、勾股定理及方程思想。通過對該題的探究，不僅能有效地加深對梯形與圓的知識的理解，還能提高我們思維的靈活性、變通性，從形到數(shù)，完美地體現(xiàn)于圓與梯形的結(jié)合之中。