分類思想在教學中的滲透與運用

摘 要 一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類；其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。其二是根據(jù)幾何圖形的點和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題。

關(guān)鍵詞 分類 滲透 思維 討論

推行素質(zhì)教育，培養(yǎng)面向新世紀的合格人才，使學生具有創(chuàng)新意識，在創(chuàng)造中學會學習，教育應(yīng)更多的的關(guān)注學生的學習方法和策略。數(shù)學家喬治.波利亞所說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路”，隨著課程改革的深入，在應(yīng)試教育“向”素質(zhì)教育“轉(zhuǎn)變的過程中，對學生的考察，不僅考查基礎(chǔ)知識，基本技能，更為重視考查能力的培養(yǎng)。如基本知識概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理的學習和探索過程中所反映出來的數(shù)學思想和方法；要求學生會觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括；會闡述自己的思想和觀點。從而提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，對學生進行思想觀念層次上的數(shù)學教育。

數(shù)學分類思想，就是根據(jù)數(shù)學對象本質(zhì)屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數(shù)學思想。它既是一種重要的數(shù)學思想，又是一種重要的數(shù)學邏輯方法。具體做法如下：

一、滲透分類思想，養(yǎng)成分類意識

每個學生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學生的這一認識基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學中來，在教學中進行數(shù)學分類思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如數(shù)的分類，絕對值的意義，不等式的性質(zhì)等，都是滲透分類思想的很好機會。

進行完負數(shù)、有理數(shù)的概念教學后，及時引導學生對有理數(shù)進行分類，讓學生了解到對不同的標準，有理數(shù)有不同的分類方法，如分為：正有理數(shù)和負有理數(shù)。這就為下一步分類討論奠定了基礎(chǔ)。

認識數(shù)a可表示任意數(shù)后，讓學生對數(shù)a 進行分類，得出正數(shù)、零、負數(shù)三類。

講解絕對值的意義時，引導學生得到如下分類：通過對正數(shù)、零、負數(shù)的絕對值的認識，了解如何用分類討論的方法學習理解數(shù)學概念。

又如，兩個有理數(shù)比較大小，可分為：正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負數(shù)、負數(shù)和零、負數(shù)和負數(shù)幾類情況來比較，而負數(shù)和負數(shù)的大小比較是新的知識點，這就突出了學習的重點。

二、學習分類方法，增強思維縝密

（一）根據(jù)概念分類

有些數(shù)學概念是分類給出的，解答此類題，一般按概念的分類形式進行分類。

（二）根據(jù)法則分類

學習一元二次方程 根的判別式時，對于變形后的方程用兩邊開平方求解，需要分類研究大于0，等于0，小于0這三種情況對應(yīng)方程解的情況。而此題的符號決定能否開平方，是分類的依據(jù)。從而得到一元二次方程 的根的三種情況。

（三）根據(jù)圖形分類

如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，根據(jù)直線和圓的交點個數(shù)可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。

三、引導分類討論，提高解題能力

初中課本中有不少定理、法則、公式、習題，都需要分類討論，在教學這些內(nèi)容時，應(yīng)不斷強化學生分類討論的意識，讓學生認識到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結(jié)論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現(xiàn)錯誤，出現(xiàn)誤解。在解題教學中，通過分類討論還有利于幫助學生概括、總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而加強學生思維的條理性，縝密性。

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。其二是根據(jù)幾何圖形的點和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題。例如，已知函救y＝（m-1）x2＋（m-2）x－1（m是實數(shù)）。如果函數(shù)的圖象和x軸只有一個交點，求m的值。

分析：這里從函數(shù)分類的角度討論，分 m－1=0 和 m－110 兩種情況來研究解決問題。

解：當m＝l 時函數(shù)就是一個一次函數(shù)y＝－x－1，它與x軸只有一個交點（-1，0）。

當 m=1時，函數(shù)就是一個二次函數(shù)y＝（m－1）x2＋（m－2）x－1

當△＝（m－2）2+4（m－1）=0，得 m=0.

拋物線y=－x2－2x－1，的頂點（－1，0）在x軸上

又如， 函數(shù)y=x6-x5+x4-x3+x2-x+1，求證：y的值恒為正數(shù)。

分析：將y的表達式分解因式，雖可證得結(jié)論但較難。分析可發(fā)現(xiàn)，若將變量x在實數(shù)范圍內(nèi)適當分類，則問題容易解決。

證明：⑴ 當x ≤0時

∵ x5 - x3 - x ≥0 ，∴ y≥1恒成立；

⑵ 當0 < x <1時

y = x6 + （ x4 - x5 ） + （ x2 -x3 ） + （ x - 1）

∵x4 > x5 ， x2 > x3 ， 1> x

∴ y > 0 成立；

⑶ 當x = 1 時， y = 1 > 0 成立；

⑷ 當x >1時

y = （ x6 - x5 ） + （ x4 - x3 ） + （ x2 - x ） + 1

∵ x6 > x5 ， x4 > x3 ， x2 > x

∴ y > 1成立

綜上可知，y > 0 成立。

由此而觀之，我們可以看出分類討論往往能使一些錯綜復雜的問題變得異常簡單，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。另一方面在討論當中，可以激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。

利用現(xiàn)有教材，教學中著意滲透并力求幫助學生初步掌握分類的思想方法，結(jié)合其它數(shù)學思想方法的學習，注意幾種思想方法的綜合使用，給學生提供足夠的材料和時間，啟發(fā)學生積極思維。相信會使學生在認識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學成效。

參考文獻：

[1]《全日制義務(wù)教育課程標準（實驗稿）》.北京師范大學出版社.

[2] 任勇.《初中生學習法與能力培養(yǎng)》