高中數(shù)學(xué)中向量知識的幾個誤區(qū)探討

[摘 要]本文考慮高中學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，對高中數(shù)學(xué)中向量知識的幾個學(xué)習(xí)誤區(qū)包括結(jié)合律和消去率在數(shù)量積運(yùn)算中的應(yīng)用、實數(shù)零和零向量的關(guān)系、向量坐標(biāo)與點(diǎn)的區(qū)別、平面幾何性質(zhì)和向量性質(zhì)的區(qū)別、向量垂直和平行的充要條件、向量夾角的意義、點(diǎn)平移與向量平移的區(qū)別等進(jìn)行探討，以期提高向量學(xué)習(xí)效果。

[關(guān)鍵詞]向量平行 向量垂直 向量平移

引言：向量相關(guān)知識一直以來都是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是每年高考的必考內(nèi)容。近年來向量部分在各省高考數(shù)學(xué)試題中，主要側(cè)重于對向量概念及性質(zhì)，向量的基礎(chǔ)運(yùn)算如空間圖形和平面圖形中的向量應(yīng)用等進(jìn)行考查。但同學(xué)們由于未能正確理解向量基礎(chǔ)知識，導(dǎo)致在解題和學(xué)習(xí)過程中容易出現(xiàn)各種各樣不易察覺的錯誤，進(jìn)而使解題思路進(jìn)入各種誤區(qū)，造成極大混亂。本文對向量學(xué)習(xí)中必須加以注意的事項進(jìn)行列舉，以期能幫助高中同學(xué)更好地理解向量。

一、 零向量與實數(shù)零的區(qū)別及有關(guān)運(yùn)算

向量■代表零向量，它的方向只有一個，且是任意的，大小為0。零向量平行于任意向量。而0只是一個實數(shù)，并沒有方向的概念。零向量在向量運(yùn)算中經(jīng)常出現(xiàn)，也是最容易出導(dǎo)致計算錯誤的知識點(diǎn)，這主要還是因為同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中未能加速對零向量的理解所致。例如，對于兩個向量的乘機(jī)■·■=0，直接推導(dǎo)出■或■=0是最典型的錯誤。這是因為在實數(shù)運(yùn)算中，兩個數(shù)相乘結(jié)果為零，那么表示兩個實數(shù)至少有一個為零是正確的，但在向量的數(shù)量積運(yùn)算中除了表示兩個向量至少有一個為零向量外，還存在另一種可能性，那就是兩個向量如果方向垂直的話，其乘積也為零。

二、 向量積運(yùn)算

向量積運(yùn)算容易出現(xiàn)的錯誤是簡單地套用實數(shù)積運(yùn)算中的消去率和結(jié)合律。例如，由■·■=■·■，■≠0直接推出■=■。很明顯這是錯誤的。會出現(xiàn)這種錯誤，原因在于個別同學(xué)未能真正理解向量的定義。

另一個在向量的數(shù)量積運(yùn)算中容易出現(xiàn)的誤區(qū)就是錯誤運(yùn)用結(jié)合律。在實數(shù)運(yùn)算中，（a·b）·c=a·（b·c）很明顯是成立的，但兩兩相乘的向量積運(yùn)算如（■·■）·■=■·（■·■）則是錯誤的。原因就在于，兩個向量相乘如（■·■）或（■·■）的結(jié)果是實數(shù)，而三個向量相乘如（■·■）·■或■·（■·■）則是向量，兩個向量相等的條件是兩者的大小相等，方向一樣（即共線）。

三、向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)

向量的坐標(biāo)是將所表示向量的字母用等號與坐標(biāo)相連接，而點(diǎn)坐標(biāo)是直接在所表示點(diǎn)的字母后面直接寫。例如，某題給出三角形三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（-3，5），B（-5，2），C（1，-2），要求對三角形的形狀進(jìn)行判斷。錯誤解法是將點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)搞混，導(dǎo)致出現(xiàn)概念性錯誤：因為-3×1+5×（-2）=-13<0，所以三角形ABC為鈍角三角形。正確解法應(yīng)該是先對向量■、■的坐標(biāo)進(jìn)行計算■=（-5，2）-（-3，5）=（-2，-3），■=（-5，2）-（-1，2）=（-6，4），所以■·■=（-2，-3）·（-6，4）=0，因此AB垂直于CB，故三角形ABC為直角三角形。

此外，在向量坐標(biāo)和點(diǎn)坐標(biāo)知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)過程中還應(yīng)該注意區(qū)分點(diǎn)平移和向量平移。平移公式并不適合向量平移的規(guī)律，它揭示的是沿著向量方向平移點(diǎn)坐標(biāo)之后，前后坐標(biāo)之間的變化關(guān)系；而向量平移并不會改變自身大小，其大小和方向依然與原向量相等。因此，我們在運(yùn)用平移公式時必須對平移前后的坐標(biāo)加以認(rèn)真區(qū)分。

四、向量平面性質(zhì)及幾何性質(zhì)

向量具有方向性，因此兩個向量不能直接比較大??；規(guī)定任意向量都與零向量平行；單位向量有無數(shù)個，是指長度為1的向量；兩個向量平行也稱兩個向量共線，平行公理在對于向量平行情況并不適用。例如，某題要求找出以下四個命題中的假命題，分別是1.假設(shè)平面上所有單位向量都擁有共同的起點(diǎn)，那么將這些向量的終點(diǎn)連接起來構(gòu)成的圖形是一個圓；2.如果向量■平行于向量■，向量■平行于向量■，那么向量■平行于向量■；3.如果向量■大小為7，向量■大小為8，那么向量■小于向量■；4.如果兩個向量■、■共線，那么可用一條直線將A、B、C、D四點(diǎn)連接起來。根據(jù)平面向量的有關(guān)性質(zhì)，向量不只有大小還有方向，很明顯第三個命題錯誤。

五、結(jié)論

綜上所述，高中數(shù)學(xué)相對于初中數(shù)學(xué)來講深化了許多概念，在很多知識點(diǎn)的運(yùn)用上更為強(qiáng)調(diào)對其使用條件和性質(zhì)的深入了解。高中學(xué)生在每一章節(jié)的教學(xué)習(xí)中，只有對每一個概念都進(jìn)行深刻理解，并注意抓住它們與其它知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，舉一反三，注重區(qū)分和對比，才能避免陷入不必要的學(xué)習(xí)誤區(qū)，從而提高學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)：

[1] 姚洪琪. 空間四點(diǎn)共面充要條件的應(yīng)用與探究[J]. 中國校外教育. 2011（07）

[2] 高明生.平面向量的基本功，你掌握了嗎[J].中學(xué)生數(shù)理化（高一版）. 2008（04）

[3]李昭平.學(xué)習(xí)向量八注意[J].數(shù)學(xué)大世界（高中輔導(dǎo)）.2003（05）

[4] 劉顯偉. 例談平面向量數(shù)量積公式的常見應(yīng)用[J]. 新高考（高一語數(shù)外）. 2011（01）

[5] 王新明. 例談平面向量數(shù)量積的七大應(yīng)用[J]. 新高考（高一版）. 2010（01）

作者簡介：羅?。?995年4月），男，籍貫：湖北麻城；現(xiàn)就讀于華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)高三18班.