一條中線長為整數(shù)的整邊三角形

李 怡 朱一心 李克正

(首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,北京 100048)

0 引 言

三邊長都為整數(shù)的三角形稱為整邊三角形.關(guān)于整邊三角形的研究很多結(jié)論集中在滿足特殊條件的三角形的存在性以及相應(yīng)的計數(shù)問題上.常見條件是關(guān)于邊的關(guān)系、角的關(guān)系、面積的關(guān)系,這些關(guān)系往往以某種定值問題出現(xiàn).如:整邊三角形的計數(shù)[1-2]、面積與周長數(shù)值相等的整邊三角形計數(shù)[3-4]、有一個內(nèi)角度數(shù)為60°或120°的整邊三角形[5-6]等.

本文研究一條中線長為整數(shù)的整邊三角形的存在和性質(zhì):整邊三角形一條中線長為整數(shù)的充要條件;一條中線長為整數(shù)的一類特殊的整邊三角形.

本文有關(guān)的符號說明:

(1)用a、b和c分別表示△ABC3個內(nèi)角∠A、∠B和∠C的對應(yīng)邊;

(2)用三元無序?qū)崝?shù)對表示三角形的3條邊長,例如(12、5和13)表示邊長分別為12、5和13的三角形,稱為整邊三角形(12、5和13);

(3)N+,Z表示正整數(shù)和整數(shù)集合.

1 主要結(jié)果及證明

定理1 設(shè)整邊三角形的3條邊分別為a、b和c,邊a上的中線長是整數(shù)的充要條件是2b2+2c2-a2為偶平方數(shù).

(注:由于整邊三角形的3條邊滿足b+c＞a,易知2b2+2c2-a2≠0.)

證明如圖1所示,△ABC是整邊三角形,3邊分別為a、b、c,設(shè)D是BC的中點,BD=CD=t,點A到對邊a的中線長為z,需證:z為整數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)2b2+2c2-a2為偶數(shù)的平方,且2b2+2c2-a2≠0.

圖1 整邊三角形

一條中線長為整數(shù)的整邊三角形是否存在,需要知道中線長為整數(shù)的整邊三角形的三邊性質(zhì).

推論整邊三角形1條邊中線長為整數(shù)的必要條件是該邊長必是偶數(shù),另外2條邊長同奇偶.

證明若邊a上的中線長為整數(shù),由定理1可知,2b2+2c2-a2是正的偶平方數(shù).設(shè)2b2+2c2-a2=(2n)2,n是正整數(shù),則a必為偶數(shù),設(shè)a=2k,k∈N+,有b2+c2=2k2+2n2,則b、c同奇偶.

從證明可知,求出不定方程b2+c2=2k2+2n2的整數(shù)解,便可得到邊a上的中線長為整數(shù)時,整邊三角形3邊的表示.因此要求不定方程

b2+c2=2k2+2n2(?)

的整數(shù)解,其中b,c,k,n∈N+;b、c同奇偶.

為此,先回顧一些抽象代數(shù)知識[7]:

(1)形如Z[i]={a+bi|a,b∈Z}的復(fù)數(shù)關(guān)于數(shù)的加法和乘法構(gòu)成一個整環(huán),稱為高斯整數(shù)環(huán).Z[i]是唯一分解整環(huán).Z[i]中的單位:-1,1,-i,i.設(shè)p是整環(huán)D的1個非零非單位的元素,如果對任意的a,b∈D,由p整除ab,可推出p整除a或p整除b,則稱p為D的1個素元.

(2)設(shè)α=a+bi∈Z[i],定義ф(α)=a2+b2為Z[i]中元素α的范數(shù).

(3)對于Z[i]中的整數(shù)元素p,若方程x2+y2=p沒有整數(shù)解,則p是素元;對于Z[i]中的非整數(shù)元素α=a+bi,若ф(α)為素數(shù),則α為素元.

下面解不定方程(?):

解利用高斯整環(huán)Z[i]是唯一分解整環(huán)這一事實,將方程(?)在Z[i]中分解,得:

因為ф(1+i)=ф(1-i)=2,所以1+i,1-i都是Z[i]中的素元.不妨設(shè)(1+i)整除(b+ci),取共軛可知(1-i)整除(b-ci).

令gcd(b+ci,k+ni)=p+qi∈Z[i],p,q∈N+,則存在u+vi∈Z[i],u,v∈N+,使得

注意到gcd(b+ci,u+vi)=1(否則與gcd(b+ci,k+ni)=p+qi矛盾),結(jié)合式(4)可知,(u+vi)整除(b-ci),從而(u-vi)整除(b+ci).

由上所述有

將式(3)、式(4)代入式(2),得:

考慮到Z[i]中的單位有±1,±i,結(jié)合式(5)、式(6)、式(7)可得:

展開式(10)、式(11),并使等號兩邊虛、實部分別相等,得到不定方程(?)的4組解:

式中p,q,u,v∈Z.

由不定方程(?)的解可得如下定理:

定理2不定方程b2+c2=2k2+2n2的解為①～④.

由此可以討論邊a上的中線長為整數(shù)的整邊三角形3條邊的表示.

由于①～④中k的表示相同,所以a=2k=2pu-2qv.為了討論方便,假設(shè)p、q、u、v都是非負整數(shù).在分析時要注意三角形3條邊長需要滿足a+b＞c,b+c＞a,c+a＞b.

i)對于解①:

因為a+b=(2pu-2qv)+(pu-qu+pv+qv)=3pu-qu+pv-qv,所以a+b-c=(3pu-qu+pv-qv)-(pu+qu-pv+qv)=2pu-2qu+2pv-2qv=2(p-q)(u+v)＞0,則需要p-q＞0,即p＞q;

因為b+c=(pu-qu+pv+qv)+(pu+qupv+qv)=2(pu+qv),所以b+c-a=2(pu+qv)-(2pu-2qv)=4qv＞0,滿足b+c＞a;

因為c+a=(pu+qu-pv+qv)+(2pu-2qv)=3pu+qu-pv-qv,所以c+a-b=(3pu+qu-pv-qv)-(pu-qu+pv+qv)=2pu+2qu-2pv-2qv=2(p+q)(u-v)＞0,則需要u-v＞0,即u＞v.

所以,若p＞q,u＞v,且p、q、u、v都是非負整數(shù),那么得到的a、b和c能構(gòu)成三角形.再來看在這樣的條件下,是否能使a、b和c都是正數(shù):

因為pu＞qv,所以a=2pu-2qv＞0;

因為p＞q,則b=pu-qu+pv+qv＞pupu+pv+qv=pv+qv＞0;

因為u＞v,則c=pu+qu-pv+qv＞pu+qu-pu+qv=qu+qv＞0.

綜上所述:在p＞q,u＞v,且p、q、u、v都是非負整數(shù)的條件下,由解①得到的a、b和c可以構(gòu)成三角形.

那么此時是否滿足b、c同奇偶的要求.將解①中b、c的表示寫為:b=(pu+qv)+(pv-qu),c=(pu+qv)-(pv-qu).根據(jù)一般性的結(jié)論:對于2個整數(shù)x、y、x+y和x-y同奇偶.所以可知解①中的b,c同奇偶.

ii)對于解②:

注意到p、q、u、v都是非負整數(shù),則b+c=(-pu+qu-pv-qv)+(-pu-qu+pv-qv)=-2(pu+qv)＜0,與b+c＞0矛盾,所以無解.

iii)對于解③:

a+b=(2pu-2qv)+(-pu-qu+pv-qv)=pu-qu+pv-3qv,注意到p、q、u、v都是非負整數(shù),所以a+b-c=(pu-qu+pv-3qv)-(pu-qu+pv+qv)=-4qv＜0,與a+b＞c矛盾,所以無解.

iv)對于解④:

a+c=(2pu-2qv)+(-pu+qu-pv-qv)=pu+qu-pv-3qv,注意到p、q、u、v都是非負整數(shù),a+c-b=(pu+qu-pv-3qv)-(pu+qu-pv+qv)=-4qv＜0,與a+c＞b矛盾,所以無解.

因此得到:

定理3任取p,q,u,v∈N+;p＞q,u＞v,當(dāng)a=2pu-2qv,b=pu-qu+pv+qv,c=pu+qupv+qv時,三角形(a、b、c)是1條中線長為整數(shù)的整邊三角形.

2 例 子

以下例子說明如何利用定理3求得1個1條中線長為整數(shù)的整邊三角形:

例根據(jù)定理3,取p=3,q=2,u=2,v=1,計算得到a=8,b=7,c=9,可以驗證a上的中線長為7.

由于在定理 3中假設(shè)了p、q、u、v都是非負整數(shù),因此并不是將不定方程的所有解都對應(yīng)到得到的中線長為整數(shù)的整邊三角形,只是得到其中一部分.