學習平行四邊形的判定時,我們通常學習了如下幾種判定方法:
⑴兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.這是平行四邊形的定義,也是一種判定方法.
⑵兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;
⑶一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;
⑷對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
除了以上四種判定方法外,本文補充另外幾種判定方法,若同學們認真分析,探索研究,也就會發(fā)現還有如下的幾種判定方法:
⑸兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.
⑹一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形;
⑺一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形.
下面就以上⑸ ⑹ ⑺ 三種判定方法分別作簡略證明.
求證⑸:兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。(這道題在新人教版教材中以練習題的形式出現。)
已知如圖① 四邊形ABCD中∠A =∠C , ∠B =∠D ,求證四邊形 ABCD是平行四邊形。
證明:如圖① 在四邊形ABCD中 ∠A +∠B + ∠C + ∠D=360° ,∠ A = ∠C , ∠B=∠D ∴ 2∠A+2∠B=360° ∴ ∠A+∠B=180° ∴ AD ∥ BC 同理可得AB ∥ CD ∴四邊形ABCD是平行四邊形
即有:兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。
圖①
求證⑹:一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形
已知:在四邊形ABCD中AB =CD ,∠ A = ∠C 求證 四邊形ABCD是平行四邊形
證明 1. 當∠A 、∠C 是鈍角時,如圖② 在四邊形ABCD中,延長DA和BC,過B點作BE ⊥ DA的延長線于E點,過D點作DF⊥BC的延長線于F點, 則有 ∠BEA= ∠DFC =90° ,∵ ∠DAB= ∠BCD, ∠BAE=180° -∠DAB =180° -∠BCD =∠DCF 。 在△BAE和△DCF中,∵ ∠BEA= ∠DFC=90°, ∠BAE=∠DCF, AB=CD,∴△ABE ≌ △CDF( AAS ) ∴ BE=DF, AE=CF 連結BD , 在 Rt△BED和Rt△DFB中 ∵ BD=DB BE=DF ∴Rt△BED≌Rt△DFB ( HL ) ∴DE=BF 又∵AE=CF ∴ DE-AE=BF-CF 即AD=BC 又 ∵ AB=CD ∴ 四邊形ABCD是平行四邊形 。
圖②
2.當A ,C是直角時, 如圖③所示 連結BD,在Rt△ABD和Rt△CDB 中 ∵AB=CD ,BD=DB ∴Rt△ABD ≌ Rt△CDB ( HL ) ∴ AD=CB , 又 ∵AB=CD ∴ 四邊形ABCD是平行四邊形。
圖③
3.當∠A , ∠C是銳角時,如圖④所示,方法同1,過B點作BE ⊥AD于E點,過D 點作DF⊥BC于F點,可得Rt△ABE ≌ Rt△CDF(AAS) ∴ BE= DF, AE=FC . 連結BD,可證得 Rt△BED ≌Rt△DFC (HL)∴ DE=BF ∴ AE+DE=FC+BF ∴ AD=BC 又∵AB=CD ∴ 四邊形ABCD是平行四邊形。
綜上1,2,3可得:一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形。
圖④ 圖⑤
求證⑺:一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形
已知如圖⑤ 在四邊形ABCD中,AB ∥CD,∠A =∠C ,求證:四邊形ABCD是平行四邊形
證明:如圖⑤在四邊形ABCD中 ∵AB ∥CD,∴∠A+ ∠D=∠B+∠C=180° , ∵∠A= ∠C , ∴∠B =∠D ∴四邊形ABCD是平行四邊形。
通過以上幾種判定法的補充,相信對同學們學習平行四邊形有所幫助,對于認識和掌握平行四邊形的結構和性質以及它的判定方法,特別是平行四邊形的判定方法,都會更加詳細徹底,更加豐富全面。下面補充幾道練習題, 相信同學們能夠學以致用,并且在解決平行四邊形的判定題時,一定會達到游刃有余,輕松愉快的境界。