數(shù)學(xué)進(jìn)化中的知識(shí)發(fā)現(xiàn)方法

陳文偉，黃金才，陳晟

(1.海軍兵種指揮學(xué)院 三系，廣東 廣州 510431;2.國(guó)防科技大學(xué) C4ISR技術(shù)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410073;3.東南融通系統(tǒng)工程有限公司測(cè)試業(yè)務(wù)線(xiàn)，北京 100013)

數(shù)學(xué)進(jìn)化中的知識(shí)發(fā)現(xiàn)方法

陳文偉1，2，黃金才2，陳晟3

(1.海軍兵種指揮學(xué)院 三系，廣東 廣州 510431;2.國(guó)防科技大學(xué) C4ISR技術(shù)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410073;3.東南融通系統(tǒng)工程有限公司測(cè)試業(yè)務(wù)線(xiàn)，北京 100013)

從數(shù)學(xué)歷史發(fā)展過(guò)程中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的進(jìn)化規(guī)律，從創(chuàng)造數(shù)學(xué)符號(hào)和包容對(duì)立的概念中獲得了最早的數(shù)學(xué)知識(shí).將數(shù)學(xué)符號(hào)組合而成的表達(dá)式和方程，使問(wèn)題變換成了形式化表示，當(dāng)表達(dá)式和方程通過(guò)推演和求證，判斷其正確性時(shí)，就形成了公式和定理，它們是數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)理論.推演和求證過(guò)程是采用了等價(jià)變換.數(shù)學(xué)進(jìn)化中更重要的知識(shí)發(fā)現(xiàn)方法是利用進(jìn)化變換(對(duì)變量、函數(shù)、方程、方法等的變換)來(lái)拓展數(shù)學(xué)的新概念和解決不能求解的問(wèn)題(可拓變換)，從而建立了數(shù)學(xué)的理論體系.創(chuàng)造、包容、形式化變換、等價(jià)變換和進(jìn)化變換都是數(shù)學(xué)進(jìn)化中的知識(shí)發(fā)現(xiàn)方法.

數(shù)學(xué)進(jìn)化;知識(shí)發(fā)現(xiàn);創(chuàng)造法;包容法;形式化變換;等價(jià)變換;進(jìn)化變換

數(shù)學(xué)的進(jìn)化發(fā)展是一個(gè)不斷創(chuàng)新的過(guò)程.現(xiàn)已出版的各種關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)展史的書(shū)籍都是介紹各個(gè)時(shí)期所發(fā)現(xiàn)的新知識(shí)以及它的價(jià)值［1］，很少有人去研究數(shù)學(xué)發(fā)展中是否存在進(jìn)化規(guī)律.本文試探研究數(shù)學(xué)進(jìn)化中的知識(shí)發(fā)現(xiàn)方法，以便啟發(fā)人們?nèi)ダ斫夂退伎歼@些方法，并進(jìn)一步去尋找更多的知識(shí)發(fā)現(xiàn)方法［2］，這樣，人們能更清晰地掌握和促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程.這是一種新的嘗試，希望能引起大家的關(guān)注.

1 數(shù)學(xué)進(jìn)化綜述

數(shù)學(xué)經(jīng)過(guò)幾千年的進(jìn)化發(fā)展，筆者從以下3個(gè)方面來(lái)分析數(shù)學(xué)的進(jìn)化過(guò)程.

1.1 數(shù)學(xué)本質(zhì)的進(jìn)化

數(shù)學(xué)本質(zhì)的進(jìn)化過(guò)程可以簡(jiǎn)單地表述為［1］:

數(shù)學(xué)概念→初等數(shù)學(xué)→變量數(shù)學(xué)→現(xiàn)代數(shù)學(xué)→計(jì)算數(shù)學(xué).

數(shù)學(xué)概念時(shí)期主要是建立了自然數(shù)和簡(jiǎn)單的計(jì)算;初等數(shù)學(xué)時(shí)期主要有算術(shù)、幾何、代數(shù)、三角等;變量數(shù)學(xué)時(shí)期主要有函數(shù)、微積分、概率論等;現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期主要有非歐幾何、向量、群論、線(xiàn)性代數(shù)、集合論等.以上進(jìn)化過(guò)程是建立在嚴(yán)格的邏輯推理基礎(chǔ)的解析求解，笛卡爾指出，唯有數(shù)學(xué)證明是最科學(xué)和最嚴(yán)密的.

計(jì)算數(shù)學(xué)時(shí)期主要是利用計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值求解，它開(kāi)始是用來(lái)解決不能進(jìn)行解析求解的問(wèn)題.隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以進(jìn)行數(shù)值求解，這極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的應(yīng)用，使人類(lèi)社會(huì)進(jìn)入了信息化社會(huì).

1.2 數(shù)學(xué)符號(hào)表示的進(jìn)化

數(shù)學(xué)符號(hào)表示使數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)化，它是數(shù)學(xué)進(jìn)化的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)化過(guò)程可以表述為

數(shù)字→算術(shù)→符號(hào)→表達(dá)式→方程式→圖形→程序.

數(shù)字是數(shù)學(xué)的原始表示，主要是印度－阿拉伯?dāng)?shù)字:0、1、2、3、4、5、6、7、8、9;數(shù)學(xué)符號(hào)包括:特定數(shù)字(e、π、∞)、變量(x、y、z)、運(yùn)算(+、－、×、÷)、關(guān)系(=、＜、＞、∽、∧、∨)、結(jié)合({}、())、省略(∵ 、log、∑、！)等符號(hào)，它們極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展;公式和方程式是用數(shù)學(xué)符號(hào)組合而形成的，它是數(shù)學(xué)中最重要的表示形式;圖形是空間的表現(xiàn)形式，主要用于解析幾何和拓?fù)鋵W(xué)中;程序是計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的表示形式.

1.3 數(shù)學(xué)理論的形成

數(shù)學(xué)理論的形成過(guò)程可以概括為

形式化表示→推演求證→公式和定理→理論體系.

數(shù)學(xué)問(wèn)題用表達(dá)式或方程式(數(shù)學(xué)符號(hào)的組合)進(jìn)行表示，實(shí)質(zhì)上完成了“從數(shù)學(xué)問(wèn)題到形式化表示的轉(zhuǎn)換”.形式化表示是數(shù)學(xué)進(jìn)化的最重要方法之一，它省去了問(wèn)題的內(nèi)容，形成了既直觀又簡(jiǎn)單的有效表示方式［3］.它便于推演與求證，即利用等價(jià)變換，得到正確的公式或者證明了定理.這種抽去了內(nèi)容的正確結(jié)論，具有通用性，形成了數(shù)學(xué)理論［4］.數(shù)學(xué)中各門(mén)類(lèi)的理論集合，形成了數(shù)學(xué)的理論體系.

2 數(shù)學(xué)進(jìn)化的知識(shí)發(fā)現(xiàn)方法

2.1 創(chuàng)造法

創(chuàng)造法使數(shù)學(xué)從無(wú)到有，包括人類(lèi)創(chuàng)造的數(shù)字、符號(hào)、圖形、函數(shù)、微積分、方程等.

1)數(shù)字的創(chuàng)造.數(shù)字的創(chuàng)造有幾千年的歷史，阿拉伯、印度、中國(guó)等古老民族都創(chuàng)造出自己的數(shù)字，最后統(tǒng)一為印度－阿拉伯?dāng)?shù)字.

2)符號(hào)的創(chuàng)造與進(jìn)化.表述為數(shù)字符號(hào)→ 運(yùn)算符號(hào)→函數(shù)符號(hào)→微積分符號(hào)→方程表示.這些符號(hào)的創(chuàng)造形成了數(shù)學(xué)的形式化，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的進(jìn)化.

3)圖形的創(chuàng)造與進(jìn)化.表述為坐標(biāo)圖形→平面曲線(xiàn)→空間曲面→拓?fù)浔硎?這些圖形的創(chuàng)造使數(shù)學(xué)更形象化了，數(shù)學(xué)家把這些圖形用函數(shù)來(lái)表示，即把圖形變換成函數(shù)來(lái)研究，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的新分支.

2.2 包容法

數(shù)學(xué)的進(jìn)化得益于采用了包容法，它把矛盾的雙方都包容共存下來(lái)，承認(rèn)矛盾的雙方都合理，把它們合起來(lái)構(gòu)成一個(gè)新領(lǐng)域.典型表現(xiàn)在于數(shù)的進(jìn)化和幾何的進(jìn)化，這是數(shù)學(xué)進(jìn)化的重要特點(diǎn).這種包容法稱(chēng)為包容變換(特殊的可拓加變換)［5］，表示為

式中A和A－1是數(shù)學(xué)中相反的雙方.

2.2.1 數(shù)的進(jìn)化

數(shù)的進(jìn)化是在不斷創(chuàng)造新數(shù)［1］，它與原來(lái)的數(shù)又存在矛盾，但采用包容法，承認(rèn)矛盾的雙方都合理，把雙方都包容共存起來(lái)形成一個(gè)更大范圍的新數(shù).

數(shù)的進(jìn)化過(guò)程表述為［1］

自然數(shù)→整數(shù)→有理數(shù)→無(wú)理數(shù)→實(shí)數(shù)→虛數(shù)→復(fù)數(shù).

1)自然數(shù)與零(0)是矛盾的，正數(shù)與負(fù)數(shù)是矛盾的.自然數(shù)(正數(shù))是有值的數(shù)，零(0)是無(wú)值的數(shù)，正好相反.正數(shù)與負(fù)數(shù)也是相反的.把它們都包容共存起來(lái)，構(gòu)成新數(shù)即整數(shù).用包容變換表示為

2)有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的矛盾，用包容變換表示為

3)實(shí)數(shù)與虛數(shù)的矛盾，用包容變換表示為

以上包容變換完成了數(shù)的進(jìn)化，使數(shù)成為了一個(gè)完整的整體.其中“0”本身是“一無(wú)所有”，但是它在記數(shù)中表示“空位”，它作為一個(gè)數(shù)可以參與運(yùn)算，又是數(shù)軸上的起點(diǎn)和分界點(diǎn)，在數(shù)中發(fā)揮了重要的作用.還有虛數(shù)()最早是在方程式求根公式中出現(xiàn)，不被人看好，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯創(chuàng)立虛數(shù)的圖解法，虛數(shù)的意義才逐漸明確.復(fù)數(shù)可以表示力、位移、速度等向量，有了實(shí)際意義，才為人們廣泛承認(rèn).現(xiàn)在復(fù)變函數(shù)的理論在流體力學(xué)、熱力學(xué)等方面有了廣泛的應(yīng)用.

2.2.2 幾何的進(jìn)化

幾何的進(jìn)化同樣是不斷地包容矛盾的雙方才得以進(jìn)步的.最早建立的比較嚴(yán)格的幾何體系是歐幾里德的幾何.在歐氏幾何中第5公理，設(shè)“給定一條直線(xiàn)l和不在直線(xiàn)上的一點(diǎn)P時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作和直線(xiàn)l平行的直線(xiàn)m有且只有一條”，該公理不直觀、難于驗(yàn)證.

羅巴切夫斯基作出與歐幾里德幾何第5公理相反的斷言:通過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，可以引不止一條而至少是2條直線(xiàn)平行于已知直線(xiàn)，由此推導(dǎo)下去，他得到一系列前后一貫的命題，形成邏輯上沒(méi)有任何矛盾的與歐氏幾何完全不同的另外一種新幾何系統(tǒng)，稱(chēng)羅巴切夫斯基非歐幾何.

非歐幾何與歐氏幾何是相矛盾的.當(dāng)時(shí)受到嘲笑，非歐幾何在創(chuàng)立后的三四十年的時(shí)間內(nèi)完全被學(xué)術(shù)界忽視.后來(lái)，黎曼建立了空間曲率概念，黎曼指出:如果設(shè)曲率為α，當(dāng)α =0時(shí)，這個(gè)空間的模型便是歐氏平面幾何;當(dāng)α＞0時(shí)，得到羅氏非歐幾何;而對(duì)于α＜0時(shí)，則是黎曼本人的創(chuàng)造，它對(duì)應(yīng)于另一種非歐幾何學(xué)，即黎曼幾何.實(shí)際上，普通球面的幾何就是黎曼非歐幾何.并且，黎曼非歐幾何與羅氏非歐幾何在空間曲率上是相反的.

克萊因用“群”的觀點(diǎn)來(lái)研究幾何學(xué)，他認(rèn)為，變換群的任何一種分類(lèi)對(duì)應(yīng)幾何學(xué)的一種分類(lèi).這樣，表面上互不相干的幾何學(xué)就被聯(lián)系在一起了，克萊因統(tǒng)一了幾何學(xué)，后人稱(chēng)為克萊因幾何.

包容法把幾個(gè)矛盾的幾何都包容進(jìn)來(lái)了，極大促進(jìn)了幾何的進(jìn)化.幾何的進(jìn)化用包容變換(特殊的可拓加變換)表示為

愛(ài)因斯坦提交的《引力場(chǎng)方程》的論文，標(biāo)志廣義相對(duì)論的誕生，文章提出的引力使光線(xiàn)彎曲的計(jì)算，正是引用了黎曼幾何的數(shù)學(xué)表述.

2.3 形式化變換

各種數(shù)學(xué)符號(hào)的組合形成了表達(dá)式和方程，它用來(lái)描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，既簡(jiǎn)化了問(wèn)題又便于推演.形式化表示［6］實(shí)質(zhì)上實(shí)現(xiàn)了把問(wèn)題的自然語(yǔ)言描述變換成了問(wèn)題的形式化描述.這樣極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的進(jìn)化，把這種變換稱(chēng)為形式化變換.形式化變換表示為

形式化變換是數(shù)學(xué)進(jìn)化的重要里程碑.我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展較遲緩的一個(gè)重要原因在于沒(méi)有把問(wèn)題進(jìn)行形式化變換，而西方數(shù)學(xué)的發(fā)展較快的原因正是得益于把數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了形式化變換.

2.4 等價(jià)變換

數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的解題方法是用等價(jià)變換進(jìn)行解析求解或者進(jìn)行定理證明.等價(jià)變換不是相同變換，等價(jià)變換的前后會(huì)發(fā)生變化，要么是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)元素的變化，要么是數(shù)值的變化.

2.4.1 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中元素變化的等價(jià)變換

數(shù)學(xué)中絕大多數(shù)的運(yùn)算都是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的元素發(fā)生變化的等價(jià)變換，即相等運(yùn)算的元素前后都發(fā)生了變化.

例如，線(xiàn)代數(shù)方程組用矩陣表示為

線(xiàn)代數(shù)方程組利用消元法求解，通過(guò)對(duì)矩陣的元素進(jìn)行選主元、主元?dú)w一、消元等步驟反復(fù)推演，最后得到具有單位矩陣的線(xiàn)性方程組，其中每一步相等運(yùn)算前后的元素都發(fā)生了變化，最后得到的具有單位矩陣的線(xiàn)性方程組，即

它和原始的線(xiàn)性方程組在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的元素上發(fā)生巨大的變化，這時(shí)已經(jīng)求出方程組的解.

2.4.2 數(shù)值變化的等價(jià)變換

數(shù)學(xué)中的迭代法的等價(jià)變換，其運(yùn)算的前后都不發(fā)生數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)元素的變化，但是發(fā)生數(shù)值的變化，經(jīng)過(guò)成千上萬(wàn)次迭代，最后得到方程的解.

例如，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中權(quán)值和閾值的求解的迭代算法.

1)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的變換Tw:

該變換的計(jì)算公式為

2)閾值的變換Tθ:

該變換的計(jì)算公式為

迭代公式每次迭代時(shí)公式形式不會(huì)發(fā)生變化，但每次迭代時(shí)元素的值在發(fā)生變化.

數(shù)學(xué)中的等價(jià)變換是解決“未知”與“已知”的問(wèn)題.等價(jià)變換是在數(shù)學(xué)原理(定義、定理等)或數(shù)學(xué)方法(消去法、迭代法等)的指導(dǎo)下進(jìn)行的，通過(guò)等價(jià)推演或相等計(jì)算來(lái)完成從“未知”到“已知”的轉(zhuǎn)變［7］.

2.5 進(jìn)化變換

2.5.1 新概念的拓展

對(duì)變量的變換拓展出了函數(shù)的新概念，對(duì)函數(shù)的變換拓展出了導(dǎo)數(shù)和積分的新的概念等.這些拓展新概念的變換稱(chēng)為進(jìn)化變換.

1)函數(shù)的出現(xiàn)與進(jìn)化.

函數(shù)的創(chuàng)造使常量數(shù)學(xué)進(jìn)入了變量數(shù)學(xué).笛卡爾的幾何學(xué)第一次涉及到變量，對(duì)變量的變換就形成了函數(shù).函數(shù)是使變量x變換為變量y，變量y是隨著變量x按照函數(shù)的關(guān)系而改變的.

函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式和進(jìn)化變換的表示分別為

函數(shù)的進(jìn)化過(guò)程表述為

函數(shù)→初等函數(shù)→復(fù)合函數(shù)→復(fù)變函數(shù)→函數(shù)方程→特殊函數(shù).

函數(shù)的創(chuàng)造在數(shù)學(xué)中是具有重要意義的標(biāo)志或里程碑.數(shù)學(xué)家克萊因說(shuō)，函數(shù)是數(shù)學(xué)思考和科學(xué)思考的心臟和靈魂.

2)微積分的出現(xiàn)與進(jìn)化.

微分學(xué)研究物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度、曲線(xiàn)的切線(xiàn)、函數(shù)的極值等問(wèn)題，積分學(xué)解決計(jì)算曲線(xiàn)所圍成的面積、曲面所圍成的體積、曲線(xiàn)長(zhǎng)、物體的中心等問(wèn)題.

微積分實(shí)質(zhì)上是對(duì)函數(shù)的變換，即把一個(gè)函數(shù)變換成了另一個(gè)函數(shù)(導(dǎo)數(shù)或原函數(shù))，導(dǎo)數(shù)和積分的數(shù)學(xué)表達(dá)式和進(jìn)化變換分別表示為:

微分和積分是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是科學(xué)發(fā)展的基石，對(duì)于無(wú)限的征服，成為了微分和積分發(fā)展的原動(dòng)力.牛頓和萊布尼茨分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué).

微積分的進(jìn)化過(guò)程表述為

導(dǎo)數(shù)→微分→積分→常微分方程→偏微分方程→積分方程→變分方程.

導(dǎo)數(shù)表示當(dāng)前變化的情況，積分表示長(zhǎng)期積累的結(jié)果.微積分的創(chuàng)造是數(shù)學(xué)進(jìn)化的重要里程碑.微積分的價(jià)值在于:用微分方程式表示自然現(xiàn)象和法則(多個(gè)變量變化時(shí)相互之間的關(guān)系)的內(nèi)在本質(zhì).

2.5.2 解決不能求解的問(wèn)題

把一個(gè)不能求解的問(wèn)題通過(guò)變換，將原問(wèn)題變成一個(gè)可求解的問(wèn)題，在可拓學(xué)中稱(chēng)為可拓變換.對(duì)于數(shù)學(xué)中一些不能求解的問(wèn)題，采用對(duì)方程的變換或者對(duì)表達(dá)式的變換，使問(wèn)題變成能夠求解［8］，這種變換仍稱(chēng)為進(jìn)化變換.

1)解析求解的拉普拉斯變換.

當(dāng)微分方程求不出解析解時(shí)，可以利用拉普拉斯變換(Tl)把它變換成代數(shù)方程，對(duì)代數(shù)方程求解，就容易求出它的解，再利用拉普拉斯逆變換()，把代數(shù)方程的解變換成微分方程的解，從而解決原微分方程求不出解析解的矛盾.用進(jìn)化變換表示為:

例如:求常微分方程y″+4y'+3y=e－t滿(mǎn)足初始條件y(0)=y'(0)=1的特解.

設(shè)拉普拉斯變換為T(mén)l［y(t)］=Y(p)，對(duì)常微分方程的拉普拉斯變換為

對(duì)變換后的代數(shù)方程求解，得出解為

對(duì)此解進(jìn)行拉普拉斯逆變換:［Y(p)］=y(t)，得到常微分方程的解為

2)微分方程的差分變換.

所有不能進(jìn)行解析求解的微分方程或積分方程，在變換成差分方程以后，都可以在計(jì)算機(jī)中進(jìn)行數(shù)值求解.微分方程要進(jìn)行數(shù)值求解，就必須進(jìn)行差分化，也就是把微分方程變換成差分方程.用進(jìn)化變換表示為

例如，偏微分方程:

經(jīng)過(guò)差分化后，得到差分方程為

差分方程經(jīng)過(guò)整理后，就形成了線(xiàn)代數(shù)方程組，在計(jì)算機(jī)中就可以進(jìn)行數(shù)值計(jì)算了，最后求得偏微分方程的數(shù)值計(jì)算結(jié)果.

3)數(shù)值計(jì)算的表達(dá)式變換.

表達(dá)式有2種，一種進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算，另一種進(jìn)行導(dǎo)數(shù)求解.這2種表達(dá)式計(jì)算，都對(duì)運(yùn)算符有個(gè)優(yōu)先順序的規(guī)定，算術(shù)運(yùn)算的優(yōu)先順序原則是“先乘除，后加減，括號(hào)優(yōu)先”;函數(shù)表達(dá)式求導(dǎo)數(shù)時(shí)，對(duì)運(yùn)算符的優(yōu)先順序規(guī)定是，先對(duì)低級(jí)運(yùn)算符號(hào)(+、－)求導(dǎo)數(shù)，再對(duì)高級(jí)運(yùn)算符號(hào)(×、÷)求導(dǎo)數(shù).這種人為規(guī)定，不適合在計(jì)算機(jī)中編程序完成，需要將表達(dá)式進(jìn)行變換，把有優(yōu)先順序規(guī)定的表達(dá)式變換成只有前后順序的表達(dá)式，這樣才能編制程序在計(jì)算機(jī)中完成表達(dá)式的算術(shù)運(yùn)算或求導(dǎo)數(shù).

a)算術(shù)運(yùn)算的逆波蘭式變換.

這種變換實(shí)質(zhì)上完成了表達(dá)式的中綴表達(dá)，變成了表達(dá)式的后綴表達(dá)，即逆波蘭式.用進(jìn)化變換表示為

例如:

這樣，后綴表達(dá)式對(duì)符號(hào)的算術(shù)運(yùn)算就變成了先后順序，既沒(méi)有了括符，又沒(méi)有了優(yōu)先等級(jí)，編程序就很容易了.

b)求導(dǎo)數(shù)的波蘭式變換.

這種變換實(shí)質(zhì)上完成了函數(shù)表達(dá)式的中綴表達(dá)，變成了函數(shù)表達(dá)式的前綴表達(dá)，即波蘭式.用進(jìn)化變換表示為

這樣，對(duì)函數(shù)的前綴表達(dá)式求導(dǎo)數(shù)時(shí)，套用運(yùn)算符號(hào)求導(dǎo)公式的順序就一目了然了.

還有很多解決各種矛盾問(wèn)題的變換這里就不多說(shuō)明了.

2.5.3 方法的變換

在數(shù)學(xué)上，有大量的非線(xiàn)性方程和復(fù)雜的偏微分方程中是很難求出它的解析解.但是，將它們變換成數(shù)值求解方程后，即非線(xiàn)性方程變換成迭代方程，偏微分方程變換成差分方程，完成了從解析求解到數(shù)值求解的變換，問(wèn)題就可以求解了.從解析求解到數(shù)值求解的變換，實(shí)質(zhì)上是求解方法的變換，它使現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理論求解變換成計(jì)算數(shù)學(xué)的數(shù)值求解.這是數(shù)學(xué)史中最大規(guī)模的一次進(jìn)化，這種進(jìn)化變換是對(duì)方法的變換，具體表示為

計(jì)算機(jī)的發(fā)展推動(dòng)了計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展，計(jì)算數(shù)學(xué)屬于數(shù)值計(jì)算，數(shù)值計(jì)算的發(fā)展又推動(dòng)了非數(shù)值計(jì)算的發(fā)展(數(shù)據(jù)處理和知識(shí)推理)，使計(jì)算機(jī)進(jìn)入了人類(lèi)社會(huì)，從而又推動(dòng)了社會(huì)信息化進(jìn)程.

3 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)是在不斷提出新概念和解決矛盾中進(jìn)化發(fā)展的，本文總結(jié)了數(shù)學(xué)進(jìn)化中部分的知識(shí)發(fā)現(xiàn)方法，包括創(chuàng)造法、包容法、形式化變換、等價(jià)變換和進(jìn)化變換(對(duì)變量、函數(shù)、方程、方法等的變換)來(lái)拓展數(shù)學(xué)的新概念和解決不能求解的問(wèn)題(可拓變換).人們還需要進(jìn)一步研究更多的知識(shí)發(fā)現(xiàn)新方法，既更深入了解數(shù)學(xué)進(jìn)化規(guī)律，進(jìn)一步促進(jìn)數(shù)學(xué)的進(jìn)化，數(shù)學(xué)的進(jìn)化又將會(huì)推動(dòng)社會(huì)的進(jìn)步.

［1］張紅.數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史［M］.北京:科學(xué)出版社，2007:145－275.

［2］陳文偉.挖掘變化知識(shí)的可拓?cái)?shù)據(jù)挖掘研究［J］.中國(guó)工程科學(xué)，2006，8(11):70－73.

CHEN Wenwei.The research of mining the mutative knowledge with extension data mining［J］.Engineering Science，2006，8(11):70－73.

［3］陳文偉，楊春燕，黃金才.可拓知識(shí)與可拓知識(shí)推理［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，38(7):1094－1096.

CHEN Wenwei，YANG Chunyan，HUANG Jincai.Extension knowledge and extension knowledge reasoning［J］.Journal of Harbin Institute of Technology，2006，38(7):1094－1096.

［4］陳文偉.基于本體的可拓知識(shí)鏈獲?。跩］.智能系統(tǒng)學(xué)報(bào)，2007，2(6):68－71.

CHEN Wenwei.Acquisition of an extensional knowledge chain based on ontology［J］.CAAI Transactions on Intelligent Systems，2007，2(6):68－71.

［5］楊春燕.可拓?cái)?shù)據(jù)挖掘方法及其計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)［M］.廣州:廣東高等教育出版社，2010:8－46.

［6］陳文偉，黃金才，畢季明.適應(yīng)變化環(huán)境的元知識(shí)的研究［J］.智能系統(tǒng)學(xué)報(bào)，2009，4(4):331－334.

CHEN Wenwei，HUANG Jincai，BI Jiming.A study on meta－knowledge suitable for a changing environment［J］.CAAI Transactions on Intelligent Systems，2009，4(4):331－334.

［7］陳文偉，黃金才，畢季明.解決矛盾問(wèn)題的可拓模型與可拓知識(shí)的研究［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2009，39(4):168－172.

CHEN Wenwei，HUANG Jincai，BI Jiming.The study of extension models and extension knowledge solving contradiction problems［J］.Mathematics in Practice and Theory，2009，39(4):168－172.

［8］陳文偉，黃金才，畢季明.數(shù)學(xué)進(jìn)化中矛盾問(wèn)題的解決方法［J］. 智能技術(shù)學(xué)報(bào)，2010，2(1):72－78.

CHEN Wenwei，HUANG Jincai， BI Jiming.Knowledge mining of matchematic evolution approach［J］.CAAI Transactions on Intelligence Technology，2010，2(1):72－78.

陳文偉，男，1940年生，教授，博士生導(dǎo)師，中國(guó)人工智能學(xué)會(huì)機(jī)器學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)副主任，中國(guó)人工智能學(xué)會(huì)可拓工程專(zhuān)業(yè)委員會(huì)副主任.主要研究方向?yàn)闆Q策支持系統(tǒng)、機(jī)器學(xué)習(xí)、可拓工程、數(shù)據(jù)倉(cāng)庫(kù)與數(shù)據(jù)挖掘.曾獲國(guó)家科技進(jìn)步獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)1項(xiàng)，軍隊(duì)科技進(jìn)步獎(jiǎng)二、三等獎(jiǎng)8項(xiàng)，發(fā)表學(xué)術(shù)論文120余篇，出版專(zhuān)著10部.

黃金才，男，1972年生，教授，博士，中國(guó)人工智能學(xué)會(huì)機(jī)器學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)副主任，湖南青年系統(tǒng)工程與管理研究會(huì)副會(huì)長(zhǎng).主要研究方向?yàn)闆Q策支持、數(shù)據(jù)挖掘和作戰(zhàn)模擬，負(fù)責(zé)主持軍隊(duì)重點(diǎn)項(xiàng)目5項(xiàng)，獲部委級(jí)科技進(jìn)步獎(jiǎng)4項(xiàng)，發(fā)表學(xué)術(shù)論文23篇，其中被EI檢索13篇.

陳晟，男，1972年生，系統(tǒng)分析師，博士，主要研究方向?yàn)檐浖y(cè)試、軟件工程、知識(shí)工程與知識(shí)管理，獲部委級(jí)科技進(jìn)步獎(jiǎng)3項(xiàng)，發(fā)表學(xué)術(shù)論文20余篇，合作出版教材1部.

A knowledge discovery approach in the evolution of mathematics

CHEN Wenwei1，2，HUANG Jincai2，CHEN Sheng3
(1.The 3rd Department，Naval Command College，Guangzhou 510431，China;2.C4ISR Technology National Defense Technology Key Laboratory，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China;3.Software Testing Department，Longtop System Engineering Corp.，Beijing 100013，China)

In this paper the mathematic evolution law is studied from the historical development of mathematics.The earliest knowledge of mathematics was acquired by creating mathematic symbols and the concepts of containment and contradiction.By combining mathematic symbols into expressions and equations，the problems are transformed into formalization descriptions.Expressions and equations become formulas and theorems when they are proven correct by simulations and proofs.Formulas and theorems are basic theories in mathematics.Simulations and proofs are equivalent transformations，while a more important knowledge discovery method in mathematic development is evolution transformation，such as transformation of variables，functions，formulas，and methods.These transformations extend new concepts and solve previously unsolvable problems.The theoretical system of mathematics is thereby constructed.Creation，containment，formalization transformation，equivalent transformation，and evolutional transformation are all knowledge discovery methods in the evolution progress of mathematics.

mathematic evolution;knowledge discovery;creation method;inclusion method;formalization transformation;equivalent transformation;evolutional transformation

TP311.13

A

1673－4785(2011)05－0391－05

10.3969/j.issn.1673－4785.2011.05.002

2010－12－18.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(70671031).

陳文偉.E－mail:chenww9@21cn.com.