由圓面積計(jì)算公式推導(dǎo)談學(xué)生發(fā)散性思維的訓(xùn)練

　　發(fā)散性思維，是指一種不落俗套，追求變異，從多方面尋找答案的思維過程。它具有流暢、變通、獨(dú)創(chuàng)等特征。在教學(xué)中注意發(fā)散性思維的訓(xùn)練，不僅可以使學(xué)生的解題思路開闊、妙法橫生，克服思維刻板僵化、解題思路狹窄、方法單一的缺陷，而且對于培養(yǎng)學(xué)生成為勇于探索新方法的創(chuàng)造性人才具有重要的意義。
　　下面我就圓面積計(jì)算公式推導(dǎo)，談?wù)劙l(fā)散性思維的訓(xùn)練。
　　圓的面積計(jì)算公式S=πr2課本上的推導(dǎo)的過程是把圓割補(bǔ)成近似長方形，然后利用長方形與原來圓的關(guān)系導(dǎo)出圓面積的計(jì)算公式。通過學(xué)習(xí)，學(xué)生基本都能完成學(xué)習(xí)任務(wù)。但數(shù)學(xué)教學(xué)如果僅僅局限在這個(gè)層面上，那么學(xué)生的潛能就沒有得到充分開發(fā)。
　　為了使學(xué)生的思維不落俗套，具有發(fā)散性，我在教學(xué)中又設(shè)計(jì)了這樣的一個(gè)過程，對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練：
　　準(zhǔn)備題：計(jì)算下面兩個(gè)圖形的面積，比較后你有什么發(fā)現(xiàn)（如圖1）：
　　通過自主探究得到：幾個(gè)等高三角形的面積之和=×底之和×高。
　　有了這個(gè)公式基礎(chǔ)，再啟發(fā)學(xué)生：圓能不能不補(bǔ)成近似長方形來推導(dǎo)出它的面積公式？學(xué)生通過獨(dú)立思考、小組合作等形式，能將圓割成下面的形式（如圖2）。
　　學(xué)生能割成這樣，說明思維的路線已正確了，在準(zhǔn)備題和第一種推導(dǎo)法經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上會(huì)很快地得到：S圓=S近似三角形之和=×底之和×高=×2πr×r=πr2。
　　學(xué)生在教師的引導(dǎo)下通過自主探究、合作交流，用不同的方法推導(dǎo)出圓面積計(jì)算公式，會(huì)很有成就感。這是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)步入良性循環(huán)的一個(gè)重要前提。為了進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，滿足學(xué)生的好奇心，訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維，教師再進(jìn)一步發(fā)問：能不能再用其他方法推導(dǎo)呢？這時(shí)學(xué)生的思維立刻會(huì)活躍起來，他們會(huì)盡全力去尋求新方法，想方設(shè)法運(yùn)用已學(xué)過的知識(shí)和已掌握的方法去解決這一問題。在學(xué)生尋求解答的這一過程中，即使學(xué)生得不到新的方法，思維能力也能得到提高，特別是發(fā)散性思維。這個(gè)過程的價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過得到公式本身的價(jià)值。
　　為了讓學(xué)生知道許多問題都有多種解法，只是自己沒有想到，也為了幫扶學(xué)生一把，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生從不同的角度去思考問題，教師可提示學(xué)生：能不能把圓轉(zhuǎn)化成三角形呢？在此基礎(chǔ)上，新的一輪思維又開始了。如果學(xué)生有新的發(fā)現(xiàn)，教師給予推廣，學(xué)生有困難，教師可出示圖（如圖3），予以引導(dǎo)：
　　先把一個(gè)圓平均分成9份，拼成（如圖3）的形狀：
　　就圖共同討論：拼成的這一個(gè)圖形近似于什么圖形？（三角形）這個(gè)三角形的高是多少？（3r）底是多少呢？（圓被平均分成9份，圓周也被平均分成9份，底占3份，所以三角形的底近似等于圓周長，即×2πr）那么原來圓的面積怎樣表示呢？（S圓≈S三角形≈××2πr×3r=πr2）
　　因?yàn)樵诟钇吹倪^程中，每一小部分不是真正的三角形，拼的時(shí)候，不是密鋪，上下相鄰的小塊之間又有許多空隙，拼成的圖形也不是真正的三角形，所以出現(xiàn)了兩個(gè)“≈”，那么怎樣使兩個(gè)“≈”都近于“=”呢？最好的辦法就是把圓平均分成的份數(shù)增多，分得越多，每一小份和拼成的圖形就越接近三角形，兩個(gè)“≈”越接近于“=”。
　　為了讓學(xué)生得到訓(xùn)練，在此安排學(xué)生進(jìn)行一定的自主探究練習(xí)：
　　剛才圖3是將圓平分成9份拼成的，你們能將圓分成更多的分?jǐn)?shù)進(jìn)行推導(dǎo)嗎？你想想看，分成的分?jǐn)?shù)是不是隨意的？為什么？
　　（如將圓平分成16份，拼成的近似三角形。S圓≈S三角形≈××2πr×4r=πr2）
　　有興趣的同學(xué)課后結(jié)合課上的例子研究一下：
　　層數(shù)和總塊數(shù)有什么關(guān)系？（總塊數(shù)=層數(shù)）最底層占據(jù)整個(gè)大三角形底邊的小三角形的個(gè)數(shù)與層數(shù)又有什么關(guān)系呢？（占據(jù)底邊的小塊個(gè)數(shù)=層數(shù)）
　　另外還可以布置學(xué)生再去找找看，有沒有其他的推導(dǎo)方法。
　　在上述的整個(gè)過程中讓學(xué)生多動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，既要積極探究，又要合作交流，教師既要是引路者，又要是合作者。這一過程看上去較為煩瑣，但它可以起到以一當(dāng)十的作用，使記住公式成為最底層的要求，訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散性思維成為凸顯的亮點(diǎn)。
　　總結(jié)上述例子，我認(rèn)為，加強(qiáng)發(fā)散性思維的訓(xùn)練應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：
　　1. 打牢基礎(chǔ)，注意知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系
　　流暢、變通是發(fā)散性思維的顯著特征。學(xué)生思維靈活、思路暢通，就是能在短時(shí)間內(nèi)調(diào)動(dòng)頭腦中與要解決的問題有關(guān)的概念、公式、方法和技巧，所需之物要呼之欲出，信手拈來。這就要求學(xué)生具有牢固的基礎(chǔ)知識(shí)，熟悉各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，頭腦中要有一個(gè)清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，能夠通過捕捉有用的信息，進(jìn)行對比、聯(lián)想，實(shí)現(xiàn)知識(shí)與方法的遷移。
　　2. 教學(xué)中不僅教師要從不同角度多提問、設(shè)疑，還要鼓勵(lì)學(xué)生多提問，提倡一題多解
　　課堂上對同一問題從不同的角度多提問，有利于引導(dǎo)學(xué)生從不同方面去尋找答案。在學(xué)生有了一定的發(fā)散思維能力的基礎(chǔ)上，教師要鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)對他人、對自己多提問，因?yàn)橐粋€(gè)好的解題方法往往是從所提的“怪問題”中得到啟發(fā)的。怎樣從別的角度去解決問題呢？一題多解練習(xí)就是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的一種行之有效的方法和重要手段。
　　3. 加強(qiáng)發(fā)散思維的練習(xí)
　　在學(xué)生具有一定的發(fā)散性思維能力的基礎(chǔ)上，如果及時(shí)地加強(qiáng)練習(xí)，對激發(fā)學(xué)生興趣、提高學(xué)生發(fā)散思維的品質(zhì)、增強(qiáng)學(xué)生發(fā)散思維的能力、養(yǎng)成學(xué)生積極思維的習(xí)慣等是非常重要的。
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