源自一道課本習(xí)題的探究、拓展

倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式是新課程的基本理念.高中數(shù)學(xué)課程設(shè)立的“數(shù)學(xué)探究”“數(shù)學(xué)建?！钡葘W(xué)習(xí)活動，為學(xué)生形成積極主動的、多樣的學(xué)習(xí)方式進一步創(chuàng)造了有利條件.在教學(xué)中努力“使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習(xí)慣”成為教師的基本職責(zé).在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師有意識地選擇典型問題，指導(dǎo)和引領(lǐng)學(xué)生進行探究拓展是培養(yǎng)學(xué)生實踐能力、發(fā)展創(chuàng)新意識的重要途徑.

就語義而言，據(jù)“辭?！钡慕忉?，“研究”指“用科學(xué)的方法探求事物的本質(zhì)和規(guī)律”，“探究”則指“深入探討，反復(fù)研究”.就數(shù)學(xué)問題的探究而言，是指對問題的規(guī)律性進行研究、對問題的條件與結(jié)論依存關(guān)系進行研究、對問題的解決策略進行研究，這些都是拓展性學(xué)習(xí)，有助于形成數(shù)學(xué)的知識體系、學(xué)習(xí)方式和思維能力.

眾所周知，教材中的習(xí)題是編者精心挑選，再三醞釀后挑中的，具有典型性、示范性和針對性，既可以幫助學(xué)生理解基礎(chǔ)知識、運用基本技能，又可以幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，進行思維訓(xùn)練.蘇教版新教材在習(xí)題設(shè)置方面與舊教材相比有很大改進，涉及知識面很廣，可供不同層次的學(xué)生選用，為教學(xué)提供了很好的素材.為了更好發(fā)揮教材習(xí)題的功能，教師首先要研究習(xí)題的內(nèi)涵，挖掘課本習(xí)題類型，使習(xí)題的使用更具有針對性，更符合學(xué)生的認(rèn)知特點，探索問題引申途徑，以便更好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

通過上述思考解答，相信一定能夠促進求曲線方程基本技能的掌握和思維的嚴(yán)謹(jǐn).

二、改變構(gòu)成命題的基本前提、條件假設(shè)和要求是探究的重要方法

數(shù)學(xué)命題一般都是包含前提、條件假設(shè)和基本要求幾個組成部分，通過對它們的變更探究，獲得對問題的本質(zhì)認(rèn)識，實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識體系的豐富、完善，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的拓展.通?？梢圆捎脝我蛩馗淖兊姆绞?，尋求新的認(rèn)知.

本題中，構(gòu)成命題的基本前提是給定的“兩個定點”，假設(shè)的條件是“動點與定點的距離”，要求是“距離之比”.探究就是對基本前提和約定假設(shè)與要求可以采用單因素改變的方式，尋求新的認(rèn)識.

基于幾何中點與線的相似性，兩點間距離和兩點連線斜率可比性，四則運算的協(xié)調(diào)與統(tǒng)一，對本題進行如下的教學(xué)探究安排，以求獲得比較全面的深化.

4.把“距離之比”改為“距離之和或距離之差或距離之積”

依然可以指導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫板功能，進行軌跡形態(tài)的探索，教師指導(dǎo)當(dāng)距離之和（差、積）在滿足一定條件下，對應(yīng)的軌跡為橢圓、雙曲線和卵形線.

可以引導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫板功能探求軌跡，教師要知道當(dāng)符合一定條件下，對應(yīng)的軌跡為橢圓、雙曲線和卵形線.

上述教學(xué)實踐，是教學(xué)過程中的一部分實錄，雖是片段，卻能完整地體現(xiàn)教學(xué)設(shè)計.作為一道習(xí)題的探究拓展，用了3個教學(xué)課時，不知是否妥帖.

當(dāng)然，在上述實踐的基礎(chǔ)上，可以根據(jù)學(xué)習(xí)者的實際，采用多因素改變法，獲得更加寬闊的視野，這也是歸因分析中的重要智慧.如，我們可以探求動點與兩定點連線斜率的乘積為定值時的軌跡，并且由于斜率的取值可以擴大到實數(shù)，因此解題就呈現(xiàn)豐富多樣性.也可以探求與定點連線的斜率與定直線距離的各種運算制約下的軌跡等.

三、習(xí)題的探究拓展教學(xué)應(yīng)當(dāng)有明確的目標(biāo)，并且適可而止

1.全面理解數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，其根本任務(wù)是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧，盡管這樣的探究拓展學(xué)習(xí)需要占用一定的教學(xué)課時，在教學(xué)中如何處理教學(xué)進度和學(xué)習(xí)能力的發(fā)展需要教師進行認(rèn)真思考和研究.就個人的教學(xué)體會，適當(dāng)?shù)匕才胚@樣的教學(xué)實踐活動，對學(xué)習(xí)者的自主學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)是非常重要的途徑.

2.教學(xué)中的探究拓展性學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)充分尊重學(xué)習(xí)者的基礎(chǔ)，切忌盲目.在本題的探究拓展中，尤其是2.4的內(nèi)容，本人僅利用幾何畫板作了必要的介紹，因為方程與曲線的關(guān)系以及方程推導(dǎo)還是有一定的技術(shù)難度的.探究拓展時為了鞏固技能，形成知識體系，不能因為難度而影響學(xué)習(xí)者自主研究的積極性和興趣.

3.培養(yǎng)學(xué)生的探究拓展習(xí)慣和能力需要教師的不斷努力.如果教師對問題的認(rèn)識和處理的價值追求正確深刻，學(xué)生一定會努力的.

（作者單位 南京財經(jīng)學(xué)校）