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    基于Matlab的小波去噪算法研究

    2012-12-28 09:19:02黃世震
    電子器件 2012年1期
    關(guān)鍵詞:小波分辨率重構(gòu)

    齊 敏,黃世震

    (福州大學(xué)福建省微電子集成電路重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,福州350002)

    信號去噪[1-2]是信號分析中的一個重要組成部分。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具是短時傅里葉變換,是建立在傳統(tǒng)傅里葉變換上的濾波方法,這種方法在提高信噪比和提高空間分辨率這兩項(xiàng)信號分析的指標(biāo)上存在矛盾。而小波分析[3-12]在時頻分辨率特征、多分辨率分析、小波包、突變信號檢測、快速小波分析等方面有獨(dú)特的表現(xiàn)。

    1 小波變換的定義及性質(zhì)

    1.1 小波變換的定義

    小波分析就是將原始信號展開成一族小波基函數(shù)的加權(quán)和,這族基函數(shù)由一個由帶通函數(shù)經(jīng)過平移和變化比例得到。

    在連續(xù)的情況下,小波函數(shù)的定義為:

    其中Ψ(t)稱為基小波,j為伸縮因子,k為平移因子。Ψa,b(t)為基小波有平移、縮放構(gòu)成的小波信號。

    因此,對于連續(xù)信號f(t)的連續(xù)小波變換公式為:

    其反變換的定義為:

    在離散的情況下,小波函數(shù)的定義為:

    設(shè)函數(shù) φj,k(k)∈L2(IR),對于任意一個平方和積函數(shù)f∈L2(IR),其二進(jìn)制小波變換定義成函數(shù)序列{W2jf(k)}k∈Z},其中

    小波變換系數(shù)W2j(k)給出了f(x)的尺度2j在位置k住的逼近。其反變換的定義為:

    1.2 多分辨率分析與Mallat算法

    在實(shí)際應(yīng)用中,為了提高小波變換的計算速度,經(jīng)常采用的方法是基于多分辨率分析的Mallat快速算法。多分辨率分析的實(shí)質(zhì)是將信號分解到一系列不同頻率的空間上,信號在不同的尺度上的多分辨分析,可以顯示信號不同頻率的特征。每次分解都將信號分解成低頻和高頻兩個部分。對低頻部分再進(jìn)行分解,得到更高尺度上的低頻和高頻部分。分解的尺度越高,分解得到信號的頻率就越低。以信號的3層分解為例,如圖1所示。由此得到信號S=ca3+cd3+cd2+cd1??梢钥吹?,多分辨分析的實(shí)質(zhì)就是對低頻空間做進(jìn)一步分解,最終讓頻率的分辨率越來越高。

    圖1 信號的三層小波分解示意圖

    Mallat算法的小波分解公式為:

    其中,n=0,1,2,…,N-1,N為輸入序列的長度,cmj是分解得到的低頻分量,是分解得到的高頻分量;j表示第j級小波分解,j=0,1,2,…,M,其中必須滿足2M<N。特別,當(dāng)j=0時,cn0表示的就是輸入序列fn;m為每次小波分解后低頻與高頻分量的長度,m、n伴隨小波分解級數(shù)j的增加逐漸減小;hn-2m為多分辨率分析的尺度系數(shù),gn-2m為多分辨分析的小波系數(shù)。

    由式(7)、式(8)可得,輸入的離散序列cn0與固定系數(shù)hn-2m和gn-2m進(jìn)行m次乘積累加之后得到的是第1級分解的低頻分量cm1和高頻分量dm1,然后cm1作為第2級分解的輸入序列,經(jīng)過分解后得到cm2和,依此類推得到第M級分解后的cmM和dmM。小波重構(gòu)與小波分解在過程上正好是相反的。

    2 基于閾值的小波去噪

    由于在實(shí)際的工程應(yīng)用中,有用信號通常為低頻信號。噪聲信號通常為高頻信號。所以信號經(jīng)過小波分解之后,噪聲信號基本包含在 cd1、cd2、cd3中。因此,通過多分辨率分析得到的高頻率的小波系數(shù),經(jīng)過門限閾值等新式進(jìn)行相應(yīng)處理,再重新構(gòu)造出輸入序列,就可以實(shí)現(xiàn)信號去噪的效果。

    一般而言,一維信號的小波去噪可通過以下3個步驟實(shí)現(xiàn)。

    (1)將一維信號進(jìn)行小波分解 選擇合適的小波分解層次N,對輸入信號s(i)進(jìn)行N層的小波分解;

    (2)小波分解的高頻系數(shù)閾值量化 選擇一個適當(dāng)?shù)拈撝祵Φ?層至第N層的小波高頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化處理;

    (3)一維小波重構(gòu) 由得到第N層的低頻小波系數(shù)與量化之后的第1層至第N層高頻小波系數(shù)經(jīng)過小波重構(gòu)后得到去噪后的一維信號。

    上述3個步驟中,直接對信號去噪有重大影響的,就是閾值的選擇以及如何進(jìn)行閾值的量化兩個方面。

    2.1 傳統(tǒng)的閾值量化方法

    傳統(tǒng)的閾值處理方法通常有兩種:

    硬閾值法:

    軟閾值法:

    其中,ωj,k為小波系數(shù),為量化后的小波系數(shù),λ為閾值,一般的。圖2和圖3分別表示硬閾值方法和軟閾值方法。兩種方法在實(shí)際中雖然都得到較多的應(yīng)用,同時也取得了較好的去噪效果,但是依然存在許多問題。例如,在硬閾值法中,在λ處不是連續(xù)的,所以在信號重構(gòu)過程中可能使重構(gòu)信號產(chǎn)生振蕩;在軟閾值法中,雖然量化得到具有較好的連續(xù)性,但當(dāng)||>λ時,與ωj,k存在一個恒定的偏差,這也使得重構(gòu)信號與真實(shí)信號的近似性有一定的影響。所以,就需要有一種新的閾值處理方法,既可以改正上述兩種方法的不足之處,又可以進(jìn)一步提高信號的去噪效果。

    圖2 硬閾值法

    圖3 軟閾值法

    2.2 改進(jìn)的閾值去噪方法

    要達(dá)到改進(jìn)上述兩種閾值方法,只需要在閾值函數(shù)中引入一個參數(shù)α即可:

    上式即稱為軟硬閾值折衷法的閾值函數(shù)。特別當(dāng)α分別取0和1時,上述方法即分別變換成為硬閾值方法和軟閾值方法。所以,當(dāng)取0<α<1時,由該方法量化得到的的數(shù)值介于硬、軟兩種方法之間。此方法模型如圖4所示。

    圖4 軟、硬閾值折衷法

    該方法思路簡單,去噪效果好。通過分析圖4不難發(fā)現(xiàn),單純使用軟閾值方法量化得到^ωj,k的絕對值比 ωj,k小 λ(|ωj,k|≥λ)。所以在實(shí)際應(yīng)用中就要減少這一偏差,如果這個偏差減小到0(即使用硬閾值方法處理),也不能實(shí)現(xiàn)最好的去噪效果,因?yàn)棣豭,k本身由有用信號的高頻部分和噪聲信號組成,可能會由于噪聲信號的影響導(dǎo)致重構(gòu)信號產(chǎn)生更大的偏差。因此,在量化函數(shù)中引入一個參數(shù)α,使量化結(jié)果介于硬閾值量化和軟閾值量化之間,就可以讓重構(gòu)信號更接近真實(shí)信號。所以基于這一思想,只要適當(dāng)調(diào)整α的取值,就可以得到很好的去噪效果。

    3 基于Matlab的實(shí)驗(yàn)仿真

    為了更加直觀的比較不同閾值方法的去噪效果,引入信噪比定義:

    其中,f(i)為真實(shí)信號,s(i)為含噪信號,L為信號長度。

    在仿真實(shí)驗(yàn)中,選用雷達(dá)回波信號[13-15]作為實(shí)驗(yàn)信號,噪聲采用的是高斯白噪聲與服從相關(guān)對數(shù)-正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)兩種組合,模擬實(shí)際中雷達(dá)測距的噪聲,選取db4小波作為小波基,小波分解尺度為4,α取0.65。通過對比不同閾值處理方法的信噪比來比較不同方法去噪的效果。

    由于雷達(dá)信號的特殊性,即回波信號與噪聲信號大致相當(dāng)。因此在選擇噪聲時,使用服從相關(guān)對數(shù)-正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)模擬雷達(dá)信號噪聲中的地物噪聲,用高斯白噪聲模擬實(shí)際雷達(dá)系統(tǒng)中的熱噪聲。圖5是忽略系統(tǒng)內(nèi)部熱噪聲的去噪效果比較,圖6則是綜合考慮所有噪聲的去噪效果比較。從表1中可以看到,軟硬閾值折衷法進(jìn)行去噪后在信噪比上要明顯優(yōu)于單純使用軟閾值法或硬閾值法。

    圖5 添加隨機(jī)數(shù)噪聲的去噪結(jié)果

    圖6 添加白噪聲和隨機(jī)數(shù)噪聲的去噪結(jié)果

    表1 各閾值去噪方法的信噪比的比較

    本實(shí)驗(yàn)的λ選擇方式是采用極大值極小值原理選擇信號消噪的閾值,產(chǎn)生一個最小均方誤差的極值。這里λ的選取方式雖然不是最優(yōu)的,如果λ選取方式更加恰當(dāng),就更加可以體現(xiàn)出改進(jìn)的方法的優(yōu)越性。

    4 結(jié)束語

    本文介紹了小波閾值降噪的基本原理和實(shí)現(xiàn)的具體步驟。討論了軟、硬閾值法以及改進(jìn)的閾值去噪方法,并且通過實(shí)驗(yàn)對上述三種方法的去噪效果進(jìn)行了比較??梢钥吹皆诟倪M(jìn)的閾值去噪方法的去噪效果要好于傳統(tǒng)的去噪方法。同時,由于本文選取的λ值并非最佳,如λ選取得當(dāng),即可得到更好的結(jié)果。不過,本文通過實(shí)驗(yàn)已經(jīng)可以發(fā)現(xiàn),不論λ取值如何,折衷法的計算結(jié)果都要由于軟閾值與硬閾值各自獨(dú)立的方法。

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