脈沖時滯Lotka－Volterra食物鏈系統(tǒng)的正周期解

陳應(yīng)生，汪東樹

（華僑大學 數(shù)學科學學院，福建 泉州 362021）

脈沖時滯Lotka－Volterra食物鏈系統(tǒng)的正周期解

陳應(yīng)生，汪東樹

（華僑大學 數(shù)學科學學院，福建 泉州 362021）

利用一些分析技巧和重合度理論，得到一類具有脈沖和時滯Lotka－Volterra食物鏈系統(tǒng)存在正周期解的新結(jié)果.所得的結(jié)論表明：脈沖是對該食物鏈系統(tǒng)正周期解存在性是有影響的 .特別地，在每個種群的內(nèi)稟增長率（出生率a1和死亡率a2，a3）、種群間相互作用率（捕食率b1，2，b2，3和消化率b2，1，b3，2），以及非線性種內(nèi)干擾反應(yīng)系數(shù)αi，j都確定的情況下，可以通過適當控制每個種群的（投放率或收回率）hi，k，使每個種群達到平衡（即存在正周期解）.

時滯；脈沖；Lotka－Volterra食物鏈系統(tǒng)；周期解；重合度理論

對于生物種群系統(tǒng)的持續(xù)生存和正周期解的存在性，許多學者已經(jīng)進行了深入研究，并取得了許多結(jié)果［1-5］.文獻［1，3］分別研究了具時滯的3種群食物鏈系統(tǒng)，得到系統(tǒng)存在ω正周期解的一些結(jié)果.對于種群生態(tài)學而言，脈沖效應(yīng)是經(jīng)常存在的，因此研究脈沖種群系統(tǒng)更具有實際意義.本文利用重合度理論，研究脈沖和時滯的非自治周期Lotka－Volterra食物鏈系統(tǒng)

的正周期解的存在性問題.系統(tǒng)（1）滿足以下3個假設(shè)：1）0＜t1＜t2＜…＜tp＜ω，tk＋p＝tk＋ω且∞，k＝1，2，…；2）｛hi，k｝是一個實序列hi，k，可看成是種群xi在tk時刻的出生率或收獲比率，且hi，k＞－1，hi，k＝hi，（k＋p），i＝1，2，3，k＝1，2，…；3）ai（t），bi，j（t），τi，j（t）是非負連續(xù)的ω 周期函數(shù)，且滿足是正常數(shù)，i，j＝1，2，3.

1 預備知識

設(shè)X，Z是賦范向量空間，L∶DomL?X→Z為線性映射，N∶X→Z連續(xù)映射.若dim ker L＝co dim ImL＜＋∞，且ImL為Z中閉子集，則稱L為指標為零的Fredholm映射.如果L是指標為零的Fredholm映射，且存在連續(xù)投影P∶X→X及Q∶Z→Z，使得Im P＝Ker L，ImL＝Ker Q＝Im（IQ），X＝Ker L⊕Ker P和Z＝ImL⊕ImQ，則∶DomL∩Ker P→ImL可逆.

設(shè)逆映射為KP，Ω為X中的有界開集，若QN∶ˉΩ→Z與KP（I－Q）N∶→X都是緊的，則稱N在上是L－緊的.由于ImQ與Ker L同構(gòu)，因而存在同構(gòu)映射J∶ImQ→Ker L.

引理1［6］設(shè)X，Z，L，N如上定義，而且L是指標為零的Fredholm映射.又設(shè)Ω為X 中的有界開集，N在上是L－緊的.假設(shè)

2）對任意的x∈?Ω∩Ker L，QNx≠0；

3）Brouwer度deg｛JQN，Ω∩Ker L，0｝≠0，J，Q如上定義，則方程Lx＝Nx在DomL∩內(nèi)至少存在一個解.

為運用重合度理論證明主要的結(jié)論，需要引入一些函數(shù)空間.記

2 正周期解存在性

證明 變換yi（t）＝exp｛xi（t）｝，i＝1，2，3，則系統(tǒng)（1）可化為

記

現(xiàn)定義線性算子L∶DomL?X→Z為

又定義算子N∶X→Z為

又定義投影算子P∶X→X及Q∶Z→Z為

設(shè)x＝（x1（t），x2（t），x3（t））T∈X 是系統(tǒng)（7）對應(yīng)于某一λ∈（0，1）的解，將式（7）的兩端從0到ω進行積分，可得

為了方便討論，不妨設(shè)（14），（15）中的第1式成立，至于其他情況，則同理可得以下相同的估計.首先估計xi（t）（i＝1，2，3）的上界.由式（9），（15）可得

于是有

因此，由引理2可知，當t∈［0，ω］時，有

由式（10）和式（15）可得

于是有

從而由式（13）與式（20）可知

由式（12），（18），（21）及引理2可知，當t∈［0，ω］時，有

由式（9）和式（15）可得

即有

這里ωˉb2，1（exp（α2，1H1）－R2）＞0是由條件保證的，故有

由式（13），（24）及引理2可知，當t∈［0，ω］時，有

下面估計xi（t）（i＝1，2，3）的下界.由式（9），（14）和（22）可知

從而有

又由式（10）和（14）可知

從而有

于是，由式（12），（28）及引理2可知，當t∈［0，ω］時，有

由式（9），（14）和式（28）可知

故有

由式（13），（30）及引理2可知，當t∈［0，ω］時，有

令，由式（18），（22），（25），（27），（29），（31）的討論可知‖x‖≤H.

顯然，正常數(shù)H與λ（λ∈（0，1））是無關(guān)的.由已知條件易知，代數(shù)方程組

令Ω＝｛x＝（x1，x2，x3）T∈X∶‖x‖＜M｝，則Ω滿足引理1中的條件1）.當x∈Ker L∩?Ω時，x是R3中的常值向量且‖x‖＝M，于是有

即引理1中的條件2）也被滿足.下面證明引理1中的條件3）也成立.

從而引理1中的條件3）也滿足.因此，系統(tǒng)（1）至少有一個ω－周期解，從而系統(tǒng)（1）至少存在一個正的ω－周期解.

3 應(yīng)用

下面分別考慮文獻［1，3］中研究的具時滯的3種群食物鏈系統(tǒng)

由定理1可得如下定理.

注1 定理2的結(jié)果與文獻［1］中的主要結(jié)果是不相同的，不被文獻［1］中的主要結(jié)果所包括.

注2 定理3的條件要比文獻［3］中的結(jié)果成立的條件弱得多，即結(jié)論推廣并改進了文獻［3］中的主要結(jié)果.

4 結(jié)束語

顯然，系統(tǒng)（1）包含了系統(tǒng)（32），（33）.利用重合度理論研究系統(tǒng)（1）的正周期解存在性問題，得出了脈沖對系統(tǒng)（1）的正周期解存在是有影響的新結(jié)果.當應(yīng)用得到的結(jié)果研究系統(tǒng)（32），（33）的正周期解存在性問題時，推廣并改進了文獻［1，3］中的相關(guān)結(jié)果.這一研究無論是在理論上，還是在物種保護的應(yīng)用上，都具有廣泛的前景和重大意義.

［1］張樹文，陳蘭蓀.具有偏差變元的三種群食物鏈系統(tǒng)的全局正周期解的存在性［J］.數(shù)學雜志，2003，23（1）：125－28.

［2］汪東樹，王全義.一類具時滯和比率的擴散系統(tǒng)正周期解［J］.華僑大學學報：自然科學版，2006，27（4）：358－361.

［3］SHEN Chun－xia.Positive periodic solution of a kind of nonlinear food－chain system［J］.Appl Math Comp，2007，194（1）：234－242.

［4］SAITO Y.Permanence and global stability for general Lotka－Volterra predator prey systems with distributed delays［J］.Nonlinear Anal，2001，47（9）：6157－6168.

［5］KORMAN P.Some new results on the periodic competition model［J］.J Math Anal Appl，1992，171（1）：131－138.

［6］GAINES R E，MAWHIN J L.Coincidence degree and nonlinear differential equations［M］.Berlin：Springer－Verlag，1977：40－60.

［7］WANG Qi，DAI Bin－xiang，CHEN Yu－ming.Multiple periodic solutions of an impulsive predator－prey model with Holling－typeⅣfunctional response［J］.Math Comput Modelling，2009，49（9／10）：1829－1836.

Positive Periodic Solutions of a Lotka－Volterra Food－Chain System with Impulses and Delays

CHEN Ying－sheng，WANG Dong－shu
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

By means of coincidence degree theory and some analysis techniques，we obtain a new result on the existence of positive periodic solutions to a Lotka－Volterra food－chain system with impulses and delays.The result showed that impulses have effects on the existence of positive periodic solutions of a Lotka－Volterra food－chain system.Especially，if the growth rate（the birthrate a1and the mortality a2，a2），the population interacting rate（the pery rate b1，2，b2，3and digest rate b2，1，b3，2），and the nonlinear interference reaction coefficient（αi，j）of every one of populations are given，each population may be balanced by controlling the putting rate or recovering rate（hi，k）of every group.

delay；impulse；Lotka－Volterra food－chain system；positive periodic solution；coincidence degree theory

陳志賢 英文審校：張金順，黃心中）

O 175.6

A

1000－5013（2012）02－0218－07

2011－05－25

陳應(yīng)生（1976－），男，講師，主要從事常微分及泛函微分方程的研究.E－mail：cyssheng＠hqu.edu.cn.

國務(wù)院僑辦科研基金資助項目（09QZR10）；福建省自然科學基金資助項目（Z0511026）