一類二階奇異微分方程三點(diǎn)積分邊值問題的正解

林秋蓮，王全義

（華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021）

一類二階奇異微分方程三點(diǎn)積分邊值問題的正解

林秋蓮，王全義

（華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021）

研究一類帶有積分邊值的二階奇異微分方程正解的存在性問題，應(yīng)用錐不動點(diǎn)定理及一些分析技巧，得到該邊值問題正解存在性的一些新結(jié)果.

三點(diǎn)邊值問題；二階奇異微分方程；錐不動點(diǎn)；積分邊值；正解

常微分方程的多點(diǎn)邊值問題起源于各種不同的應(yīng)用數(shù)學(xué)問題，在物理學(xué)、化學(xué)工程、彈性力學(xué)等方面都有著廣泛的應(yīng)用.對于二階微分方程的三點(diǎn)邊值問題，已有許多作者研究并取得一些成果［1-8］.然而，對于二階微分方程的三點(diǎn)積分邊值問題還很少有人研究過.對于二階奇異微分方程邊值問題

其中：λ＞0，δ≥ξ，ξ∈［0，1］；η1（s），η2（s）在［0，1］上是 Riemann－Stieltjes可積；f∶［0，1］×（0，＋∞）→［0，＋∞）是連續(xù)的；h（t）∶（0，1）→［0，＋∞）是連續(xù)的，h（t）在t＝0，1和f（t，x）在x＝0處還可能奇異.本文利用錐不動點(diǎn)定理及一些分析技巧，得到了邊值問題（1），（2）正解的存在性的一些新結(jié)果.

1 預(yù)備知識及引理

設(shè)X是Banach空間，K?X是一個(gè)非空子集，且滿足1）對任意的u，v∈K和實(shí)數(shù)α，β≥0，αu＋βv∈K成立；2）若u，－u∈K，則必有u＝0.那么，稱K是X 中的一個(gè)錐.

引理1［9］設(shè)X是Banach空間，K是X中的一個(gè)錐.Ω1，Ω2是X中的開集，0∈Ω1，ˉΩ1?Ω2，T∶K∩（ˉΩ2＼Ω1）→K是全連續(xù)算子.若滿足如下兩個(gè)條件之一，則算子T在K∩（ˉΩ2＼Ω1）中有不動點(diǎn).

1）若x∈K∩?Ω1，則；若x∈K∩?Ω2，則.

2）若x∈K∩?Ω1，則；若x∈K∩?Ω2，則.

定義K＝｛x｜x∈X，x（t）≥0，x（t）≥t（1－t），t∈［0，1］｝，易知K 是X 中的一個(gè)錐.對任意正常數(shù)r，R，R＞r，記

假設(shè)下列條件成立，有

H1）η1（t），η2（t），［（δ－ξ）η2（t）－η1（t）］在［0，1］上是非減函數(shù)，且

H2）h∈C（（0，1），［0，＋∞）），且在（0，1）的任一子區(qū)間上有

式（3）中：ρ＝1＋δ－ξ≥1，有如下幾點(diǎn)性質(zhì)：

A1）當(dāng)0≤t，s≤1時(shí)，G（t，s）≥0，而當(dāng)0＜t，s＜1時(shí)，G（t，s）＞0；

A2）當(dāng)0≤t，s≤1時(shí)，0≤G（t，s）≤G（t，t）≤1－t，G（t，s）≤G（s，s）≤1－s；

A3）當(dāng)0≤t，s≤1時(shí)，G（t，s）≥t（1－t）·G（s，s），G（t，s）≥s（1－s）·G（t，t）；

A4）對任意給定的θ∈（0，1／2），當(dāng)t∈［θ，1－θ］，s∈［0，1］時(shí)，有G（t，s）≥θ（1－θ）·G（s，s）.

引理證略.

現(xiàn)定義線性算子A1∶K→X為

定義算子A2∶K＼｛θ｝→X 為

式（5）中：ρ＝1＋δ－ξ，G（t，s）由式（3）給出.易見在條件 H1）～H3）下，上述定義的算子A1x，A2x的右邊積分都是存在的.

引理3 在條件H1）下，線性算子A1∶K→K是全連續(xù)算子.引理證略.

引理4 在H2），H3）條件下，算子A2∶K＼｛θ｝→K是全連續(xù)的.引理證略.

再定義算子T∶K＼｛θ｝→K為

由算子T的定義和上述的引理3，4可知，T∶K＼｛θ｝→K是全連續(xù)算子.

引理5 假設(shè)條件H1）～H3）成立，如果x＝x（t）是全連續(xù)算子T∶K＼｛θ｝→K的一個(gè)不動點(diǎn)，則x＝x（t）是積分邊值問題 （1），（2）的一個(gè)正解.

證明 若x＝x（t）是算子方程Tx＝x的解，則由式（6）可知

在上式中，分別令t＝ξ，1，則可得

又在式（7）兩端對t求導(dǎo)，可得

于是，由式（8），（11）可得

由式（9），（12）即可知式（2）的邊值條件也成立.在式（10）兩端對t求導(dǎo)，可得

所以，x＝x（t）是積分邊值問題 （1），（2）的一個(gè)正解.引理5證畢.

2 主要結(jié)果及其證明

再由f∞的定義可知，對上述的ε＞0，存在一個(gè)足夠大的R0＞0，使得當(dāng)x≥R0時(shí)，有

取R1＝max｛2r，［θ（1－θ）］－1R0｝.令Ω2＝｛x∈K∶‖x‖≤R1｝，對任意的x∈?Ω2，‖x‖＝R1.于是，當(dāng)t∈［θ，1－θ］時(shí)，x（t）≥θ·（1－θ）‖x‖＝θ·（1－θ）R1≥R0.因此，由式（6）可得

故由式（14）及上式可得

再由引理1可得，算子T在K∩（ˉΩ2＼Ω1）中有不動點(diǎn)x＊.又因?yàn)閤＊（t）≥rt（1－t）＞0，?t∈（0，1），所以x＊是一個(gè)正解.又由引理5可知，邊值問題（1），（2）存在一個(gè)正解.定理1證畢.

由定理1的證明，易見以下推論1成立.

推論1 假設(shè)條件H1）～H3）成立，如果下列條件之一成立：

所以，‖Tx‖≥‖x‖，?x∈?Ωr.

又由f∞的定義可得，對上述的ε＞0，存在一個(gè)足夠大的R0＞0（R0＞2r），使得當(dāng)x≥R0時(shí)，有

同理由定理2的證明，易見以下推論2成立.

推論2 假設(shè)條件H1）～H3）成立，如果下列條件之一成立：

注1 在推論2中，f0＝＋∞可以對應(yīng)于f（t，x）在x＝0奇異的情形.

3 應(yīng)用舉例

考慮如下的二階奇異微分方程的積分邊值問題

其中：D（n）＝［0，1／n］∪［n－1／n，1］.又λ＝1∈（0，＋∞），故推論2中條件2）的所有條件都被滿足，因此邊值問題（17）至少有一個(gè)正解.

［1］KONG Ling－ju.Second order singular boundary value problems with integral boundary conditions［J］.Nonlinear A－nalysis，2010，72（5）：2628－2638.

［2］JIANG Ji－qiang，LIU Li－shan，WU Yong－h(huán)ong.Second－order nonlinear singular Sturm－Liouville problems with integral boundary conditions［J］.Applied Mathematics and Computation，2009，215（4）：1573－1582.

［3］SUN Yan，LIU Li－shan，ZHANG Ji－zhou，et al.Positive solutions of singular three－point boundary value problems second－order differential equations［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，230（2）：738－750.

［4］曹君艷，王全義.一類二階微分方程兩點(diǎn)邊值問題的正解存在性［J］.華僑大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，31（1）：113－117.

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［6］FAN Hong－xia，MA Ru－yun.Loss of positivity in a nonlinear second order ordinary differential equations［J］.Nonlinear Analysis，2009，71（1／2）：437－444.

［7］LI Gao－shang，LIU Xi－ping，JIA Mei.Positive solutions to a type of nonlinear three－point boundary value problems with sign changing nonlinearities［J］.Computers and Mathematics with Applications，2009，57（3）：348－355.

［8］ZHAO Jun－fang，GE Wei－gao.A necessary and sufficient conditions for the existence of positive solutions to a kind of singular three－point boundary value problem［J］.Nonlinear Analysis，2009，71（9）：3973－3980.

［9］郭大鈞.非線性泛函分析［M］.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2001.

Positive Solutions of Three－Point Integral Boundary Value Problems for A Kind of Second－Order Singular Differential Equations

LIN Qiu－lian，WANG Quan－yi
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

In this paper，we study the problems on the existence of positive solutions for a kind of second－order singular differential equations with integral boundary value.By means of the cone fixed point theorem and some analysis skills，we get some new results on the existence of positive solutions for the boundary value problem.

three－point boundary value problem；second－order singular differential equations；cone fixed point；integral boundary value；positive solutions

錢筠 英文審校：張金順，黃心中）

O 175

A

1000－5013（2012）02－0212－06

2011－05－23

王全義（1955－），男，教授，主要從事常微分方程和泛函微分方程的研究.E－mail：qywang＠hqu.edu.cn.

國務(wù)院僑辦科研基金資助項(xiàng)目（09QZR10）