烏鴉悖論的“似然度比例測度”方案——與經(jīng)典方案之比較

胡 浩

(華南師范大學(xué)公共管理學(xué)院，廣東 廣州 510006)

一、烏鴉悖論與亨佩爾解決方案

烏鴉悖論又稱證認(rèn)(confirmation)悖論或亨佩爾悖論。關(guān)于該悖論的解決在歸納邏輯和認(rèn)識論研究中是一個根本性的問題。該悖論源于人們直覺上認(rèn)為以下(1)，(2)，(3)原則都是合理的:

(1)Nicod標(biāo)準(zhǔn):對于任意的對象a和謂詞R(在本文特指烏鴉)和B(黑色的)，在無其他證據(jù)的情況下，Ra＆Ba證認(rèn)?x(Rx→Bx)，即P(?x(Rx→Bx)/Ra＆Ba)＞P(?x(Rx→Bx))。

(2)等值條件:對于任何命題H1，H2和E，如果E證認(rèn)H1，而H1邏輯等值于 H2，那么E證認(rèn) H2。

(3)無關(guān)性條件:在無其他證據(jù)的情況下，┐Ra＆┐Ba與?x(Rx→Bx)無關(guān)。即:P(?x(Rx→Bx)/┐Ra＆┐Ba)=P(?x(Rx→Bx))。然而，(1)，(2)，(3)是不一致的。因?yàn)?，?1)可得:┐Ra＆┐Ba證認(rèn)?x(┐Bx→┐Rx);進(jìn)而與(2)一起可以推出:

(3)’在無其他證據(jù)情況下，┐Ra＆┐Ba證認(rèn)?x(Rx→Bx)。

顯而易見，(3)和(3)’不能同時為真，這構(gòu)成邏輯悖論。同時，(3)’意味著紅帽子、白色的電話等既不是烏鴉又不是黑色的東西都可以證認(rèn)“所有烏鴉都是黑色的”。這與人們對(3)的直覺相悖，形成直覺悖論。Patric Maher指出，如果要對該悖論給出完全令人滿意的解決，需要滿足如下三個條件。①P.Maher.Inductive logic and the Ravens Paradox，Philosophy of Science，1999，66:50－79。

(a)有令人信服的理由挑出以上(1)，(2)，(3)中哪個原則是錯的。

(b)對于那個(那些)被認(rèn)為是錯誤的原則，要給出解釋它為什么是錯誤的。

(c)對于那個被認(rèn)為是錯誤的原則，要能找到一個替換它的正確原則，但該替換原則充分地類似于錯誤的原則，以至于容易混淆二者，從而可以解釋那個錯誤的原則為什么表面上是合理的。

亨佩爾對該悖論的解決是拒絕(3)而接受(1)和(2)，從而接受(3)’。

首先來看他的方案是否滿足條件(a)。亨佩爾認(rèn)為，等值條件對于任何恰當(dāng)?shù)淖C認(rèn)標(biāo)準(zhǔn)都是必要的，否則是否某一證據(jù)證認(rèn)某個假設(shè)依賴于假設(shè)的不同的(等值)形式。②C.G.Hempel.Studies in the Logic of Confirmation I＆II，Mind，1946，54:12。至于(1)，他則認(rèn)為也許表達(dá)了一個特別明顯而又重要的關(guān)于證認(rèn)的充分條件，這使得他挑出的錯誤是(3)。但Nicod標(biāo)準(zhǔn)并非普遍有效，①Howson＆Urbach:Scientific Reasoning:The Bayesian Approach .Chicago:Open Court.1993:129、127。所以，他接受Nicod標(biāo)準(zhǔn)的理由并不充分。

為什么(3)直覺上是錯誤的?亨佩爾給出(3)’的獨(dú)立論證。由于(3)和(3)’不能同時為真，既然可以給出(3)的論證，那么，有理由說(3)是錯誤的。亨佩爾論證如下:

如果證據(jù)E僅僅由一個…非黑的對象構(gòu)成，那么E也許合理地被認(rèn)為證認(rèn)所有的對象是非黑的，更不必說，E支持較弱的斷定所有非黑的是非烏鴉。②C.G.Hempel.Studies in the Logic of Confirmation I＆II，Mind，1946，54:20。

該論證承諾類似Nicod標(biāo)準(zhǔn)那樣的證認(rèn)關(guān)系，即┐Ra證認(rèn)?x┐Rx。另一方面，該論證還假定:(i)單調(diào)性條件，即E證認(rèn)H，那么對于任意的X，E＆X也證認(rèn)H;(ii)特殊后承條件，即E證認(rèn)H，那么E證認(rèn)H的所有邏輯后承。而(i)和(ii)兩個條件都是為當(dāng)代證認(rèn)理論所拒絕的。③B.Fitelson.The Paradox of Confirmation，Philosophy Compass，2006:98?？梢?，亨佩爾的解決方案并非滿足條件(b)。那么他的方案是否滿足條件(c)呢?即如何來解釋(3)為什么表面上是合理的?亨佩爾解釋道，人們之所以得到(3)，并非是在重言證據(jù)下，而是相對于特定的背景知識:我們已知所觀察到的對象a不是烏鴉。而對于一個已知不是烏鴉的對象，它不能提供任何關(guān)于烏鴉顏色的信息。④C.G.Hempel.Studies in the Logic of Confirmation I＆II，Mind，1946，54:20。即:

(iii)是符合直覺的一個原則。同時，(iii)也不與(3)’相悖，因?yàn)?3)’是相對于重言背景的。人們之所以認(rèn)為(3)表面上是合理的，是因?yàn)榛煜?3)和(iii)。

以Maher的三個條件為判據(jù)，亨佩爾解決方案最恰當(dāng)滿足的是(c)，對(a)(b)條件的滿足是有爭議的，他的解決方案還不能完全令人滿意。

然而，亨佩爾在分析悖論的直覺來源時，引入背景知識來進(jìn)行分析，則是為當(dāng)代貝葉斯主義者所歡迎的。但大多數(shù)當(dāng)代貝葉斯主義者并不承認(rèn)有相對于重言背景知識的概率，而是持認(rèn)識論概率觀。認(rèn)識論概率是指相對于某些(實(shí)際的)非重言的背景知識的概率。證認(rèn)關(guān)系不僅僅是理論和證據(jù)之間的關(guān)系，而是假設(shè)、證據(jù)和實(shí)際的背景知識三者之間不可還原的關(guān)系。

二、標(biāo)準(zhǔn)貝葉斯方案:豪森－厄巴赫方案

幾乎所有的貝葉斯主義者都接受(3)’而拒絕(3)。例如，當(dāng)今貝葉斯主義的代表科林·豪森(Colin Howson)和皮特·厄巴赫(Peter Urbach)在他們的經(jīng)典著作《科學(xué)推理:貝葉斯方法》(1993)中談到烏鴉悖論時，就曾指出:

事實(shí)是Ra＆Ba以及┐Ra＆┐Ba都證認(rèn)假設(shè)H，但并非意味著它們具有相同的證認(rèn)度。而一旦意識到證認(rèn)是度方面的事情，這個結(jié)論(3)將不再是反直覺的，因?yàn)樗c┐Ra＆┐Ba證認(rèn)H(盡管它的證認(rèn)度可以忽略)是協(xié)調(diào)的。這一簡單的觀點(diǎn)構(gòu)成貝葉斯主義對這一問題的解決。⑤Howson＆Urbach:Scientific Reasoning:The Bayesian Approach .Chicago:Open Court.1993:129、127。

他們的這一論斷隱含著如下兩個論題:

前一個論題稱為“比較論題”，即黑烏鴉對假設(shè)的證認(rèn)度要大于非黑的非烏鴉對假設(shè)的證認(rèn)度。后一論題稱為定量論題(該命題衍推(3)’，即由定量命題可以衍推出:非黑的非烏鴉證認(rèn)“所有的烏鴉都是黑色的”這一假設(shè)，盡管這個證認(rèn)度是極其微弱的)。如何論證這兩個論題成為貝葉斯方案的基本問題。

我們首先來看，假如這兩個論題是真的或可靠的，他們的解決方案是否滿足Maher提出的(a)(b)(c)三個判據(jù)。首先解釋為什么(3)表面上是合理的?(5)表明Ra＆Ba對假設(shè)H的證認(rèn)度要大于┐Ra＆┐Ba對H的證認(rèn)度，因而┐Ra＆┐Ba對H的證認(rèn)度是相對小的。(6)則進(jìn)一步表明┐Ra＆┐Ba對H的證認(rèn)度可以忽略，這也解釋了直覺悖論的來源是對(6)和(3)的混淆。另外，(5)或(6)是否能解釋(3)是錯誤的或(3)’直覺上是正確的呢?只要能夠說明定量命題(6)，那么就可說明(3)’是正確的?？梢?，要滿足Maher的所有判據(jù)，(5)和(6)兩個論題是關(guān)鍵。

為了討論方便，我們以下用“H”表示“?x(Rx→Bx)”。至于證認(rèn)度(c)測度，通常有如下幾種:

差異測度:d(H，E/K)=P(H/E.K)－P(H/K)

(對數(shù))比例測度:r(H，E/K)= log(P［H/E.K］/P(H/K)

(對數(shù))似然度比例測度:l(H，E/K)=log(P(E/H.K)/P(E/┐H.K)

規(guī)范化差異測度:s(H，E/K)=P［H/E.K］－ P(H/┐E，K)

除第四種測度外，前三種測度都滿足如下我們希望的結(jié)果:

如果 P(H/E1.K)＞P(H/E2.K)，那么 c［H，E1/K］－c［H，E2/K］。①B.Fitelson.The Paradox of Confirmation:105。

豪森－厄巴赫在解決烏鴉悖論時，采用的是(對數(shù))比例的測度。基于豪森－厄巴赫對“比較命題”和“定量命題”的相關(guān)論述，重構(gòu)證明如下:

［3］P(Ra＆Ba/H)=P(Ba/H＆Ra)P(Ra/H)=P(Ra/H)=P(Ra)②第一個等式是根據(jù)貝葉斯定理，第二個等式是因?yàn)镻(Ba/H＆Ra)=1。最后一個等式才是一個假設(shè)，即假定H對一個對象是烏鴉的認(rèn)識論概率沒有影響。(假設(shè))……………

［6］P(Ba/Ra)=∑P(Ba/Ra＆θ)P(θ/Ra)=∑P(Ba/Ra＆θ)P(θ)= ΣθP(θ)(全概率定理，θ獨(dú)立性假設(shè)③θ表示在宇宙中的烏鴉是黑色的可能的比例，可以是無窮多種可能性。θ獨(dú)立性假設(shè):P(θ/Ra)=P(θ)。而主要原則是指:P(Ba/Ra＆θ)=θ，即如果在宇宙中烏鴉是黑色的比例是θ，那么任何一個烏鴉是黑色的概率也為θ。，主要的原則)

以上證明序列中的［11］為定量命題，［14］為比較命題。比較命題的確立依賴于定量命題的確立，而定量命題的確立獨(dú)立于比較命題。從以上的證明可以看出，為了建立命題［11］和［14］，他們提出如下四個背景假設(shè)(依證明序列中的編號):

相對于我們的實(shí)際背景知識［9］和［11］都是恰當(dāng)?shù)模?］和［4］則是有爭議的。Varanas(2004)討論過［4］的合理性問題。為了說明定量命題，他與標(biāo)準(zhǔn)方案的進(jìn)路有所不同，引入的是差異測度:

該公式中的 E=┐Ra＆┐Ba，H=?x(Rx→Bx)。E對H的證認(rèn)度由P(H/E)–P(H)測度。要得到定量命題，根據(jù)我們的背景知識［9］P(┐Ba/K)≥P(Ra/K)，那么，P(┐Ra/┐Ba)=1－ε。為保證 ε ＞{［P(┐Ba/H)/P(┐Ba)］/P(┐Ra/┐Ba)－1}＞0 ，P(┐Ba/H)/P(┐Ba)要大于1－ε，并接近1，即［4］’P(┐Ba/H)/P(┐Ba)≈1，這是類似于［4］的獨(dú)立性假設(shè)，它的合理性在經(jīng)典的貝葉斯框架下是沒有得到過充分說明的?？傊?，無論在差異測度還是比例測度下，貝葉斯方案在建立定量命題時都須假定［4］，⑤在建立比較命題時都須假設(shè)［3］。而這個假設(shè)并不令人信服。Varanas論證，我們既無充分理由認(rèn)為P(┐Ba/H)和P(┐Ba)一定會不一樣，也無充分理由認(rèn)為它們應(yīng)該保持一致⑥也許人們會以為可以基于(條件)無差別原則論證該等式，但Varanus進(jìn)一步論證表明條件無差別原則像經(jīng)典無差別原則一樣會導(dǎo)致不一致。。因此，基于這一假設(shè)的(5)和(6)兩個論題仍是不可靠的。

另外，在豪森－厄巴赫的解決方案中是承諾了Nicod標(biāo)準(zhǔn)的。因?yàn)镹icod標(biāo)準(zhǔn)(1)是(5)和(6)的一個推論，但他們意識到Nicod標(biāo)準(zhǔn)并非普遍有效。他們以斯溫伯(Swinber)的例子來說明Nicod標(biāo)準(zhǔn)的失效情況。被檢驗(yàn)假設(shè)為“所有螞蚱都在約克郡以外”，這時，假定在約克郡邊界外面一點(diǎn)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)一只螞蚱，根據(jù)Nicod標(biāo)準(zhǔn)，這只螞蚱證認(rèn)以上假設(shè)。但假定邊界并無特定障礙，觀察到該螞蚱，則否證了被檢驗(yàn)假設(shè)。①Howson＆Urbach:Scientific Reasoning:The BayesianApproach.Chicago:Open Court.1993:129。Nicod標(biāo)準(zhǔn)并非普遍有效，而該方案卻承諾它，這便使得該方案的普遍性受到進(jìn)一步的限制?？梢姡瑢τ谪惾~斯方案來說，關(guān)鍵的困難是:是否有辦法不依賴于［3］和［4］這樣的獨(dú)立性假設(shè)來確立比較命題以及定量命題，而又不承諾Nicod標(biāo)準(zhǔn)?Fiteson和Hawthorne(2006b)的“似然度比例測度”方案就是在這一背景下提出的。他們首先建立比較命題，并在比較命題的基礎(chǔ)上建立定量比較命題，最后確立定量命題。這一進(jìn)路和標(biāo)準(zhǔn)方案恰好相反。

三、“似然度比例測度”方案

Fitelson等采用的是“似然度比例測度”來考察證據(jù)和假設(shè)之間的相關(guān)度或證認(rèn)度，他首先建立了如下等值關(guān)系:

P(H/Ra＆Ba.k)＞P(H/┐Ra＆┐Ba.k)iff P(Ra＆Ba/H.K)/P(Ra＆Ba/┐H.K)＞ P(┐Ra＆┐Ba/H.K)/P(┐Ra＆┐Ba/┐H.K)②B.Fitelson，J.Hawthorne:How Bayesian Confirmation Theory Handles the Paradox of Ravens，in E.Eells and J.Fetzer.Probabiity in Science，Chicago:Open Court.2006:23，25－29。

這樣就將原來比較命題的合理性問題轉(zhuǎn)換為“似然度比例”(likelihood－ratios)比較命題的合理性問題。在這里所謂“合理性問題”是指:在什么樣的恰當(dāng)條件下比較命題成立。這些條件又稱非平凡性假設(shè)(non-triviality assumptions)(以下簡稱NA)，它們是一些非常弱且合理的假設(shè):

為了方便討論，有如下定義:

在NA假設(shè)下，有如下定理和引理:

定理1:如果NA，那么有

引理:如果NA，那么有

1.3 D ＞1 iff［A－(1－C)］＞(C×B)⑤B.Fitelson，J.Hawthorne:How Bayesian Confirmation Theory Handles the Paradox of Ravens，in E.Eells and J.Fetzer.Probabiity in Science，Chicago:Open Court.2006:23，25－29。

引理給出的就是“似然度比例”比較命題成立的一般條件，即給出了一只黑色的烏鴉對假設(shè)H的支持度要高于一只非黑的非烏鴉的一般條件。從這些一般條件能夠抽出符合直觀的具體假設(shè)。首先，假定A=B，那么這條引理隱含著 D＞1 iff A或B＞1。這是說，無論假設(shè)H為真或?yàn)榧?，根?jù)我們的實(shí)際知識，非黑的東西都比是烏鴉的東西多，則D＞1。注意這一結(jié)論的得出，同時依賴的是這樣兩個條件:

(1.3.1)是非常合理的假說。至于條件(1.3.2)，則要弱于［3］和［4］的合取(因?yàn)椋?］和［4］衍推(1.3.2))。同時，(1.3.1)和(1.3.2)的適用范圍要廣于［3］［4］適用的范圍，因?yàn)樵冢?］和［4］不成立的情況下，即當(dāng)P((┐Ba/┐H.K)/P(┐Ba/H.K)大于1 時，只要 P(Ra/┐H.K)/P(Ra/H.K)同樣程度(協(xié)變地)大于1，我們?nèi)匀豢梢缘玫紻＞1的結(jié)果。但是，這二者之間的協(xié)變關(guān)系又如何確定呢?有什么理由認(rèn)為二者會是同等程度協(xié)變的呢??？梢?，條件(1.3.2)仍是一個存疑的假設(shè)。那么，是否存在替換(1.3.2)的合理?xiàng)l件而仍使得D＞1?Fitelson等建立如下定理:

假定 NA，如果 P［H/Ra.K］≥P(H/┐Ba.K)，并且(1.3.1)成立，那么 D ＞1。③B.Fitelson:The Paradox of Confirmation，Philosophy Compass，2006，p108 。

該定理的前件是一個較合理的假設(shè)。它說的是，對于“所有烏鴉都是黑色的”這一假設(shè)而言，一個是烏鴉的東西對該假說的證認(rèn)度不會小于一個非黑的東西，應(yīng)該說這一假設(shè)至少比［3］和［4］的合取要弱。這樣，F(xiàn)itelson建立的比較命題相對于標(biāo)準(zhǔn)方案來說，確有實(shí)質(zhì)性的提高。

四、定量比較命題及其批判

有趣的是，為了建立定量命題，F(xiàn)itelson嘗試在比較命題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步回答這樣的問題:一個黑色的烏鴉對“所有烏鴉都是黑色的”這一命題的證認(rèn)度比一個非黑并且是非烏鴉的東西對該假設(shè)的證認(rèn)度究竟大多少?也就是說，他將建立一個定量的比較命題，該命題由如下定理給出。

定理2:如果NA，同時如下條件成立:

B=P(┐Ba/H.K)/P(Ra/H.K)≥ L＞1

即:B≥L＞1

A=P(┐Ba/┐H.K)/P(Ra/┐H.K)≈B，

即:對于某些大于0，但趨近于0的δ，有:

0＜1－δ≤A/B≤1+δ。

那么有如下結(jié)果:

2.1 ［(1－δ)－(1－C)/L］(1/C)＜D ＜(1+ δ)(1/C)。

2.2 如果L＞ ＞1，正數(shù) δ趨于0，那么 D≈1/C。①B.Fitelson，J.Hawthorne:How Bayesian Confirmation Theory Handles the Paradox of Ravens:28－29。

以上定理說的是，一只黑烏鴉對假設(shè)“所有烏鴉都是黑的”的證認(rèn)度與一個非烏鴉并且是非黑的對象對“所有烏鴉都是黑色的”的證認(rèn)度之比約為1/C。因0＜C＜1，所以，D不僅大于1，而且約等于1/C。這就是Fitelson建立的定量比較命題。在此基礎(chǔ)上，F(xiàn)itelson給出如下定理以確立定量論題得以成立的必要條件。

定理3:如果NA，并且滿足如下條件:

3.1 B ＞A ＞1

3.2 A≈B，即(1－δ)≤A/B≤(1+δ)

3.3 1－ε≤P［┐Ba＆┐Ra/H.K］/P［┐Ba＆┐Ra/┐H.K］≤1+ε

那么，P［Ba＆Ra/H.K］/P［Ba＆Ra/┐H.K］=(1+－δ)(1+－ε)P［Ba/Ra.H.K］/P［Ba/Ra.┐H.K］≈1/C。②其中 P［Ba/Ra.H.K］/P［Ba/Ra.┐H.K］=1/C。

該定理表明，┐Ba＆┐Ra對H的證認(rèn)度在以0為中心的一個極小區(qū)間內(nèi)變化的必要條件是P［Ba/Ra.H.K］/P［Ba/Ra.┐H.K］≈1/C 。另外，這一定理允許┐Ba＆┐Ra對假設(shè)H的支持度可以為0(當(dāng)ε=0)，有微弱的支持或有微弱的否證度(當(dāng)ε＞0)。所以，這一定量命題比原來的定量命題適用范圍要寬。要注意的是3.3并非是標(biāo)準(zhǔn)的定量命題，③事實(shí)上，關(guān)于 P［┐Ba＆┐Ra/H.K］/P［┐Ba＆┐Ra/┐H.K］和 P［H/┐Ba＆┐Ra.K］/P［H.K］的斷定(標(biāo)準(zhǔn)的定量命題是關(guān)于后面這個比例的斷定)并非完全等值，但二者存在有衍推關(guān)系，前者衍推后者。但3.3將衍推弱化的標(biāo)準(zhǔn)定量命題。④證明:(1)P(H∨┐H/┐Ba＆┐Ra.k)=P(H/┐Ba＆┐Ra.k)+P(┐H/┐Ba＆┐Ra.k)=1={P(H/K)P［┐Ba＆┐Ra/H.K］+P(┐H/k)P［┐Ba＆┐Ra/┐H.K］}/P(┐Ba＆┐Ra.k)≈P［┐Ba＆┐Ra/H.K］/P(┐Ba＆┐Ra/.k)≈1(因?yàn)?P［┐Ba＆┐Ra/H.K］/P［┐Ba＆┐Ra/┐H.K］≈1)，(2)P［H/┐Ba＆┐Ra.K］=P(H/.K)P［┐Ba＆┐Ra/H.K］/P(┐Ba＆┐Ra.K)≈P(H/K)(因?yàn)?P［┐Ba＆┐Ra/H.K］/P(┐Ba＆┐Ra/.k)≈1)總之，在建立定量命題的必要條件中，不需要獨(dú)立性假說，也不必一定承諾Nicod標(biāo)準(zhǔn)，從而避免了經(jīng)典貝葉斯方案的缺點(diǎn)。

人們之所以相信┐Ba＆┐Ra對H的證認(rèn)度為0，是因?yàn)樗麄冨e誤地將 P［┐Ba＆┐Ra/H.K］/P［┐Ba＆┐Ra/┐H.K］≈1 與 P［┐Ba＆┐Ra/H.K］/P［┐Ba＆┐Ra/┐H.K］=1混淆了。而標(biāo)準(zhǔn)方案則會解釋為是因?yàn)槿藗儼盐⑷踝C認(rèn)度忽略了，但這一解釋依賴于前面提到的獨(dú)立性假設(shè)。如果獨(dú)立性假設(shè)是錯誤的，他們將要改變解釋。目前來看，獨(dú)立性假設(shè)的合理性是不能有力辯護(hù)的。

進(jìn)一步的問題是，1－ε≤P［┐Ba＆┐Ra/H.K］/P［┐Ba＆┐Ra/┐H.K］≤1+ε得以成立的充分條件是什么呢?Fitelson并沒有給出，但在其方案中隱含著這樣的結(jié)果。定理(2)告訴我們，{P［Ba＆Ra/H.K］/P［Ba＆Ra/┐H.K］}/{P［┐Ba＆┐Ra/H.K］/P［┐Ba＆┐Ra/┐H.K］}≈1/C(當(dāng) B ＞＞1 時)，假如 P［Ba＆Ra/H.K］/P［Ba＆Ra/┐H.K］≈ 1/C，那么 P［┐Ba＆┐Ra/H.K］/P［┐Ba＆┐Ra/┐H.K］≈1，同時可得到弱化的標(biāo)準(zhǔn)形式的定量命題 P［H/┐Ba＆┐Ra.K］≈P(H/K)?？梢姸ɡ?3不僅給出了3.3的必要條件，還給出了它的充分條件。

相比標(biāo)準(zhǔn)方案，“似然度比例測度”方案基于較弱的假設(shè)建立了較弱的定量命題，因此沒有承 諾Nicod標(biāo)準(zhǔn)。總的來看，該方案確有資格稱為標(biāo)準(zhǔn)方案的提高版本。然而，該方案在建立定量比較命題時，無論在定理2還是在定理3中，都假定了A≈B(它類似于條件(1.3.2))，盡管它弱于［3］和［4］的合取，卻并未得到進(jìn)一步辯護(hù)。可見，如何基于更合理的假設(shè)來證明定量命題，仍是貝葉斯證認(rèn)理論的一個課題。