方金輝,王智勇
(南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,江蘇南京 210044)
反例思想在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的作用
方金輝,王智勇
(南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,江蘇南京 210044)
通過(guò)無(wú)界函數(shù)與函數(shù)趨于無(wú)窮大的關(guān)系和中值定理只在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立兩個(gè)反例,說(shuō)明運(yùn)用反例思想有利于加深學(xué)生對(duì)概念、定理的理解,培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性,從而提高教學(xué)效果.
數(shù)學(xué)分析;反例;教學(xué);無(wú)界函數(shù);中值定理
反例思想是數(shù)學(xué)分析中的重要思想,對(duì)于概念、性質(zhì)的理解以及問(wèn)題的研究與論證都具有不可替代的作用.恰當(dāng)運(yùn)用反例,對(duì)于正確理解概念,鞏固和掌握定理、公式、法則,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力,預(yù)防和糾正錯(cuò)誤,具有十分重要的作用[1-3].
數(shù)學(xué)分析中許多概念都是以抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述,學(xué)生不易憑直觀思考并理解其含義,此時(shí)恰當(dāng)運(yùn)用反例,不但可以加深學(xué)生對(duì)概念的理解,而且還可以溝通概念與概念之間的聯(lián)系[4].
例1無(wú)界函數(shù)與函數(shù)趨于無(wú)窮大的關(guān)系.
無(wú)界函數(shù)的定義與函數(shù)趨于無(wú)窮大的定義有些相似,然而這兩個(gè)概念有本質(zhì)上的差異.若x→x0時(shí),f(x)→∞,則f在x0的每個(gè)領(lǐng)域內(nèi)必定無(wú)界.反之,函數(shù)f在x0的任何領(lǐng)域內(nèi)都是無(wú)界的,但當(dāng)x→x0時(shí),f(x)并不一定趨于無(wú)窮大.
由此可見(jiàn),無(wú)界函數(shù)與函數(shù)極限趨于無(wú)窮大并不等價(jià).
中值定理是數(shù)學(xué)分析課程中的一個(gè)重要定理,但學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)往往會(huì)忽略定理成立是在實(shí)數(shù)域范圍內(nèi)這個(gè)隱含條件.
例2羅爾(Rolle)中值定理只在實(shí)數(shù)域范圍內(nèi)成立.
羅爾(Rolle)中值定理若函數(shù)f滿足條件:①f在[a,b]上連續(xù);②f在(a,b)內(nèi)可導(dǎo);③f(a)= f(b),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使f'(ξ)=0.
羅爾中值定理只在實(shí)數(shù)域范圍內(nèi)成立.事實(shí)上,令f(x)=cos x+i sin x,x∈R,此函數(shù)是處處連續(xù)和可微的,但是不存在區(qū)間(a,b),使得ξ∈(a,b)滿足
上述反例說(shuō)明,對(duì)于復(fù)值函數(shù)而言,中值定理不再有效.
數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)實(shí)踐表明,在教學(xué)過(guò)程中,恰當(dāng)運(yùn)用反例,對(duì)于學(xué)生理解概念,克服對(duì)定理認(rèn)識(shí)上的偏差,培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性具有重要作用.恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用反例思想,確實(shí)在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中會(huì)起到事半功倍的效果,從而提高教學(xué)質(zhì)量.
[1]林文賢.反例在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的作用[J].高師理科學(xué)刊,2008,28(4):93-95.
[2]馬建珍.反例在數(shù)學(xué)分析中的作用[J].宜賓學(xué)院學(xué)報(bào),2006(12):39-41.
[3]董海瑞.淺談數(shù)學(xué)分析中反例的作用[J].太原大學(xué)教育學(xué)院學(xué)報(bào),2009,27(1):52-53.
[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].3版.北京:高等教育出版社,2001.
Function of Counter-Examples Idea in Mathematical Analysis Teaching
FANG Jin-hui,WANG Zhi-yong
(Department of Mathematics&Statistics,Nanjing University of Information Science&Technology,Nanjing 210044,China)
By two counter-examples of the relationship between unbounded function and conclusion that the function goes to infinity and the fact that the mean value theorem only works in the range of real number,it is stated that counter-examples idea can make students understand conceptions and theorems better,and foster the preciseness of students’thinking,so the teaching effect can be increased.
mathematical analysis;counter-examples;teaching;unbounded function;mean value theorem
G642.0;O171
A
1007-0834(2012)02-0057-02
10.3969/j.issn.1007-0834.2012.02.017
2012-03-05
國(guó)家自然科學(xué)基金(11126302);江蘇省高校自然科學(xué)基金(11KJB110006)
方金輝(1984—),女,安徽寧國(guó)人,南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師,博士,主要研究方向:數(shù)論.