多約束條件下導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)制導(dǎo)律

王曉芳，林 海

（北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100081）

導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的不斷發(fā)展使導(dǎo)彈的突防能力和攻擊能力面臨著嚴(yán)峻的挑戰(zhàn).多導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)能夠有效地提高導(dǎo)彈的突防能力、戰(zhàn)場生存能力和對目標(biāo)的打擊能力.而多彈協(xié)同作戰(zhàn)制導(dǎo)律是導(dǎo)彈實(shí)現(xiàn)協(xié)同作戰(zhàn)的關(guān)鍵技術(shù)之一，對它的研究具有重要意義.

在導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)的過程中，通常對多枚導(dǎo)彈攻擊目標(biāo)時的攻擊角度和攻擊時間進(jìn)行約束.對于具有攻擊角度約束的制導(dǎo)律，國內(nèi)外研究得比較多[1～3]，而對于具有攻擊時間約束的制導(dǎo)律的研究相對較少[4，5].近年來，學(xué)者們對于同時具有攻擊角度和攻擊時間約束的制導(dǎo)律也進(jìn)行了一定的研究[6～8].文獻(xiàn)[6，7]分別基于最優(yōu)控制理論、滑膜控制理論提出了可同時控制多枚導(dǎo)彈攻擊角度和攻擊時間的制導(dǎo)律，文獻(xiàn)[8]則采用反演控制方法和偏置比例導(dǎo)引法設(shè)計(jì)了一種具有攻擊角度和時間約束的、適用于反艦導(dǎo)彈攻擊固定目標(biāo)的制導(dǎo)律，但文中并沒有對制導(dǎo)律參數(shù)的取值進(jìn)行研究.另外，在設(shè)計(jì)適用于導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)的制導(dǎo)律時，除了考慮攻擊角度和攻擊時間的約束，還需要考慮其他約束，如導(dǎo)彈自身的過載約束、彈道收斂性約束等.

本文在綜合考慮攻擊角度和攻擊時間約束、導(dǎo)彈自身過載約束、彈道收斂性約束等因素的前提下，基于比例導(dǎo)引律設(shè)計(jì)了適用于多枚導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)的四維制導(dǎo)律，并采用自動控制理論和變系數(shù)比例導(dǎo)引律理論對制導(dǎo)律中參數(shù)的取值進(jìn)行了理論分析，并給出了仿真算例.

1 具有攻擊角度和攻擊時間約束的制導(dǎo)律

某導(dǎo)彈和目標(biāo)在三維空間的相對運(yùn)動關(guān)系如圖1所示.

圖1 導(dǎo)彈目標(biāo)相對運(yùn)動圖

圖中：M代表導(dǎo)彈，M′代表導(dǎo)彈在水平面的投影，T代表目標(biāo)；AXYZ為地面坐標(biāo)系；MXMYMZM，M′XM′YM′ZM′，TXTYTZT為地面坐標(biāo)系的平移坐標(biāo)系，原點(diǎn)分別為M，M′，T；vM，θM，ψVM分別為導(dǎo)彈的速度、彈道傾角和彈道偏角；vT，θT，ψVT分別為目標(biāo)的速度、豎直航向角和水平航向角；R為彈目距離；qy和qz分別為俯仰和偏航方向的視線角；q＊y和q＊z分別為俯仰和偏航方向的理想攻擊角.假設(shè)導(dǎo)彈的速度大小不變，ay和az分別為導(dǎo)彈俯仰和偏航方向垂直于速度的加速度，則其運(yùn)動模型為

式中，xM，yM，zM分別為導(dǎo)彈質(zhì)心在地面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，g為重力加速度.為了實(shí)現(xiàn)對攻擊角度和攻擊時間的控制，可在純比例導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上附加一個與角度差（實(shí)際視線角與理想攻擊角之差）成正比的偏置量和一個與時間差（預(yù)估的攻擊時間與理想攻擊時間之差）成正比的偏置量，形成同時具有攻擊角度和攻擊時間約束的四維制導(dǎo)律，即

式中，Ky，at，Kz，at，Ny，a，Nz，a，Ny，t和Nz，t為 比 例 系數(shù)；t＊為設(shè)定的理想攻擊時間；t′為預(yù)估的攻擊時間，它等于當(dāng)前時刻t與導(dǎo)彈剩余飛行時間tgo（可通過任一種剩余飛行時間估算方法求得）之和.當(dāng)qy和qz逐漸趨近于q＊y和q＊z，且t′逐漸趨近于t＊時，此制導(dǎo)律逐漸變?yōu)榧儽壤龑?dǎo)引律.在如式（2）所示的制導(dǎo)律中，系數(shù)Ky，at，Ny，a，Ny，t等的取值至關(guān)重要，它們直接關(guān)系到制導(dǎo)律的精度和導(dǎo)彈的彈道特性，需要綜合考慮攻擊角度和攻擊時間約束、導(dǎo)彈的可用過載約束、彈道的收斂性約束等多個因素來取值.

2 多約束條件下制導(dǎo)律參數(shù)的選取

多枚導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)攻擊的目標(biāo)通常是具有強(qiáng)防御火力的高價(jià)值固定或慢速移動目標(biāo)，因此，不失一般性，可假定目標(biāo)為固定目標(biāo).為了研究同時具有攻擊角度和攻擊時間約束的制導(dǎo)律系數(shù)的取值，先分析只具有攻擊角度約束的制導(dǎo)律系數(shù)的取值，即在式（2）中，令Ny，t＝Nz，t＝0.以俯仰平面的制導(dǎo)律為例，描述導(dǎo)彈目標(biāo)之間的視線角和導(dǎo)彈彈道傾角變化的方程為

由于攻擊的目標(biāo)為固定目標(biāo)，而且存在中制導(dǎo)，因此ψVM－qz不會太大，可認(rèn)為cos（ψVM－qz）≈1，這時式（3）中的第一式變?yōu)?/p>

在qy－θM不大的前提下，有sin（qy－θM）≈qy－θM，再把近似后的y代入式（3）的第二式，則式（3）變?yōu)?/p>

由式（5）可看出，此時的導(dǎo)彈可看作q＊y為輸入、（qyθM）為狀態(tài)變量的時變線性系統(tǒng)，如選qy作為輸出，則可得到從q＊y到qy的傳遞函數(shù)：

式中，s為復(fù)變量.由式（6）可知，它為一個傳遞系數(shù)kMy＝1，時間常數(shù)，阻尼系數(shù)ξMy＝

的二階系統(tǒng).如果系統(tǒng)穩(wěn)定，qy將趨近于q＊y.采用霍爾維茨判據(jù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，知系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為且，即

接下來分析制導(dǎo)律中的比例系數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響.從阻尼系數(shù)的表達(dá)式可知：當(dāng)Ky，at確定后，阻尼系數(shù)只與Ny，a有關(guān)，Ny，a越大，阻尼系數(shù)越小；反之則阻尼系數(shù)越大.另外，由于導(dǎo)彈的速度vM不變，因此當(dāng)彈目距離R一定時，系統(tǒng)的時間常數(shù)隨著Ny，a的增大而減小.由此可見，Ny，a的取值對系統(tǒng)的動態(tài)特性有重要的影響.當(dāng)要求導(dǎo)彈以某一角度命中目標(biāo)即為常數(shù)時，相當(dāng)于給式（6）所示的系統(tǒng)施加了一個階躍輸入.綜合考慮過渡過程時間和超調(diào)量，根據(jù)自動控制理論可知，阻尼系數(shù)選在0.7左右，即0.5到1.0范圍內(nèi)時系統(tǒng)的過渡過程比較快，而且超調(diào)量也不大[9].因此可設(shè)定理想的阻尼系數(shù)＜1.0），然后確定：

對于式（2）所示的同時具有攻擊角度和攻擊時間約束的制導(dǎo)律，類似于具有攻擊角度約束的制導(dǎo)律的分析.經(jīng)過簡化和整理，描述視線角和導(dǎo)彈彈道傾角變化的方程為

根據(jù)式（9）求出以為輸入、qy為輸出的傳遞函數(shù)：

對比式（10）和式（6）可以發(fā)現(xiàn)：它們均是一個二階系統(tǒng)，而且時間常數(shù)和阻尼系數(shù)的表達(dá)式也相同，不同的地方在于傳遞系數(shù)，式（10）中的傳遞系數(shù)包含了與攻擊時間差有關(guān)的項(xiàng).當(dāng)t′→t＊時，傳遞系數(shù)趨近于1.qy的變化不僅與時間常數(shù)、阻尼系數(shù)有關(guān)，還與攻擊時間的控制項(xiàng)有關(guān).如果t′越快地趨于t＊，則Gy，at（s）越快地趨近于Gy，a（s），此時qy對的響應(yīng)主要取決于時間常數(shù)和阻尼系數(shù).由式（10）可知，此時系統(tǒng)的穩(wěn)定條件同式（7），Ny，a仍然可按照式（8）來取值.

導(dǎo)彈在飛行過程中要受到自身可用過載的約束，可根據(jù)過載的約束決定Ny，t的取值.需要說明的是：當(dāng)t′＞t＊時，導(dǎo)彈預(yù)估的飛行時間大于理想飛行時間，此時很難控制導(dǎo)彈以理想飛行時間命中目標(biāo)，這時令Ny，t＝0；當(dāng)t′＜t＊時，偏置量起作用.以下分析當(dāng)t′＜t＊時Ny，t的取值情況.將具有攻擊角度和攻擊時間約束的制導(dǎo)律式（2）的第一式代入式（1）的第二式后可得：

當(dāng)t′＜t＊即導(dǎo)彈預(yù)估的飛行時間小于理想飛行時間時，根據(jù)比例導(dǎo)引律的特點(diǎn)，應(yīng)有 ΔKy，t＜0（Ny，t和y同號），使等效比例系數(shù)減小、導(dǎo)彈彈道抬高、導(dǎo)彈的飛行時間變長，以逐漸趨近于t＊，實(shí)現(xiàn)對攻擊時間的控制.在導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)初期，可充分發(fā)揮導(dǎo)彈的機(jī)動能力，以達(dá)到攻擊時間和角度上的協(xié)同；在飛行彈道末段，則應(yīng)使彈道收斂，以完成攻擊目標(biāo)這個主要任務(wù).因此，在協(xié)同作戰(zhàn)開始時，不妨設(shè)導(dǎo)彈達(dá)到了可用過載±ny，max（ny，max＞0）.則當(dāng)y≥0時，n＝－ny，max；y＜0時，n＝ny，max；即導(dǎo)彈的彈道形狀與原彈道形狀相反，以延長飛行時間.這時，在Ky，at和Ny，a已確定的前提下，可得：

式中：Ny，t0為導(dǎo)彈達(dá)到可用過載時Ny，t的臨界值；y，qy，R，t′為初始時刻的值.協(xié)同作戰(zhàn)開始時，導(dǎo)彈達(dá)到可用過載或以可用過載飛行一段時間，這時Ny，t的取值為

式中，k為系數(shù).

為了確保導(dǎo)彈能夠命中目標(biāo)，在飛行彈道后段（命中目標(biāo)前Δtl時間段內(nèi)），要求彈道收斂.既然如式（2）所示的制導(dǎo)律可看作比例系數(shù)為K＊y，at的變系數(shù)比例導(dǎo)引律，則可效仿傳統(tǒng)比例導(dǎo)引律彈道收斂性的分析來研究它的收斂性.對式（3）的第一式求導(dǎo)，并整理可得：

則彈道收斂的條件為

當(dāng)ψVM－qz較小時，式（16）方括號中的值約等于cos（qy－θM），而在彈道末段，通常有｜qy－θM｜＜90°，因此方括號中的值通常大于零，那么保證彈道收斂的K＊y，at的取值范圍即為

則

為彈道收斂的臨界等效比例系數(shù).導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)過程中，對攻擊時間的控制相對攻擊角度的控制顯得更重要一些.如果導(dǎo)彈能夠做到同時命中目標(biāo)，即使攻擊角度和設(shè)定的攻擊角度有些誤差，對攻擊效果的影響也不會太大.因此，在彈道末段，保持Ny，t不變，而根據(jù)彈道收斂的條件改變Ny，a.將K＊y，at的表達(dá)式代入式（17），則得到在彈道收斂前提下的Ny，a的取值范圍：

經(jīng)過以上分析，綜合考慮導(dǎo)彈的動態(tài)過程、可用過載的約束以及彈道收斂性等因素，可按照以下原則選取制導(dǎo)律中的系數(shù)：

①根據(jù)經(jīng)驗(yàn)首先選取Ky，at∈[2，6].

②基于式（8）根據(jù)設(shè)定的理想阻尼系數(shù)ξM＊y計(jì)算Ny，a.

③根據(jù)Ky，at和Ny，a，按照式（13）和式（14）設(shè)定彈道初始段導(dǎo)彈按可用過載飛行時的Ny，t.

④在導(dǎo)彈飛行末段，當(dāng)tgo＜Δtl時，保持Ky，a和Ny，t不變，如Ny，a滿足不等式（18），則其保持不變；否則Ny，a由式（18）進(jìn)行修正.當(dāng)導(dǎo)彈攻擊固定目標(biāo)且彈道收斂時，導(dǎo)彈的需用過載會逐漸趨于零.

偏航方向制導(dǎo)律的分析類似于俯仰方向，受篇幅局限，在此不再敘述.

3 仿真結(jié)果及分析

假設(shè)3枚導(dǎo)彈采用爬升—平飛—俯沖彈道協(xié)同攻擊敵軍艦，導(dǎo)彈在平飛段對目標(biāo)進(jìn)行搜索，當(dāng)其中一枚導(dǎo)彈發(fā)現(xiàn)目標(biāo)后通知其他導(dǎo)彈，然后3枚導(dǎo)彈進(jìn)入末制導(dǎo)，對目標(biāo)進(jìn)行協(xié)同攻擊.通過考慮導(dǎo)引頭的最大識別距離來設(shè)定導(dǎo)彈目標(biāo)的初始位置.設(shè)軍艦的位置為（8 775，0，2 000）（單位：m），3枚導(dǎo)彈的初始參數(shù)如表1所示.表中XM，YM，ZM分別表示導(dǎo)彈質(zhì)心在地面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；nmax表示導(dǎo)彈在俯仰和偏航方向的可用過載.

表1 3枚導(dǎo)彈的初始參數(shù)

設(shè)3枚導(dǎo)彈的理想攻擊角度（）分別為（－35°，－50°）、（－45°，10°）和（－45°，70°），理想攻擊時間t＊＝54s.對于俯仰方向的制導(dǎo)律，比例系數(shù)Ky，at＝4，理想阻尼系數(shù)＝0.8.Ny，t取如式（13）所示的臨界值的k倍，此處k＝5.末段彈道收斂時間Δtl＝3s，當(dāng)tgo＜Δtl時，如彈道不收斂，保持Ky，at和Ny，t不 變，對Ny，a進(jìn) 行 修 正.根 據(jù)式（18）知彈道收斂要求下Ny，a的臨界取值為

Ny，a的修正方法為

為了在保證彈道收斂的前提下盡量對攻擊角度進(jìn)行較強(qiáng)的控制，修正時Ny，a取較Nly增大或減小10%的值，正如式（19）所示.偏航方向制導(dǎo)律中系數(shù)的取值方法同俯仰方向.仿真結(jié)果如圖2和圖3所示，圖2中的q表示視線角，qyi和qzi（i＝1，2，3）表示第i枚導(dǎo)彈俯仰和偏航方向的視線角.

圖2 3枚導(dǎo)彈視線角變化曲線

由圖2和圖3可看出，3枚導(dǎo)彈以要求的攻擊角幾乎同時命中目標(biāo).需要說明的是，彈道末段的修正對攻擊角度的控制有一定影響，但影響并不大.本算例中，在俯仰方向，3枚導(dǎo)彈的實(shí)際攻擊角與理想攻擊角之差最大為0.7°，修正前后的攻擊角的最大差別不超過1°.偏航方向上，實(shí)際攻擊角與理想攻擊角之差最大為1.9°，修正前后攻擊角的差別也不超過2°.攻擊時間方面，3枚導(dǎo)彈的實(shí)際攻擊時間與理想攻擊時間的最大偏差為0.7s，3枚導(dǎo)彈的實(shí)際攻擊時間最大偏差為1.4s.這些說明制導(dǎo)律具有良好的精度.以導(dǎo)彈1為例，畫出其過載變化圖和末段彈道修正前后的視線角速度變化圖，如圖4和圖5所示.圖中，n為過載，為視線角速度.

圖3 3枚導(dǎo)彈彈道圖

圖4 導(dǎo)彈1的過載變化

圖5 末段修正前后導(dǎo)彈1的視線角速度變化曲線

由圖4可知，導(dǎo)彈按可用過載飛行一段時間之后，需用過載就小于可用過載.在導(dǎo)彈飛行末段，過載發(fā)生突變是由于視線角速度的符號發(fā)生變化導(dǎo)致制導(dǎo)律中控制攻擊時間的部分符號突變，過載因此發(fā)生突變.由圖5可看出，根據(jù)彈道收斂性約束對制導(dǎo)律中的系數(shù)進(jìn)行修正后，視線角速度逐漸收斂，有利于有效地攻擊目標(biāo).

4 結(jié)束語

本文研究了多枚導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)時多約束條件下的制導(dǎo)律問題，所做工作具有以下特點(diǎn)：

①將與攻擊角度和攻擊時間約束有關(guān)的偏置量附加到純比例導(dǎo)引律信號中，形成對導(dǎo)彈攻擊角度和攻擊時間進(jìn)行控制的制導(dǎo)律.

②基于控制理論研究了保證導(dǎo)彈系統(tǒng)穩(wěn)定和攻擊角度響應(yīng)具有良好動態(tài)特性的制導(dǎo)律參數(shù)的選擇；基于變系數(shù)比例導(dǎo)引律理論，研究了保證末段彈道收斂的制導(dǎo)律系數(shù)；綜合考慮導(dǎo)彈可用過載的約束，給出了制導(dǎo)律參數(shù)的取值方法.仿真算例驗(yàn)證了制導(dǎo)律的有效性.

需要說明的是，對于多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊慢速直線運(yùn)動目標(biāo)的情況，本文對制導(dǎo)律中系數(shù)取值的推導(dǎo)方法仍然適用.制導(dǎo)律中的理想攻擊時間的取值比較關(guān)鍵，它與導(dǎo)彈目標(biāo)的初始位置、導(dǎo)彈的可用過載、目標(biāo)的運(yùn)動狀態(tài)等都有關(guān)系，因此，它的合理設(shè)定以及制導(dǎo)律的應(yīng)用范圍是下一步要研究的內(nèi)容.

[1]OHLMEYER E J，PHILIPS C A.Generalized vector explicit guidance[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2006，29（2）：261－268.

[2]RATNOO A，GHOSE D.State dependent riccati equation based guidance law for impact angle constrained trajectories[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2009，32（1）：320－326.

[3]顧文錦，雷軍委，潘長鵬.帶落角限制的虛擬目標(biāo)比例導(dǎo)引律設(shè)計(jì)[J].飛行力學(xué)，2006，24（2）：43－46.GU Wen－jin，LEI Jun－wei，PAN Chang－peng.Design of the climbing trajectory using virtual target’s proportional navigation method with the control of terminal azimuth of a missile[J].Flight Dynamics，2006，24（2）：43－46.（in Chinese）

[4]JEON I S，LEE J I，TAHK M J.Impact－time－control guidance law for anti－ship missiles[J].IEEE Transactions on Control Systems Technology，2006，14（2）：260－266.

[5]張友安，馬國欣，王興平.多導(dǎo)彈時間協(xié)同制導(dǎo)：一種領(lǐng)彈－被領(lǐng)彈策略[J].航空學(xué)報(bào)，2009，30（6）：1 109－1 118.ZHANG You－an，MA Guo－xin，WANG Xing－ping.Time－cooperative guidance for multi－missiles：a leader－follower strategy[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2009，30（6）：1 109－1 118.（in Chinese）

[6]LEE J I，JEON I S，TAHK M J.Guidance law to control impact time and angle[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2007，43（1）：301－310.

[7]HARL N，BALAKRISHNAN S N.Impact time and angle guidance with sliding mode control[C].AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference.Chicago，Illinois：AIAA，2009：1－22.

[8]JUNG B，KIM Y.Guidance laws for anti－ship missiles using impact angle and impact time[C].AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference and Exhibit.Keystone，Colorado：AIAA，2006：1－13.

[9]吳麒.自動控制原理[M].北京：清華大學(xué)出版社，1998：138－139.WU Qi.Principles of automatic control[M].Beijing：Tsinghua University Press，1998：138－139.（in Chinese）