考慮動(dòng)態(tài)接觸參數(shù)的某型導(dǎo)彈發(fā)射動(dòng)力學(xué)分析

劉馨心，徐宏斌，張亮亮，褚福磊

（1.清華大學(xué) 精密儀器與機(jī)械學(xué)系，北京100084；2.西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所，西安710065）

初始擾動(dòng)是各類(lèi)武器研制需要解決的一個(gè)重要問(wèn)題.對(duì)導(dǎo)彈系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，過(guò)大的初始擾動(dòng)會(huì)加重制導(dǎo)系統(tǒng)負(fù)擔(dān)，甚至造成導(dǎo)彈失控.目前對(duì)初始擾動(dòng)的研究主要考慮了推力偏心、質(zhì)量偏心、動(dòng)不平衡[1]等因素，而考慮結(jié)構(gòu)間隙帶來(lái)的系統(tǒng)動(dòng)特性影響的分析不多見(jiàn).

由于設(shè)計(jì)需要或加工誤差等原因，導(dǎo)彈發(fā)射系統(tǒng)不可避免地存在運(yùn)動(dòng)副間隙，導(dǎo)彈在發(fā)射出筒過(guò)程中的動(dòng)力學(xué)特性會(huì)受到間隙的影響，從而影響導(dǎo)彈的初始擾動(dòng).因此，在導(dǎo)彈發(fā)射系統(tǒng)建模過(guò)程中考慮運(yùn)動(dòng)副間隙影響，引入接觸碰撞模型，將有助于更加真實(shí)、準(zhǔn)確地研究系統(tǒng)參數(shù)對(duì)導(dǎo)彈初始擾動(dòng)的影響，為導(dǎo)彈發(fā)射系統(tǒng)的設(shè)計(jì)以及提高發(fā)射精度提供參考.

研究系統(tǒng)間隙碰撞問(wèn)題的關(guān)鍵是要解決接觸碰撞階段的動(dòng)力學(xué)模型，而模型的難點(diǎn)在于接觸參數(shù)的確定[2～5].本文以某單位研制的反坦克導(dǎo)彈武器系統(tǒng)為研究對(duì)象，基于接觸變形碰撞模型，考慮接觸剛度、阻尼系數(shù)和穿透量的動(dòng)態(tài)變化，利用動(dòng)力學(xué)軟件建立了研究對(duì)象的動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)數(shù)值仿真計(jì)算得到了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng).

1 接觸碰撞模型的建立

1.1 碰撞接觸力模型

經(jīng)典碰撞模型認(rèn)為碰撞在瞬間完成，忽略了接觸過(guò)程，因此無(wú)法給出碰撞發(fā)生時(shí)的接觸力變化和碰撞時(shí)間等信息，但是系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)動(dòng)態(tài)響應(yīng)是需要關(guān)注的重要特性，因此，采用等效的接觸變形碰撞模型來(lái)描述系統(tǒng)各部件之間的接觸較為合適.

DUBOWSKY[2]提出即使在較小的碰撞速度下，碰撞點(diǎn)鄰域內(nèi)仍會(huì)存在微小變形，并由彈簧阻尼系統(tǒng)來(lái)等效碰撞力的大小，其廣義形式可表示為

式中，F(xiàn)n為接觸點(diǎn)處法向接觸力，Kn為等效接觸剛度，C（δ）是與δ有關(guān)的阻尼因子，δ和為接觸點(diǎn)法向穿透深度及法向相對(duì)速度，非線(xiàn)性指數(shù)因子m≥1.不同的m、Kn和C（δ）代表不同的模型，常見(jiàn)的有基于Herts理論的接觸模型、基于DUBOWSKY線(xiàn)性化處理的碰撞模型以及非線(xiàn)性等效彈簧阻尼模型等，但這幾種模型里的接觸參數(shù)均是與系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性無(wú)關(guān)的量.

HUNTER[3]分析了2個(gè)彈性球的碰撞運(yùn)動(dòng)過(guò)程，如圖1所示，質(zhì)量m2的小球以速度v0撞向質(zhì)量m1的小球，推導(dǎo)得撞擊過(guò)程中的最大撞擊力為

最大擠壓量為

式中，

式中，E、ν、R分別為小球的楊氏模量、泊松比和曲率半徑.

對(duì)于圓柱與圓筒碰撞，此時(shí)的α為

由式（2）、式（3）可看出，F(xiàn)m和δm均是與物體相對(duì)碰撞速度有關(guān)的量.文獻(xiàn)[4]通過(guò)對(duì)轉(zhuǎn)子和定子碰撞過(guò)程的線(xiàn)性化處理，并對(duì)比文獻(xiàn)[3]的計(jì)算結(jié)果，得到了兩剛體碰撞的線(xiàn)性當(dāng)量化接觸剛度計(jì)算公式.徐振欽等人[5]將這種碰撞模型引入到火箭武器發(fā)射過(guò)程中的彈管接觸碰撞多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中，得到了較好的計(jì)算結(jié)果.

圖1 兩彈性球相撞

本文采用線(xiàn)性當(dāng)量化的方法，用等效彈簧－阻尼模型來(lái)模擬局部撞擊處的彈性擠壓這一非線(xiàn)性過(guò)程，其中彈簧剛度為K，阻尼系數(shù)為c，線(xiàn)性當(dāng)量化的彈簧－阻尼模型如圖2所示.

圖2 線(xiàn)性當(dāng)量化的彈簧－阻尼模型

當(dāng)彈簧－阻尼系統(tǒng)處于接觸狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

初始條件x1（0）＝0，x2（0）＝0，1（0）＝0，2（0）＝v0，通過(guò)正則化方法計(jì)算得到2個(gè)小球的位移響應(yīng)為

速度響應(yīng)為

式中，

則兩小球在相撞過(guò)程中的相對(duì)距離為

設(shè)tm為碰撞過(guò)程達(dá)到最大擠壓量的時(shí)刻，此時(shí)（tm）＝0，彈簧阻尼系統(tǒng)產(chǎn)生的作用力由彈簧提供，則：

將式（2）和式（3）代入式（8），得線(xiàn)性當(dāng)量化的剛度系數(shù)K為

阻尼系數(shù)的存在導(dǎo)致碰撞前后的能量損失.設(shè)時(shí)刻ts為兩小球碰撞結(jié)束時(shí)刻，則有：

取該分析模型具有物理意義的時(shí)刻，得到：

將式（11）代入式（6），得到兩小球碰撞結(jié)束時(shí)的能量為

用恢復(fù)系數(shù)法求得兩小球碰撞結(jié)束時(shí)的能量為

式中，e為恢復(fù)系數(shù).

2種計(jì)算方法求得的能量值相等，將式（12）和式（13）對(duì)比化解即可得到線(xiàn)性當(dāng)量化后的阻尼系數(shù)為

這與文獻(xiàn)[6]得到的結(jié)果一致.

將式（9）和式（14）代入式（1），取m＝1便可得到用等效線(xiàn)性當(dāng)量化的彈簧－阻尼模型處理的接觸點(diǎn)處的法向接觸力.

從式（3）、式（9）和式（14）可以看出，該接觸碰撞模型的等效接觸剛度、阻尼系數(shù)和穿透深度除了與接觸處的材料參數(shù)有關(guān)外，還與相對(duì)碰撞速度有關(guān)，它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)仿真過(guò)程中是變量.

1.2 摩擦力模型

接觸點(diǎn)的切向相對(duì)運(yùn)動(dòng)分為相對(duì)滑移和粘滯2種情況.接觸滑移狀態(tài)時(shí)可認(rèn)為其摩擦力作用符合庫(kù)倫摩擦定律，即摩擦力大小與法向接觸力大小成正比，而方向與相對(duì)滑移速度方向相反：

式中，F(xiàn)f為接觸處的滑動(dòng)摩擦力；μ（v）為摩擦系數(shù)；接觸點(diǎn)的相對(duì)滑移速度v（δ，，t）≠0.而粘滯狀態(tài)的切向接觸力與靜摩擦系數(shù)有關(guān).接觸點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)量決定這2種狀態(tài)的相互切換.

ADAMS中為了避免數(shù)值計(jì)算中速度方向變化時(shí)出現(xiàn)摩擦力突變，摩擦系數(shù)μ處理為與相對(duì)滑移速度v（δ，t）有關(guān)的變化曲線(xiàn)，其表達(dá)式為

式中，vs和vd分別為粘滯轉(zhuǎn)換速度和動(dòng)靜摩擦轉(zhuǎn)換速度，μs和μd分別為靜摩擦系數(shù)、動(dòng)摩擦系數(shù)，它們與兩接觸物體的材料屬性以及表面粗糙度等因素有關(guān).

2 多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

2.1 虛擬樣機(jī)模型

本文研究的導(dǎo)彈發(fā)射系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，為使仿真模型盡量簡(jiǎn)化而又真實(shí)、合理，將其簡(jiǎn)化為由導(dǎo)彈、發(fā)射筒、制導(dǎo)箱、方向機(jī)、高低機(jī)和發(fā)射基座等主要部分組成的多體系統(tǒng)，各部分之間的拓?fù)潢P(guān)系如圖3所示.

圖3 系統(tǒng)構(gòu)件拓?fù)潢P(guān)系

利用UG建立系統(tǒng)的三維實(shí)體模型，確定構(gòu)件間的初始位置及裝配關(guān)系，并通過(guò)其與ADAMS的通用接口導(dǎo)入，建立虛擬樣機(jī)模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真分析，主要過(guò)程如下.

①整個(gè)系統(tǒng)包括彈體、發(fā)射筒、制導(dǎo)箱、方向機(jī)、高低機(jī)、發(fā)射基座等33個(gè)主要?jiǎng)傮w，包括移動(dòng)副、旋轉(zhuǎn)副、圓柱副等在內(nèi)的31個(gè)運(yùn)動(dòng)約束，包括彈與筒，筒與4個(gè)滑軌，筒與閉鎖器，基座3個(gè)架腿與地面等18個(gè)接觸碰撞力；

②發(fā)動(dòng)機(jī)推力和燃?xì)饬骱笞νㄟ^(guò)實(shí)彈射擊測(cè)得，形成6個(gè)AKISPL樣條函數(shù)；

③方向機(jī)阻尼油的作用特性由一個(gè)作用力矩等效，力矩大小等于阻尼系數(shù)與相對(duì)回轉(zhuǎn)角速度的乘積，力矩方向繞方向機(jī)的回轉(zhuǎn)方向且與其運(yùn)動(dòng)角速度方向相反；

④1個(gè)傳感器監(jiān)測(cè)導(dǎo)彈運(yùn)行過(guò)程，當(dāng)導(dǎo)彈出筒時(shí)暫停仿真，輸出結(jié)果；

⑤不考慮發(fā)射筒、彈體的不平度，不考慮加工誤差引起間隙分布的隨機(jī)性；

⑥不考慮射手在射擊過(guò)程的作用力，即仿真過(guò)程為無(wú)控仿真.

2.2 接觸參數(shù)的確定

該型號(hào)導(dǎo)彈系統(tǒng)的彈體與發(fā)射筒質(zhì)量處于同一數(shù)量級(jí).彈體定位塊與發(fā)射筒的接觸碰撞相當(dāng)于圓柱體與圓筒碰撞，設(shè)δ0為彈筒間隙，導(dǎo)彈半徑為r，發(fā)射筒內(nèi)半徑為R，R＝r＋δ0，則有：

將式（15）分別代入式（3）、式（5）、式（9）和式（14），得導(dǎo)彈與發(fā)射筒接觸碰撞的動(dòng)態(tài)接觸剛度、阻尼系數(shù)和穿透深度.

試驗(yàn)射擊時(shí)，發(fā)射系統(tǒng)置于水泥地面，基座支架腿與地面的接觸面為弧形.因此將水泥地面看成一個(gè)曲率無(wú)窮大、質(zhì)量無(wú)窮大的鋼球，架腿與地面的接觸碰撞相當(dāng)于球形與球形的碰撞，且有：

將式（16）分別代入式（3）、式（4）、式（9）和式（14）得架腿與地面的動(dòng)態(tài)接觸剛度、阻尼系數(shù)和穿透深度.

類(lèi)似地，計(jì)算其它接觸碰撞力.在Adams中，碰撞力的類(lèi)型選用“Solid to Solid”，利用Adams強(qiáng)大的幾何搜索引擎判斷幾何體間的相對(duì)位置關(guān)系，接觸發(fā)生后調(diào)用接觸參數(shù)的計(jì)算程序，計(jì)算法向接觸力和切向摩擦力.

3 動(dòng)力學(xué)仿真分析

影響導(dǎo)彈初始擾動(dòng)的因素很多，如導(dǎo)彈安裝誤差、發(fā)動(dòng)機(jī)推力偏差、導(dǎo)彈的動(dòng)不平衡、初始瞄準(zhǔn)角、回轉(zhuǎn)器阻尼特性等，且許多干擾量都具有隨機(jī)性.為重點(diǎn)研究線(xiàn)性當(dāng)量化的接觸碰撞模型是否能較好地模擬系統(tǒng)的間隙接觸問(wèn)題，這里將各干擾量考慮成固定值，通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到干擾量，并將其代入仿真模型進(jìn)行模型驗(yàn)證.

3.1 仿真模型驗(yàn)證

以0°方向機(jī)初始方位瞄準(zhǔn)角和2.5°高低機(jī)初始高低瞄準(zhǔn)角的常溫、室內(nèi)、無(wú)控發(fā)射作為基本初始條件，彈筒間隙、導(dǎo)彈質(zhì)心偏移、發(fā)動(dòng)機(jī)推力及燃?xì)饬鳑_擊力的軸向分力和徑向偏差采用實(shí)驗(yàn)測(cè)量均值，將前面所述接觸參數(shù)確定的方法代入該導(dǎo)彈發(fā)射系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型中，仿真得到各構(gòu)件的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)曲線(xiàn).將部分仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，列于表1中.表中，vr為導(dǎo)彈出筒速度，t為出筒時(shí)間，ωrx、ωry和ωrz分別為導(dǎo)彈的傾斜角速度、偏航角速度和俯仰角速度，αr、βr和γr分別為導(dǎo)彈的傾斜角、偏航角和俯仰角.表1中，實(shí)驗(yàn)值是多次室內(nèi)常溫?zé)o控發(fā)射實(shí)驗(yàn)所測(cè)得的導(dǎo)彈姿態(tài)的平均值.導(dǎo)彈出筒時(shí)的俯仰角、偏航角為負(fù)值，這表明導(dǎo)彈出筒時(shí)的姿態(tài)為低頭右偏航，“—”表示無(wú)實(shí)測(cè)值.

表1 仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

由表1可知，仿真結(jié)果的導(dǎo)彈出筒姿態(tài)與多次實(shí)驗(yàn)的平均值很接近，說(shuō)明用該模型來(lái)分析系統(tǒng)的動(dòng)特性是可信的.

3.2 溫度對(duì)初始擾動(dòng)的影響

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，發(fā)射溫度的變化會(huì)對(duì)導(dǎo)彈的初始擾動(dòng)產(chǎn)生影響.通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲取燃料燃燒在常溫、低溫和高溫環(huán)境下對(duì)導(dǎo)彈產(chǎn)生的推力，并將實(shí)測(cè)結(jié)果輸入到系統(tǒng)模型中，其它因素保持不變，計(jì)算得到不同溫度下導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)姿態(tài)隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)，如圖4所示.

圖4 3種狀態(tài)下導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)姿態(tài)變化曲線(xiàn)

從圖4可以看出，高溫發(fā)射時(shí)導(dǎo)彈出筒時(shí)間最短，低溫發(fā)射時(shí)出筒時(shí)間最長(zhǎng).相比常溫和高溫狀態(tài)，低溫發(fā)射的導(dǎo)彈出筒傾斜角速度和俯仰角速度最大，偏航角速度更小.相比傾斜角速度和偏航角速度，由于俯仰角速度會(huì)受到導(dǎo)彈重力作用而下落，因此，俯仰角速度是需要重點(diǎn)關(guān)注的指標(biāo).綜合來(lái)看，低溫發(fā)射的初始擾動(dòng)更大.不同溫度造成不同的初始擾動(dòng)，其本質(zhì)為不同溫度下的發(fā)動(dòng)機(jī)推力及推力偏差不同，這和發(fā)動(dòng)機(jī)推力偏差對(duì)導(dǎo)彈出筒擾動(dòng)影響較大的結(jié)論是吻合的.

3.3 初始方位瞄準(zhǔn)角對(duì)初始擾動(dòng)的影響

導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)姿態(tài)隨方向機(jī)初始方位瞄準(zhǔn)角β0大小變化的部分仿真結(jié)果如圖5所示.

其中，0°方位表示2條支架腿朝后且一條支架腿朝發(fā)射方向的布置方式，180°方位與其相反.180°布置方式的出筒傾斜角速度和俯仰角速度均大于0°布置方式.因此，選擇3條支架腿布置方式時(shí)，2支架腿朝后且一條支架腿朝發(fā)射方向的方式更為合理.

同時(shí)，從仿真結(jié)果趨勢(shì)來(lái)看，初始方位瞄準(zhǔn)角在40°～60°之間，導(dǎo)彈俯仰方向初始擾動(dòng)最大，但在360°方位射角內(nèi)，導(dǎo)彈的出筒初始擾動(dòng)幅值沒(méi)有超過(guò)0.2rad/s，滿(mǎn)足控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性要求.

圖5 導(dǎo)彈出筒姿態(tài)隨初始方位瞄準(zhǔn)角的變化曲線(xiàn)

3.4 阻尼器特性對(duì)系統(tǒng)動(dòng)特性的影響

制導(dǎo)箱是整個(gè)發(fā)射系統(tǒng)的重要部件，其運(yùn)動(dòng)特性將直接影響到導(dǎo)彈控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而方向機(jī)的阻尼器是為保證系統(tǒng)穩(wěn)定性而設(shè)計(jì)的.圖6～圖8給出了方向機(jī)、制導(dǎo)箱和發(fā)射筒從導(dǎo)彈開(kāi)始發(fā)射直到運(yùn)動(dòng)收斂至穩(wěn)定時(shí)，各自的角速度曲線(xiàn).圖中ωh為方向機(jī)的回轉(zhuǎn)角速度，ωf為制導(dǎo)箱的俯仰角速度，ωt為發(fā)射筒的俯仰角速度，ch為阻尼器的阻尼系數(shù).

圖6 方向機(jī)回轉(zhuǎn)角速度運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)

圖6表明，方向機(jī)在阻尼器作用下迅速收斂，且改變支架腿與地面的連接方式為固定連接時(shí)，方向機(jī)的初始擾動(dòng)量大大減小.

圖7表明，導(dǎo)彈發(fā)射出筒后，制導(dǎo)箱在初始激勵(lì)下經(jīng)過(guò)了約60ms收斂至0，支架腿與地面的固定連接方式使得制導(dǎo)箱初始擾動(dòng)迅速減小.

同時(shí)，從圖6、圖7的對(duì)比曲線(xiàn)可以看出，阻尼器的阻尼系數(shù)對(duì)收斂速度影響不大，但對(duì)方向機(jī)以及與之相關(guān)的制導(dǎo)箱、發(fā)射筒等的回轉(zhuǎn)角速度大小影響很大.從仿真結(jié)果來(lái)看，為滿(mǎn)足戰(zhàn)術(shù)指標(biāo)要求，阻尼器阻尼系數(shù)在滿(mǎn)足射手舒適性要求的情況下，應(yīng)盡量大于300N·s/rad.

圖7 制導(dǎo)箱俯仰角速度運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)

圖8表明，在初始激勵(lì)下，發(fā)射筒經(jīng)過(guò)了約60ms收斂至0，支架腿與地面的固定連接方式減小了其初始擾動(dòng)，但因?yàn)榛夐g隙的存在，仍然存在一定量的初始擾動(dòng)，但增大了發(fā)射筒的運(yùn)動(dòng)收斂速度，系統(tǒng)穩(wěn)定性更好.

圖8 發(fā)射筒俯仰角速度運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)

圖9給出了支架腿不固定和固定2種情況下，導(dǎo)彈發(fā)射出筒過(guò)程的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)曲線(xiàn).從圖9看到，固定支架腿的連接方式使導(dǎo)彈偏航和俯仰運(yùn)動(dòng)幅值更小，運(yùn)動(dòng)更平穩(wěn).

綜合分析可知，增大架腿與地面的抓力可以增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.實(shí)際戰(zhàn)場(chǎng)運(yùn)用時(shí)，由于有射手作用力的存在，射手利用身體施力于發(fā)射裝置上也會(huì)使得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)減小，穩(wěn)定性更好.

圖9 導(dǎo)彈出筒過(guò)程運(yùn)動(dòng)姿態(tài)曲線(xiàn)

4 結(jié)束語(yǔ)

基于彈性理論，將考慮動(dòng)態(tài)接觸剛度、阻尼系數(shù)和穿透量的接觸變形碰撞模型應(yīng)用于某型號(hào)反坦克導(dǎo)彈發(fā)射系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模中，借助ADAMS軟件得到了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)結(jié)果.仿真結(jié)果基本符合試驗(yàn)結(jié)果，證明了該碰撞模型是有效的.

①不同溫度引起不同發(fā)動(dòng)機(jī)推力偏差，導(dǎo)致導(dǎo)彈初始擾動(dòng)的變化，低溫發(fā)射條件下的初始擾動(dòng)較大.

②初始方位瞄準(zhǔn)角對(duì)導(dǎo)彈初始擾動(dòng)有影響，但仿真結(jié)果都滿(mǎn)足戰(zhàn)技指標(biāo).兩腿朝后的布置方式優(yōu)于兩腿朝前的布置方式.

③方向機(jī)阻尼特性對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性有較大影響，阻尼器阻尼系數(shù)應(yīng)在滿(mǎn)足射手舒適性要求范圍內(nèi)盡可能大于300N·s/rad.

④支架腿與地面的連接方式對(duì)導(dǎo)彈系統(tǒng)的動(dòng)特性有影響，增大支架腿的抓地力能使系統(tǒng)的初始擾動(dòng)較小，穩(wěn)定性增強(qiáng).

通過(guò)對(duì)本文提出的模型進(jìn)行仿真分析，可以得到發(fā)射系統(tǒng)在不同條件下的作戰(zhàn)特性，這對(duì)該型號(hào)的武器系統(tǒng)性能分析和設(shè)計(jì)改進(jìn)具有一定的參考價(jià)值.

[1]王志軍，趙文宣.火箭彈起始擾動(dòng)數(shù)值仿真研究[J].彈道學(xué)報(bào)，1996，8（3）：69－74.WANG Zhi－jun，ZHAO Wen－xuan.Numerical simulation on the initial disturbance of rockets[J].Journal of Ballistics，1996，8（3）：69－74.（in Chinese）

[2]DUBOWSKEY S，DECK J F.On the limitation of predictions of the dynamic response of machines with clearance connections[J].ASME J of Machine Design，1994，116：883－841.

[3]HUNTER S C.Energy absorbed by elastic waves during impact[J].J Mech Phys Solids，1957，5（1）：162－171.

[4]馬建敏，張文，鄭鐵生.轉(zhuǎn)子系統(tǒng)瞬時(shí)撞擊剛度的定量計(jì)算方法[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2003，20（2）：68－71.MA Jian－min，ZHANG Wen，ZHENG Tie－sheng.Quantitative calculation method of instantaneous impact stiffness of rotor system[J].Chinese Journal of Applied Mechanics，2003，20（2）：68－71.（in Chinese）

[5]徐振欽，馬大為，樂(lè)貴高.基于碰撞接觸的彈管多體動(dòng)力學(xué)建模與仿真[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2007，19（5）：965－968.XU Zhen－qin，MA Da－wei，LE Gui－gao.Multibody dynamics modeling and simulation of rocket and launching tube based on contact－impact theory[J].Journal of System Simulation，2007，19（5）：965－968.（in Chinese）

[6]ANAGNOSTOPOULOS S A.Equivalent viscous damping for modeling inelastic impacts in earthquake pounding problems[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics，2004，33（8）：897－902.