簡化滾動軸承變速箱體的顯示動力學(xué)分析

鄭隆龍

（重慶大學(xué)機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400030）

滾動軸承是機(jī)械設(shè)備中承受載荷和傳遞運(yùn)動十分重要的部件，但由于在力傳遞過程中滾動軸承的內(nèi)外圈接觸變形，滾動體的接觸狀態(tài)十分復(fù)雜，很難建立精確的有限元模型，實(shí)現(xiàn)滾動軸承應(yīng)力狀態(tài)的求解。

為準(zhǔn)確地獲得行駛過程中車輛變速箱中的受力狀態(tài)，本文提出了一種滾動軸承的分析方法，考慮了軸承自身的幾何參數(shù)、材料特性，還需考慮軸承載荷、轉(zhuǎn)速、潤滑油等因素。

建模時，將滾動軸承中滾子模擬為彈性元件，連接變速箱齒輪軸和剛性殼體，把計(jì)算的軸承剛度賦予彈性元件。齒輪軸嚙合產(chǎn)生的振動，通過剛性殼體傳遞給變速箱，從而對箱體軸承接觸部位進(jìn)行顯示動力學(xué)分析。

1 滾動軸承的剛度計(jì)算

1.1 滾動軸承的受力分析

在模擬簡化軸承滾子為彈性元件過程中，需要考慮滾動軸承在載荷的作用下產(chǎn)生對應(yīng)的變形，即計(jì)算軸承的剛度（如圖1）。

圖1 軸承徑向載荷作用下的載荷分布

圖中，

Fr為徑向載荷；

δ為軸承內(nèi)外圈的相對位移；

準(zhǔn)i為第i個滾子中心線與徑向載荷方向之間的夾角；

fi為與徑向載荷方向之間夾角為準(zhǔn)i的滾子承受的接觸載荷。

由受力平衡，可得

1.2 根據(jù)Hertz理論計(jì)算接觸變形

軸承在載荷作用下的接觸變形，是滾子和內(nèi)圈之間的彈性變形δ1與滾子和外圈之間的彈性變形δ2之和，即

由圖1所示，在徑向載荷Fr的作用下，由hertz理論，軸承滾動體與內(nèi)外圈接觸區(qū)域?yàn)闄E圓，接觸區(qū)應(yīng)力呈半橢球體分布，用半逆解法并通過積分變換，對線接觸問題給出方程求解[1]。

設(shè)Z為滾子的數(shù)目，r為滾子半徑，R1和R2分別為內(nèi)外圈滾道半徑，E為彈性模量，F(xiàn)r為徑向載荷，滾子和內(nèi)外圈的有效接觸長度為l。

則滾子與內(nèi)圈和外圈的接觸變形分別為

令

則Hertz接觸總變形為

1.3 靜態(tài)Hertz接觸下的軸承剛度

圓柱滾子軸承的剛度，是指在外載荷作用下，軸承內(nèi)外圈在載荷方向上產(chǎn)生的相對位移[3]。即軸承的剛度

則處于靜態(tài)的滾動軸承接觸剛度計(jì)算公式

1.4 滾動軸承的油膜剛度

滾動軸承在實(shí)際運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，由于潤滑油的存在，滾子與內(nèi)圈和外圈接觸的部位分別會有一層油膜，導(dǎo)致了滾動軸承中心實(shí)際的位移發(fā)生改變，同時改變了滾動軸承的剛度。

設(shè)滾子與內(nèi)圈和外圈之間的油膜厚度分別為h1和h2，利用Dowson-Higginson公式計(jì)算，最小油膜厚度分別為[3]

其中，

α為潤滑油粘壓系數(shù)，（1/Pa）；

η0為潤滑油在大氣壓下的動力粘度（Pa·s）；

ni為內(nèi)圈轉(zhuǎn)速；

r為滾子半徑；

R1為內(nèi)圈半徑；

設(shè)

則

所以，滾動軸承的油膜剛度為

1.5 滾動軸承的剛度

綜上可知，滾動軸承的剛度，實(shí)際上為外載作用下同時考慮滾子與內(nèi)外圈的變形和油膜彈性體的變形共同作用的結(jié)果。滾動軸承的剛度是由Hertz理論的接觸剛度和油膜剛度串聯(lián)而成[4]，即

2 有限元分析計(jì)算

2.1 有限元模型的建立

以某公司MF524型變速箱為研究對象，建立其有限元模型。如圖2、圖3所示。

圖2 齒輪箱整體模型

圖3 箱體中齒輪軸模型

MF524有5個齒輪軸，每個齒輪軸通過2個軸承與變速箱箱體相連。

本文主要進(jìn)行箱體軸承接觸部位的動力學(xué)分析，不考慮齒輪軸嚙合應(yīng)力變化，將箱體有限元模型設(shè)為柔性體，齒輪軸模型設(shè)為剛性體。模型建成后共有34萬個柔性單元。軸承簡化模型，一般將滾子設(shè)為一個彈性元件[10]或Gap單元[5]，使?jié)L子兩端與內(nèi)外圈固定相連，但此時軸承不能轉(zhuǎn)動，只能進(jìn)行靜力學(xué)分析。

為了實(shí)現(xiàn)軸承接觸應(yīng)力的顯示動力學(xué)有限元分析，本文將內(nèi)圈固定在齒輪軸上，將滾子簡化為彈性桿，彈性桿的一頭與齒輪軸相連。將外圈簡化為一層剛性殼網(wǎng)格，與彈性桿的另一端相連，如圖4所示。

圖4 模擬軸承示意圖

并且這層殼網(wǎng)格與箱體軸承支撐處接觸，產(chǎn)生相對運(yùn)動。

2.2 模型的約束加載和邊界條件

將變速箱固定在3檔檔位，約束變速箱上下半部接觸部分網(wǎng)格的6個自由度，將其固定；約束齒輪軸5個自由度，使其只能繞軸心轉(zhuǎn)動。將圖中軸承外圈殼體網(wǎng)格與箱體的接觸方式在Hypermesh中用contact_automatic_surface_to_surface。

MF524變速箱最大輸入扭矩為250 N·m，最大輸入轉(zhuǎn)速為6 500 r/min。輸入初始力矩為0，在0.2 s后扭矩勻速加載到150 N·m，無阻力矩。計(jì)算時長為0.2 s，步長為200。將齒輪軸擋位調(diào)到3檔處，扭矩加載在變速箱與發(fā)動機(jī)鏈接軸，即第三軸，輸入的初始轉(zhuǎn)速為3 000 r/min。

根據(jù)輸入軸的轉(zhuǎn)速和各個嚙合齒輪的傳動比，計(jì)算出各個軸的轉(zhuǎn)速。已知MF524是由GCr15軸承鋼制造，

彈性模量E=2E11，

油的粘度η0=0.02 Pa·s，

粘壓系數(shù)α=2.3×10-8Pa-1，

再由軸承滾子數(shù)量和尺寸Dw、l，可求得每個軸承的A、B、C的值，代入式（11），計(jì)算出軸承剛度，將此剛度賦予彈性桿。

由式（11）可以計(jì)算出變速箱中10個軸承的剛度，圖（3）中齒輪軸從左至右分別為1～4軸，后方為5軸，如表1所示。

表1 軸承參數(shù)及計(jì)算剛度

3 分析結(jié)果及討論

利用顯式動力分析程序ls-dyna進(jìn)行計(jì)算。變速箱箱體的最大應(yīng)力，一般分布在主軸軸承與箱體的接觸部分，或者幾何形狀突變的部位。分別在主軸的兩個軸承與上下箱體的接觸部分選取測點(diǎn)，導(dǎo)出應(yīng)力圖。

圖5 變速箱體與主軸軸承4個測點(diǎn)分布與von mises stress

圖6 變速箱體與主軸軸承3個測點(diǎn)分布與von mises stress

而實(shí)際仿真結(jié)果，如圖7所示，變速箱體的高應(yīng)力區(qū)域主要集中在主軸、即輸入軸軸承接觸部分的箱體附近。

圖7 變速箱箱體von mises stress分布圖

圖8 軸承滾子接觸應(yīng)力圖

觀測變速箱齒輪轉(zhuǎn)速的變化情況（如圖9所示）。

圖9 主軸外圈線速度

由分析結(jié)果可知，變速箱體的應(yīng)力隨齒輪軸旋轉(zhuǎn)成周期變化，齒輪軸旋轉(zhuǎn)越快，箱體應(yīng)力越大。箱體主軸軸承附近承載了較大的應(yīng)力。而滾子軸承的應(yīng)力，主要集中在滾體與內(nèi)圈接觸的位置，與文獻(xiàn)相符[5]。

4 結(jié)束語

針對圓柱滾子軸承的特點(diǎn)，通過力學(xué)分析，考慮彈性流體對軸承剛度的影響，得出了滾動軸承的剛度的理論計(jì)算方法。軸承的剛度由接觸剛度和油膜剛度串聯(lián)而成，與軸承的材料、尺寸、轉(zhuǎn)速、油膜性質(zhì)等相關(guān)，表現(xiàn)出非線性變化。

變速箱體受力最大的區(qū)域，在主軸軸承附近，而軸承的主要應(yīng)力分布區(qū)域，主要集中在內(nèi)圈和軸承接觸的部分。由仿真結(jié)果可知，軸承附近的箱體最大應(yīng)力約為105 MPa。

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