基于偏微分方程去躁的磁共振電阻抗成像

李小霞， 王澤文， 何碧琴

(東華理工大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，江西南昌 330013)

基于偏微分方程去躁的磁共振電阻抗成像

李小霞， 王澤文*， 何碧琴

(東華理工大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，江西南昌 330013)

介紹了醫(yī)學(xué)成像技術(shù)中磁共振電阻抗成像(MREIT)的數(shù)學(xué)模型和調(diào)和Bz算法。為克服調(diào)和Bz算法的不適定性，提出了一種偏微分方程去躁方法對(duì)Bz的躁聲數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪。結(jié)合截?cái)嗥娈愔捣纸?TSVD)正則化方法，給出了基于Matlab偏微分方程工具箱的磁共振電阻抗成像的數(shù)值算法。用兩個(gè)數(shù)值模擬算例驗(yàn)證了算法的有效性。

不適定問題;磁共振電阻抗成像;栯圓型方程反問題;偏微分方程;圖像去噪

磁共振電阻抗成像(Magnetic Resonance Electrical Impedance Tomography，簡(jiǎn)稱MREIT)是近20年來(lái)出現(xiàn)的一種新型醫(yī)學(xué)成像技術(shù)，它是電阻抗斷層成像(Electrical Impedance Tomography，簡(jiǎn)稱EIT)技術(shù)和磁共振成像(Magnetic Resonance Imaging，簡(jiǎn)稱MRI)的融合。目前，這一新型的成像技術(shù)無(wú)論是在算法和數(shù)學(xué)理論上，還是在實(shí)驗(yàn)上均處于研究發(fā)展階段。

早期MREIT成像算法主要是基于電流密度的迭代算法，具有代表性的有電流密度替代算法(Kwon et al，2002a，Khang et al，2002)、等電位法(Kwon et al，2002b)和CCVSR算法(Eyuboglu et al，2003)等。這些方法均需要磁感應(yīng)強(qiáng)度B=(Bx，By，Bz)在三個(gè)坐標(biāo)方向的所有測(cè)量數(shù)據(jù)，為獲得這些測(cè)量數(shù)據(jù)則需要在MRI掃描儀中旋轉(zhuǎn)待成像的物體，這在實(shí)際醫(yī)學(xué)臨床上是不現(xiàn)實(shí)的。為此，Seo等(2003)提出了一種不需要對(duì)生物體進(jìn)行三維旋轉(zhuǎn)，只需要主磁場(chǎng)方向上的分量Bz的電阻抗重構(gòu)算法。因?yàn)樵摲椒ㄔ诘杏玫溅z，故稱為調(diào)和Bz算法。隨后，Oh等(2003)對(duì)該方法進(jìn)行了改進(jìn)，根據(jù)求得的▽?duì)依梦粍?shì)方法來(lái)反演出電導(dǎo)率σ，由此調(diào)和Bz算法的抗噪性能得到了一定程度的提高。調(diào)和Bz算法的提出，因?yàn)樗恍枰獙?duì)生物體進(jìn)行三維旋轉(zhuǎn)，從而為MREIT的實(shí)際臨床應(yīng)用提供了可能。因此，調(diào)和Bz算法引起了廣泛的關(guān)注。由此，也發(fā)展出了許多基于Bz數(shù)據(jù)的算法和實(shí)驗(yàn)方案，其中典型的代表有梯度Bz算法(Park et al，2004)、局部調(diào)和Bz算法(Seo et al，2008;Jeon et al，2010)等。

本研究首先給出了磁共振電阻抗成像的數(shù)學(xué)模型，利用位勢(shì)理論的方法來(lái)重建電阻率。其次，提出了一種新的偏微分方程去噪方法對(duì)Bz數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪，結(jié)合截?cái)嗥娈愔嫡齽t化方法給出了磁共振電阻抗成像的算法，從而改善了算法的不適定性，提高了電阻率成像的分辨率。這是本研究的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)。最后，給出了基于Matlab偏微分方程工具箱的數(shù)值模擬方案，同時(shí)給出了兩個(gè)數(shù)值模擬例子來(lái)驗(yàn)證所給算法的有效性。

1 磁共振電阻抗成像的數(shù)學(xué)模型

眾所周知，生物體內(nèi)的電流分布決定于生物體內(nèi)部的電導(dǎo)率，在后面的敘述中，稱生物體為目標(biāo)體，通過表面電極給目標(biāo)體輸入電流，從而產(chǎn)生電流J=(Jx，Jy，Jz)和磁感應(yīng)強(qiáng)度B=(Bx，By，Bz)。根據(jù)它們之間的物理關(guān)系，可建立磁共振電阻抗成像的數(shù)學(xué)模型(Wang et al，2009，陳群等，2009，Liu et al，2007)，從而重建目標(biāo)體內(nèi)部的電導(dǎo)率分布。

設(shè)Ω表示待成像目標(biāo)體在三維空間R3中的有界開區(qū)域，且其邊界?Ω是光滑的。記Ωz0:=Ω∩{z=z0}，且設(shè)Ωz0具有光滑的邊界。假設(shè)Ω內(nèi)的電導(dǎo)率σ(r)，r=(x，y，z)是各向同性的。在目標(biāo)體的表面邊界?Ω上安置正負(fù)電極ε+和ε－，輸入電流I，則在 Ω 內(nèi)部產(chǎn)生了電流密度J=(Jx，Jy，Jz)，且滿足

其中n是?Ω上的外法線方向，▽是梯度算子。因?yàn)槟繕?biāo)體內(nèi)部的電流J(r)、電位u(r)、電導(dǎo)率σ(r)三者之間滿足安培定律J(r)=－σ(r)▽u(r)，所以(1)式可以表示成橢圓型方程的邊值問題。

眾所周知，磁共振電阻抗成像的調(diào)和Bz算法是不適定的。不適定問題是應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容(張小明等，2009;葛美寶等，2006)。調(diào)和Bz算法的不適定性主要表現(xiàn)在以下兩方面:一是在求解方程(7)之前，需計(jì)算右端項(xiàng)ΔBz，即需要由Bz的噪聲數(shù)據(jù)計(jì)算其二階偏導(dǎo)數(shù)，這是個(gè)嚴(yán)重的不適定問題;二是方程(7)中系數(shù)矩陣A也是近似奇異的(Seo et al，2008)，即該方程是個(gè)不適定的線性方程組。對(duì)于第一個(gè)不適定性，將提出一種偏微分方程去噪模型來(lái)處理帶有噪聲的Bz數(shù)據(jù)，從而克服計(jì)算ΔBz的不適定性;對(duì)于第二個(gè)不適定性，采用截?cái)嗥娈愔嫡齽t化方法來(lái)求解方程(7)。由于截?cái)嗥娈愔嫡齽t化方法是個(gè)成熟的算法且很容易在相關(guān)文獻(xiàn)中找到，故不再列出。

2 基于偏微分方程的去躁方法

Lee et al.(2005)提出了一種高斯曲率驅(qū)動(dòng)的偏微分方程的圖像去噪模型。但是，在數(shù)值模擬時(shí)發(fā)現(xiàn)該去噪模型的收斂速度比較慢。為此，結(jié)合文Song(2003)中提出了一種基于L1+ε(0＜ε＜1)范數(shù)的自適應(yīng)TV去噪模型ut=▽·(|▽u|p－2▽u)－λ(u－u0)，1＜p＜2，提出一種新的偏微分方程去噪模型:

3 基于Matlab的數(shù)值模擬方案

Matlab軟件的偏微分方程工具箱(PDE Toolbox)提供了一個(gè)研究和求解二維偏微分方程問題的強(qiáng)大而又靈活的環(huán)境。PDE Toolbox求解的基本方程有橢圓型方程，拋物線方程，雙曲線特征方程，橢圓型方程組以及非線性橢圓方程。為了進(jìn)行數(shù)值模擬，本文利用偏微分工具箱求解磁共振電阻抗成像正問題，從而獲得測(cè)量數(shù)據(jù)。為此，需進(jìn)一步在二維空間對(duì)共振電阻抗成像的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析研究。二維空間中的磁共振電阻抗成像模型是三維空間中的無(wú)限長(zhǎng)柱體模型的簡(jiǎn)化，即Ω:=D×R1，其中D∈R2，進(jìn)一步假設(shè)Ω中的電導(dǎo)率和注入的電流I與z軸均無(wú)關(guān)。

4 數(shù)值模擬

在二維空間的有界域D=［－1，1］×［－1，1］上，取q=2，利用算法2進(jìn)行數(shù)值模擬，也就是在三維空間中Ω的一個(gè)切片上進(jìn)行數(shù)值模擬。為了驗(yàn)證此算法的穩(wěn)定性，給Bz數(shù)據(jù)加上噪聲數(shù)據(jù)

例1 真實(shí)電導(dǎo)率圖像為“6”和“8”兩個(gè)數(shù)字，見圖1a。計(jì)算結(jié)果見圖2～3。

算例1中，給出了數(shù)字“68”的真實(shí)電導(dǎo)率圖像(圖1a)和無(wú)噪聲下電導(dǎo)率的重建圖像(圖1b)，當(dāng)加入噪聲水平為δ=0.005時(shí)，電導(dǎo)率的重建圖像為圖2。當(dāng)加入噪聲水平為δ=0.01時(shí)，電導(dǎo)率的重建圖像為圖3。重建電導(dǎo)率圖像的效果表明:提出的基于偏微分方程去噪的重建算法消除了高頻噪聲的影響，很好的保持了圖像的邊緣，得到了更好的電導(dǎo)率重建效果圖。

例2 醫(yī)學(xué)圖像“OK”手形的電導(dǎo)率重建，給定一幅人的“OK”手形的X光射線圖像，如圖4a，計(jì)算結(jié)果見圖5和圖6。

在算例2中，給出了“OK”手形的真實(shí)電導(dǎo)率圖像(圖4a)和無(wú)噪聲下電導(dǎo)率的重建圖像(圖4b)。當(dāng)加入噪聲水平為δ=0.005時(shí)，電導(dǎo)率的重建圖像為圖5。當(dāng)加入噪聲水平為δ=0.01時(shí)，電導(dǎo)率的重建圖像為圖6。同樣，可以看出經(jīng)偏微分方程去噪后，重建的電導(dǎo)率圖像分辨率更高，且很好地保持了圖像的邊緣。

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Magnetic Resonance Electrical Impedance Tomography Based on PDE-based Noise Removal

LI Xiao-xia， WANG Ze-wen， HE Bi-qin
(Department of Mathematics，School of Science，East China Institute of Technology，Nanchang，JX 330013，China)

In this study，the reconstruction algorithm of magnetic resonance electrical impedance tomography is studied.First，we introduce the mathematical model of magnetic resonance electrical impedance tomography and the harmonic BZalgorithm.In order to overcome the ill-posedness of the harmonic BZalgorithm，a PDE-based denoising technique is proposed to process the noise data of BZ.Then，combining with the truncate singular value decomposition regularization method，an algorithm of magnetic resonance electrical impedance tomography based on the Matlab PDE-tool is developed.Finally，two numerical examples are presented to verify the efficiency of the algorithm.

ill-posed problem，magnetic resonance electrical impedance tomography，inverse problems for elliptic equations，partial differential equation，image denoising

O24

A

1674-3504(2012)01-094-07

李小霞，王澤文，何碧琴.2012.基于偏微分方程去躁的磁共振電阻抗成像［J］.東華理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，35(1):94-100.

Li Xiao-xia，Wang Ze-wen，He Bi-qin.2012.Magnetic Resonance Electrical Impedance Tomography Based on PDE-based Noise Removal［J］.Journal of East China Institute of Technology(Natural Science Edition)，35(1):94-100.

10.3969/j.issn.1674-3504.2012.01.014

2011-08-29 責(zé)任編輯:張國(guó)慶

國(guó)家自然科學(xué)基金(10861001);江西省自然科學(xué)基金(2009GZS0001，2010GZS0010)

李小霞(1987—)，女，碩士生，研究方向:數(shù)學(xué)物理反問題。

*通訊作者:王澤文.E-mail:zwwang@ecit.cn