新的格子Bhatnagar-Gross-Krook模型求解修正的Burgers方程

高 云， 樂(lè)勵(lì)華

(東華理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西撫州 344000)

新的格子Bhatnagar-Gross-Krook模型求解修正的Burgers方程

高 云， 樂(lè)勵(lì)華

(東華理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西撫州 344000)

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值模擬方法求解偏微分方程得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。格子Boltzmann方法是一種新型的模擬方法，由于該方法具有計(jì)算效率高、邊界條件容易處理、完全并行性等獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)，使得它具有廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域。利用格子Bhatnagar-Gross-Krook模型來(lái)求解修正的Burgers方程，首先用該方法正確的恢復(fù)了宏觀方程，然后數(shù)值模擬了兩個(gè)具有解析解的修正Burgers方程。把模擬解與解析解進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)數(shù)值解與解析解和前人研究中的數(shù)值解都吻合很好。

格子BGK模型;修正的burgers方程;數(shù)值解

高云，樂(lè)勵(lì)華.2012.新的格子Bhatnagar-Gross-Krook模型求解修正的Burgers方程［J］.東華理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，35(1):89-93.

GaoYun，Le Li-hua.2012.A New Lattice Bhatnagar-Gross-Krook Model for the Modified Burgers’Equation［J］.Journal of East China Institute of Technology(Natural Science Edition)，35(1):89-93.

本研究考慮的修正burgers方程為

其中Re是描述粘性系數(shù)v(=1/Re)的Reynolds數(shù)。

修正的burgers方程是重要的非線性對(duì)流擴(kuò)散方程。Bateman(1915)第一次提出burgers方程，之后，很多學(xué)者作了進(jìn)一步的研究和發(fā)展。近年來(lái)，修正的burgers方程被應(yīng)用于實(shí)際的輸運(yùn)問(wèn)題中，例如湍流、波在熱彈性介質(zhì)中的傳播、河流和沉淀物中污染物的運(yùn)輸和散射、低頻吸收的媒介中非線性波的傳播等。許多學(xué)者一直在構(gòu)造修正burgers方程的高效數(shù)值方法。Irk(2009)采用六次樣條函數(shù)的配置方法、Bratsos(2010)用有限差分方法、Ramadan(2005a)采用五次樣條插值的配置方法來(lái)求解修正burgers方程。

格子Boltzmann方法在模擬流體復(fù)雜的物理問(wèn)題時(shí)是一種有效的方法。與傳統(tǒng)的計(jì)算方法相比，該方法具有許多獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，如計(jì)算效率高、邊界條件容易處理、具有完全并行性等。格子Bhatnagar-Gross-Krook(BGK)模型是目前格子Boltzmann方法研究和應(yīng)用的主要模型之一，已經(jīng)在多孔介質(zhì)流(Xu et al.，2004)、血液流(Fang et al.，2004)、多相流(Hou，1997)等領(lǐng)域取得了很大的成功。由于格子Boltzmann方法的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，目前，該方法正逐步應(yīng)用于模擬非線性系統(tǒng)，如對(duì)流擴(kuò)散方程(Shi et al.，2009，2010)，反應(yīng)擴(kuò)散方程(Chen et al.，1995)，泊松方程(Chai et al.，2008)，KdV方程(Chai et al.，2008)等。

本文在基于格子BGK模型和Chapman-Enskog展開(kāi)的基礎(chǔ)上來(lái)求解方程(1)，發(fā)現(xiàn)數(shù)值解與解析解和其它模型的數(shù)值解都吻合很好。

1 格子BGK模型

使用Qian等(1992)提出的D1Q3模型，該格子BGK模型分布函數(shù)的演化方程為:

盡管，閻廣武等(1999)應(yīng)用多尺度展開(kāi)技術(shù)，通過(guò)選擇平衡態(tài)分布函數(shù)的高階矩的格子Boltzmann方法研究了Burgers’方程，對(duì)于一維模型，將速度離散成4個(gè)方向，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)與相鄰近的4個(gè)節(jié)點(diǎn)相連，即D1Q4模型。Duan等(2008)針對(duì)該方程提出2-bit模型，即D1Q2模型，將速度離散成2個(gè)方向，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)與相鄰近的2個(gè)節(jié)點(diǎn)相連，通過(guò)Taylor展開(kāi)和多尺度分析，從格子Boltzmann方程恢復(fù)了Burgers’方程。但是，對(duì)于Burgers’方程本研究選取D1Q3模型，介于即D1Q4模型與D1Q2模型之間，本研究模型更簡(jiǎn)單，精度也更高。

2 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證D1Q3格子BGK模型的有效性，模擬了修正 Burgers方程。在模擬中，使用了 Guo等(2002)提出的非平衡態(tài)外推方法來(lái)處理邊界條件。為了檢驗(yàn)數(shù)值方法的有效性，誤差定義為:

在模擬中，選取 α=0.9，Δx=0.005，Δt=0.01。表1給出數(shù)值模擬結(jié)果與解析解的比較，從中可以看出數(shù)值解與解析解和 Ramadand等(2005b)模擬的解差別很小。表2顯示了誤差的比較，可以看出本文的誤差較小。表3給出了不同粘性系數(shù)v的誤差，v越小的，誤差越小。因此，格子BGK模型更適合小的粘性系數(shù)v。另外，還模擬了v=0.001和v=0.000 5兩種情況(圖1，圖2)，從圖中可以看出數(shù)值解和解析解非常吻合。

表1 數(shù)值解與解析解的比較在v=0.001，t=4.0Table 1 Comparison of numerical solution and analytic solution while v=0.001，t=4.0

表2 v=0.001，Δx=0.005，Δt=0.01時(shí)誤差比較Table 2 Error comparison while v=0.001，Δx=0.005，Δt=0.01

表3 不同粘性系數(shù)v的誤差比較Table 3 Error comparison of different v of viscosity coefficient

選取Δx=0.01，Δt=0.01，α=0.1，v=0.005進(jìn)行模擬。然后將所得的數(shù)值結(jié)果與其它文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行L2，L∞誤差比較(表4)。發(fā)現(xiàn)格子BGK模型的誤差更小。圖3顯示了粘性系數(shù)時(shí)的數(shù)值結(jié)果。圖4顯示了數(shù)值解與解析解的誤差情況。

表4 v=0.004在不同時(shí)間的誤差比較Table 4 Error comparison with different time while v=0.004

4 結(jié)語(yǔ)

本研究在基于格子BGK模型的基礎(chǔ)上，對(duì)修正的Burgers方程進(jìn)行了數(shù)值模擬。發(fā)現(xiàn)本文模擬的數(shù)值結(jié)果和方程的解析解吻合很好。由于采用D1Q3模型，將速度離散成3個(gè)方向，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)與相鄰近的3個(gè)節(jié)點(diǎn)相連，簡(jiǎn)化了算法的同時(shí)，也減少了誤差。同時(shí)，也與以前文獻(xiàn)的結(jié)果也進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)本研究的誤差更小。對(duì)模型穩(wěn)定性分析是下一步工作的目標(biāo)。

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A New Lattice Bhatnagar-Gross-Krook Model for the Modified Burgers’Equation

GAO Yun， LE Li-hua
(Dept.of Mathematics＆Information Science，East China Institute of Technology，F(xiàn)uzhou，JX 344000，China)

The methods of numerical simulation are applied widely with the development of computer technology.The lattice Boltzmann method has a more wide application owing to its high computing efficiency，easier processed boundary conditions，and parallel computation.In this study，the Bhatnagar-Gross-Krook model is used to solve the modified Burgers’equation.First，the macroscopic equation is recovered with this model.Then，the two modified Burgers’equations with analytical solutions are numerical simulated.Results show numerical simulation and analytical solutions match well with numerical simulation of previous publication.

LBGK model;modified burgers’equation;numerical solution

O24

A

1674-3504(2012)01-089-05

10.3969/j.issn.1674-3504.2012.01.013

2011-09-18 責(zé)任編輯:張國(guó)慶

高 云(1986—)，女，碩士生，研究方向:微分方程。E-mail:gaoyun1986@126.com