擬Lorenz方程在周期擾動下的奇怪吸引子*

吳 萃， 陳 艷， 陳鳳娟

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華 321004)

0 引言

在周期擾動方程的研究中，由同宿纏結(jié)產(chǎn)生的奇怪吸引子是一種復(fù)雜的動力學(xué)現(xiàn)象，它在混沌理論的研究中占據(jù)著重要的地位．過去，人們常用Melnikov方法判斷橫截同宿點的存在，從而得到Smale馬蹄，這樣就從理論上證明了系統(tǒng)的混沌性．但是Smale馬蹄不能通過數(shù)值方法模擬出來，因為馬蹄的吸引域為零Lebesgue測度集．1976年，在對Hénon映射的研究中，通過數(shù)值方法模擬出混沌吸引子，即Hénon吸引子［1］，它是一種SRB測度下的混沌現(xiàn)象［2-5］．近年來，文獻［6-8］對二維同宿纏結(jié)理論作了系統(tǒng)的研究，通過SRB測度建立了混沌理論結(jié)果與數(shù)值模擬之間的橋梁．

二維周期擾動方程為

式(1)中:0 ＜β ＜α;μ 是小參數(shù);f(x，y)，g(x，y)，P(x，y，t)，Q(x，y，t)是(x，y)的高階項;P(x，y，t)，Q(x，y，t)是周期為T的時間周期函數(shù)．定義方程(1)的 Melnikov函數(shù)［7］為

式(2)中:l(s)表示未擾動方程(即μ=0)的同宿軌;τ⊥l(s)表示同宿軌在s時刻切向量的單位法向量;E(s)表示法向擴張率．若點(0，0)為未擾動方程的耗散鞍點，且存在同宿到該耗散鞍點的一個同宿解，則當(dāng) Melnikov函數(shù) M(θ)是 Morse函數(shù)時，有以下結(jié)論［7］:

1)當(dāng)參數(shù)μ→0時，存在無窮多個互不相交的μ開區(qū)間，使得同宿纏結(jié)Λμ拓撲共軛于無窮符號的馬蹄;

2)當(dāng)參數(shù)μ→0時，存在無窮多個互不相交的μ開區(qū)間，使得同宿纏結(jié)Λμ是由一個吸引的周期軌和無窮符號的馬蹄構(gòu)成;

3)當(dāng)參數(shù)μ→0時，存在一個μ的正Lebesgue測度集，使得同宿纏結(jié)Λμ出現(xiàn)SRB測度意義下的似Hénon吸引子．

當(dāng)參數(shù)μ→0時，上述3類現(xiàn)象在區(qū)間［μi+1，μi)上形成一個固定的動力學(xué)模式，這個模式呈現(xiàn)一定的周期性，周期為

式(3)中:β是方程(1)的不穩(wěn)定特征值;T是擾動周期．

若未擾動方程存在2個同宿到耗散鞍點(0，0)的同宿解，則存在3類奇怪吸引子:周期匯、似Hénon吸引子和具有隨機性質(zhì)的秩一吸引子［8-10］．這3類奇怪吸引子組成的動力學(xué)模式也呈現(xiàn)周期性，周期由式(3)決定．

本文研究一類三維擬Lorenz周期擾動方程．?dāng)MLorenz方程在研究光在液晶介質(zhì)中的傳播具有重要的應(yīng)用［11］，它存在一個耗散鞍點，這個耗散鞍點具有一維不穩(wěn)定流形和二維穩(wěn)定流形．首先通過數(shù)值模擬找到該方程存在2個同宿解的粘合分支值;然后數(shù)值模擬周期擾動方程，得到3類奇怪吸引子:周期匯、似Hénon吸引子和秩一吸引子．本文的結(jié)果是二維同宿纏結(jié)理論在三維方程中的應(yīng)用和推廣．

1 擬Lorenz周期擾動方程的奇怪吸引子

擬Lorenz方程為

式 (4)中，β，α，δ和ε是參數(shù)．方程(4)對研究液晶對光傳播的影響具有重要意義，它揭示了液晶特有的物理與光學(xué)性質(zhì)．

首先，點O(0，0，0)是方程(4)的不動點．隨著參數(shù)的變化，方程(4)出現(xiàn)粘合分支，它是通向混沌的一種新途徑［12］．由文獻［11］知，當(dāng) β =1．8，α =1．5，δ=-0．07，ε =0．076 071 時，方程(4)出現(xiàn)第1 次粘合分支，此時方程 (4)存在2個同宿到不動點O(0，0，0)的同宿解，如圖1所示．

圖1 方程(4)在 β =1．8，α =1．5，δ=-0．07，ε =0．076 071 148 687 時的2 個同宿解

方程(4)的周期擾動方程為

式(5)中，μ 和 ω 是參數(shù)．易知，當(dāng) β ＞1，α ＞0時，O(0，0，0)是方程(4)的耗散鞍點，特征值分別為

2 數(shù)值結(jié)果

2．1 模擬過程

1)對于方程(4)，首先固定參數(shù)(β，α，δ)=(1．8，1．5，-0．07)．通過4 階龍格-庫塔法和 C++語言模擬過初始點(x0，y0，z0)=(0．01，0，0)的解，得到方程(4)存在2個同宿解的第1次粘合分支值 ε=0．076 071 148 687．由于數(shù)值模擬中擾動參數(shù)μ的精度達到10-8，因此ε的精度為10-12，如圖1所示．

2)固定μ值，讓初始時刻t0在區(qū)間［0，1)上變化，步長為Δt0=0．001．即對固定的μ值，模擬方程(5)的1 000個解．

2．2 數(shù)值結(jié)果

令ω=2π，對充分小的μ值有如下結(jié)果:

1)秩一吸引子．圖2為參數(shù)μ=1．211×10-4，t0=0時的秩一吸引子．其中圖2(a)是方程(5)的三維相圖，圖2(b)是三維相圖在x-y平面上的投影，圖2(c)是變量x的時間序列，圖2(d)是x(k)的傅立葉頻譜．

2)似Hénon吸引子，如圖3所示．似Hénon吸引子是SRB測度意義下的混沌吸引子，它表示周期解附近的混沌動力學(xué)．通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)方程(5)存在2類似Hénon吸引子，即雙邊似Hénon吸引子和單邊似Hénon吸引子．圖4表示單邊似Hénon吸引子．

3)周期匯，如圖5所示．周期匯表示方程(5)出現(xiàn)穩(wěn)定的動力學(xué)．由圖5(c)可見，此時方程(5)出現(xiàn)吸引的周期軌．圖5(b)是圖5(a)在x-y平面上的投影．類似于2類似Hénon吸引子，方程(5)同樣存在2類周期匯:雙邊周期匯和單邊周期匯(如圖6所示)．

隨著μ的變化，所有的數(shù)值結(jié)果如表1所示．由ω=2π可知，方程(5)的擾動周期為T=2π/ω=1．因此，μ 的理論周期為 eβT=e1．8≈6．049 6．表1 中“似 Hénon 吸引子(2)”表示雙邊似 Hénon 吸引子(見圖3)，而“似Hénon吸引子(1)”表示單邊似Hénon吸引子(見圖4)．同理，“周期匯(2)”表示雙邊周期匯，“周期匯(1)”表示單邊周期匯．

表1 方程(5)關(guān)于擾動參數(shù)μ的動力學(xué)模式周期性

續(xù)表1

3 結(jié)語

本文研究了一類三維擬Lorenz周期擾動方程．?dāng)MLorenz方程在研究光在液晶介質(zhì)中的傳播具有重要的應(yīng)用，反映光在傳播中的復(fù)雜的動力學(xué)現(xiàn)象．該方程存在一個耗散鞍點，這個耗散鞍點具有一維不穩(wěn)定流形和二維穩(wěn)定流形．首先通過數(shù)值模擬找到該方程存在2個同宿解的粘合分支值;然后數(shù)值模擬周期擾動方程，得到3類奇怪吸引子:周期匯、似Hénon吸引子和秩一吸引子．本文結(jié)果是二維同宿纏結(jié)理論在三維方程中的應(yīng)用和推廣．

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