基于變分偏微分方程的雙參數(shù)圖像去噪模型

胡曉紅，陳大卿

(重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院，重慶400065)

0 引言

在圖像的獲得、傳輸和存儲過程中，由于受多種原因影響，圖像質(zhì)量會有所下降，典型表現(xiàn)為圖像含有噪聲、模糊等。而在眾多的應(yīng)用領(lǐng)域，需要清晰的、高質(zhì)量的圖像，在這種情況下，圖像恢復(fù)技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生。圖像恢復(fù)的目的是消除或者減輕圖像獲取和傳輸過程中所發(fā)生的品質(zhì)退化現(xiàn)象，逼近沒有退化的理想圖像，提高圖像視覺效果。

設(shè)Ω?R2為一有界開集，是圖像的定義域。u:Ω→R為實(shí)際原始真實(shí)圖像，u0為退化圖像，則圖像退化過程一般可描述為［1］(1)式中:η為噪聲;T為表示確定性退化的算子。圖像恢復(fù)就是要盡可能降低或消除觀察圖像u0中的失真，得到一個高質(zhì)量圖像。一般來說，這個問題是病態(tài)的［2］，即由(1)式中的u0所解出的u不能保證它的存在性、唯一性及穩(wěn)定性。

近年來，利用變分正則化方法研究圖像恢復(fù)問題得到了許多重要模型和方法，其中最典型的是Rudin，Osher and Fatemi［3－4］提出的全變差(TV)正則化模型，也稱為ROF模型，該模型在圖像恢復(fù)中得到了成功應(yīng)用。典型例子是如下正則化模型

(2)式中:第一項是忠誠項，保證恢復(fù)的圖像u保留觀察圖像u0的主要特征;第二項是正則項，保證圖像恢復(fù)光Δ滑，以去除噪聲，同時保證極小化問題是良態(tài)的;為梯度算子;λ0為尺度參數(shù)，平衡忠誠項與正則項的作用。該模型在u∈W1，2中存在唯一解，且滿足 Euler－Lagrange 方程

(3)式中，Δ為Laplace算子。通過最速下降法，可導(dǎo)出偏微分方程初邊值問題為

1 雙參數(shù)的變分模型

問題(4)中的Laplace算子具有各項同性的光滑性，因此該模型對均勻區(qū)域來講，能夠很好地去除噪聲，但同時磨光了邊緣等性質(zhì)，不利于計算機(jī)視覺等應(yīng)用。我們改進(jìn)了上面的模型，采用雙參數(shù)形式給出下列泛函

(5)式中:u ∈ W1，2={u ∈ L2(Ω); Δ∈(L2(Ω))2}，λ0，β0。利用極小極大原理中的引理1，我們可以證明定理1。

引理1［5］設(shè) f滿足(H1):f(x，u，ξ)≥ a(x)+，其中，ξ為向量形式的含參變量;(H2):ξ→f(x，u，ξ)是凸的;(H3):?u0∈W1，p(Ω)，使得 F(u0)+∞ ，則∫Ωf(x，u，Δu)dx}存在一個解，當(dāng)且僅當(dāng)f(x，u，ξ)關(guān)于u，ξ是嚴(yán)格凸時，解是唯一的。

定理1的證明 設(shè)J(u)=∫Ωf(u，Δu)dx，則

所以f關(guān)于ξ為嚴(yán)格凸函數(shù)。由于

由(5)式有

根據(jù)泛函一階變分為零達(dá)到極小值，即

可以導(dǎo)出下列偏微分方程

這是基于變分法的雙參數(shù)去噪模型，該方程等價于能量函數(shù)的最陡下降，即將圖像視為一個空間和時間函數(shù)

2 雙參數(shù)的變分模型的數(shù)值算法

對于大部分的偏微分方程的定解問題很難有顯式計算格式，即使存在也往往很復(fù)雜。因此我們用差分方法來近似求解(12)式。對于的散度形式可進(jìn)行如下化簡

在二維圖像坐標(biāo)系下，(14)式可選取時間步長為Δt，網(wǎng)格步長為h=1?？梢噪x散為

從迭代式(16)可見，在每一步的循環(huán)中都使用了噪聲圖像u(0)，它包含了關(guān)于原始奇異特征和跳躍邊緣的重要信息，這就使得圖像中內(nèi)在的奇異性不會隨著循環(huán)的增加而逐漸消失。(16)式中，當(dāng)λ =0時，得到

u(n)=u(n－1)+ Δt·

(18)式中，σ2為圖像的噪聲方差。由于(17)式只沿切線擴(kuò)散，所以無法避免迭代過程中產(chǎn)生的裂痕。

當(dāng)λ=β時，利用

得到

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了說明雙參數(shù)模型的有效性，我們以Baboo和Lena噪聲圖像為例，比較雙參數(shù)模型和ROF模型去噪效果，如圖1，圖2所示，Baboo和Lena圖像都是以Δt=0.2進(jìn)行迭代。

由圖1，圖2可知，本文所提出的雙參數(shù)模型去噪效果明顯，人眼能直接感受圖像質(zhì)量的改善。數(shù)值上，我們用峰度信噪比［7］(PSNR)來衡量ROF模型和雙參數(shù)模型的去噪性能。其中

圖1 Baboo噪聲圖像及兩種模型去噪圖像Fig.1 Noise image of Baboo and two kinds of models for denoising image

圖2 Lena噪聲圖像及兩種模型去噪圖像Fig.2 Noise image of Lena and two kinds of models for denoising image

各項數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 兩種去噪方法的峰度信噪比比較Tab.1 Comprison of PSNR between of two denoising methods

通過圖1—2及表1的對比，雙參數(shù)模型的去噪有一定填補(bǔ)各項異性裂痕的作用，同時噪聲圖像的PSNR有1～2 dB的提升。

4 結(jié)論

Rudin，Osher and Fatemi提出的ROF模型在圖像恢復(fù)中得到了成功的應(yīng)用。但是由于Laplace算子具有各項同性的光滑性，在去除噪聲的同時也磨光了邊緣等性質(zhì)。本文引入雙參數(shù)模型，在泛函中不但保持項，還增加項。通過雙參數(shù)的控制，在磨去噪聲的同時能更好地保持邊界等性質(zhì)。根據(jù)給出的客觀圖像評價標(biāo)準(zhǔn)峰度信噪比，得出雙參數(shù)模型在圖像去噪方面有一定的提升。

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