成年食餌具有擴(kuò)散的捕食系統(tǒng)周期解

劉艷偉

(周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,河南周口466001)

近年來,非自治微分系統(tǒng)周期解的存在性、唯一性及全局穩(wěn)定性被數(shù)學(xué)、生態(tài)學(xué)學(xué)者廣泛研究[1-5]。大量的結(jié)論表明,周期解是非自治捕食系統(tǒng)的一個(gè)重要性質(zhì)。獲取周期解的存在性條件,對(duì)保護(hù)和控制處于周期波動(dòng)環(huán)境中生物種群,具有重要的指導(dǎo)作用。

正如Xu等[2]所指出的,捕食-食餌系統(tǒng)中,種群的年齡結(jié)構(gòu)及在異構(gòu)環(huán)境中的擴(kuò)散進(jìn)程在一定條件下對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)有著復(fù)雜的影響。這也是許多作者關(guān)注的焦點(diǎn)[2,3]。在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上,Xu等[2]構(gòu)造了一類捕食種群具有年齡結(jié)構(gòu)、食餌具有擴(kuò)散的比率依賴型生物模型,并考慮了系統(tǒng)系數(shù)的周期性變化,得到了該系統(tǒng)存在周期解的充分條件。值得一提的是,Xu等[2]的模型沒有考慮食餌的年齡結(jié)構(gòu),為此,本文改進(jìn)Xu等的模型為如下形式:

并且系統(tǒng)(1)滿足初值條件

其中x和y分別表示t時(shí)刻成年食餌種群在斑塊i(i=1,2)的單位密度;z1和z2分別表示t時(shí)刻幼年捕食者和成年捕食者種群的單位密度;τi>0(i=1,2,3)為孕育期;Di>0(i=1,2)為擴(kuò)散率函數(shù);β1, β2,d1,d2,d3,v0,v1,D1,D2,m和αi(i=1,2,3)均為大于零的連續(xù)ω-周期函數(shù),其相應(yīng)的生物學(xué)解釋可參見文獻(xiàn)[2]。此外,考慮到初值的連續(xù)性,本文進(jìn)一步要求

為簡便起見,記fL=f(t),fM=(t),其中f(。)>0是連續(xù)的ω-周期函數(shù)。

1 周期解的存在性

為了獲得系統(tǒng)(1)周期解存在的充分條件,需要一些優(yōu)先的估計(jì)。

1.1 基本引理

引理1 設(shè)λ∈(0,1)為一參數(shù),(u1(t),u2(t),u3(t))Τ是系統(tǒng)

的ω-周期解。如果

成立,則|u1(t)|+|u2(t)|+|u3(t)|≤R1。

引理2 設(shè)μ∈[0,1]為一參數(shù),(u1,u2,u3)Τ是方程組

的解,則|u1|+|u2|+|u3|≤R2。

利用比較法,容易證明引理1、引理2成立。

1.2 主要結(jié)論

這里結(jié)合引理1、引理2的結(jié)論,并利用Gaines-Mawhin's重合度理論,獲得了系統(tǒng)(1)周期解存在的充分條件。

定理1 設(shè)(H1)成立,則系統(tǒng)(1)在條件(2)、(3)下至少存在一個(gè)ω-周期解。

證 考慮系統(tǒng)(1)的子系統(tǒng)

注意到系統(tǒng)(1)滿足初始條件(2)的解是正的,所以可設(shè)

此時(shí),系統(tǒng)(6)可變換為

顯然,如果(u1(t),u2(t),u3(t))T是系統(tǒng)(8)的ω-周期解,則系統(tǒng)(6)具有一個(gè)形如(7)的ω-周期解。為了展示系統(tǒng)(8)存在ω-周期解,定義

其中X和Y是線性空間。定義一個(gè)Euclidean范數(shù)

則X和Y是此范數(shù)下的兩個(gè)Banach空間。

和N:X→X,

在以上定義下,系統(tǒng)(8)滿足Lu=Nu,u∈Dom L?X。

定義兩個(gè)投影算子

另一方面,QN和KP(I-Q)N是連續(xù)的,根據(jù)Arzela-Ascoli定理,QN和KP(I-Q)N在任何有界開集Ω?X是緊的,因此在ˉΕ上對(duì)任何有界開集Ω?X,N是L-緊的。定義

其中R1和R2由引理1和引理2定義。

當(dāng)u=(u1(t),u2(t),u3(t))T∈?Ω∩Dom L時(shí),根據(jù)引理1得到Lu≠λNu,?λ∈(0,1)。

當(dāng)u=(u1(t),u2(t),u3(t))T∈?Ω∩Ker L時(shí),u∈R3且滿足|u1|+|u2|+|u3|=M,則QNu≠0。

事實(shí)上,如果QNu=0,則QNu=0正是方程(5)μ=1的情形,根據(jù)引理2知道,|u1|+|u2|+|u3|≤R2

定義 F:Dom L∩Ker L X[0,1]→X,

設(shè)u=(u1(t),u2(t),u3(t))T∈?Ω∩Ker L,u為R3+中的常值向量,滿足|u1|+|u2|+|u3|=M,因此F(u1,u2,u3,μ)≠0。令J=I,根據(jù)拓?fù)涠韧瑐惒蛔兌ɡ?可知

的唯一解。根據(jù)Gaines-Mawhin's重合度原理[6],可知系統(tǒng)(8)至少存在一個(gè)ω-周期解。也就是系統(tǒng)(6)至少存在一個(gè)ω-周期解。

另一方面,如果(x*(t),y*(t),z(t))T為系統(tǒng)(6)的ω-周期解,則根據(jù)條件(3),可知

也是ω-周期的,因此(x*(t),y*(t),z(t),z(t))T為系統(tǒng)(2)的一個(gè)周期解。

2 結(jié)語

本文構(gòu)造了一類成年食餌具有擴(kuò)散和年齡結(jié)構(gòu)的比率依賴型時(shí)滯微分模型,利用Gaines-Mawhin's重合度原理,獲得了該系統(tǒng)存在周期解的充分條件。關(guān)于系統(tǒng)(1),文獻(xiàn)[3]已經(jīng)獲得了該系統(tǒng)的一致持久性條件。利用此結(jié)論,通過構(gòu)造合適的Lyapunov泛函,可以證明該系統(tǒng)周期解的全局吸引性。

[1]Xu R,Chen L S.Persistence and stability for two-species ratio-dependent predator-prey system with time delay in a twopatch environment[J].Computers Math.Applic.,2000,40:577-588.

[2]Xu R,Chaplain M A J,Davidson F A.Persistence and periodicity of a delayed ratio-dependent predator-prey model with stage structure and prey dispersal[J].Applied Mathematics and Computation,2004,159:823-846.

[3]劉艷偉,司軍輝.一類具有年齡結(jié)構(gòu)的非自治擴(kuò)散系統(tǒng)的持久性[J].周口師范學(xué)院學(xué)報(bào),2010,27(2):20-24.

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[6]Gaines R E,Mawhin J L.Coincidence Degree and Non-linear Differential Equations[M].New York:Springer,1977.