考慮剛性彈彈頭形狀的混凝土（巖石）靶體侵徹深度半理論分析＊

吳 昊，方 秦，龔自明

（1.中國工程物理研究院總體工程研究所，四川 綿陽621900；2.解放軍理工大學(xué)國防工程學(xué)院，江蘇 南京210007）

動(dòng)能彈對混凝土和巖石靶體的沖擊破壞效應(yīng)是防護(hù)工程和武器研發(fā)領(lǐng)域的研究重點(diǎn)之一。表征靶體破壞效應(yīng)的最主要參數(shù)就是彈體的侵徹深度（彈體侵入靶體的垂直距離）。對于中低速?zèng)_擊而言（小于900m／s），侵徹深度研究一般基于兩點(diǎn)假設(shè)：（1）彈體視為剛體，不考慮彈體的變形和質(zhì)量侵蝕；（2）將彈體對靶體的沖擊侵徹過程視為靶體的局部響應(yīng)，不考慮彈體沖擊作用下靶體的整體運(yùn)動(dòng)。

預(yù)測彈體侵徹深度的計(jì)算公式，主要分經(jīng)驗(yàn)公式和半經(jīng)驗(yàn)半理論公式兩類。經(jīng)驗(yàn)公式基于對野外原型或縮比模型彈體沖擊實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到，常用的針對混凝土靶體的有BRL公式、ACE公式和修正的NDRC公式等［1］，針對巖石靶體的有Young公式、Bernard公式和修正的別列贊（BLZ）公式等［2］。半經(jīng)驗(yàn)半理論侵徹深度計(jì)算的研究中，M.J.Forrestal和D.J.Frew等基于空腔膨脹理論估算彈體侵徹靶體的阻力，進(jìn)而提出了彈體侵徹深度計(jì)算公式Ⅰ［3－4］和Ⅱ［5－7］。X.W.Chen等［8］和 Q.M.Li等［9－10］基于兩階段侵徹模型，采用滑移線場理論得到了靶體開坑區(qū)的深度，引入了量綱一彈頭形狀函數(shù)和沖擊因子，基于對彈頭輪廓曲線方程的定義，進(jìn)一步將Forrestal公式量綱一化，并能夠適用于任意彈頭形狀。L.X.Qian等［11］引入靶體阻力系數(shù)和靶體強(qiáng)度參數(shù)，針對截卵形彈頭的侵徹問題進(jìn)行了半理論研究，但上述參數(shù)需要大量實(shí)驗(yàn)確定，并且只適用于截?cái)嗖糠珠L度小于彈身長度1／3的情況。A.T.Jan等［12］通過改進(jìn)彈體阻力計(jì)算公式，將Forrestal侵徹模型推廣到平頭彈的情況，并且不用再引入經(jīng)驗(yàn)參數(shù)。H.M.Wen［13］認(rèn)為彈體侵徹過程中所受到的靶體阻力由靶體材料彈塑性變形產(chǎn)生的準(zhǔn)靜態(tài)壓力和彈體速度效應(yīng)引起的動(dòng)壓力兩部分組成，引入了與靶體材料壓力相關(guān)的剪切強(qiáng)度，提出了巖石靶體的彈體侵徹深度計(jì)算公式。王明洋等［14］利用波陣面上的動(dòng)量守恒關(guān)系和彈體表面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，得到了巖體對彈體的侵徹阻抗，進(jìn)而得到了彈體侵徹巖石靶體的侵徹深度計(jì)算公式及其參數(shù)的確定方法。沈俊等［15］通過量綱分析，對大量巖石靶體的侵徹實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，建立了巖石靶體侵徹深度計(jì)算公式。

已有的研究大多針對卵形彈和混凝土靶體，對異型彈沖擊混凝土和巖石靶體的侵徹問題研究較少，對侵徹過程中彈靶間摩擦阻力影響的研究還不深入。本文中，認(rèn)為巖石靶體侵徹深度的工程計(jì)算可以采用混凝土靶體的類似分析方法，基于混凝土材料的動(dòng)力球型空腔膨脹理論和“沖擊成坑＋鉆孔區(qū)”兩階段侵徹模型，以截卵形彈頭彈體為例，利用曲面積分的方法，得到能夠綜合考慮彈靶摩擦阻力、成坑區(qū)深度和彈頭形狀等參數(shù)影響的混凝土和巖石靶體垂直侵徹深度的計(jì)算公式。

1 侵徹深度計(jì)算

以截卵形彈頭彈體為例，如圖1所示。其中彈身直徑為d，截?cái)嗖糠种睆綖閐1，卵形彈頭總長度為l，截?cái)嗖糠珠L度為l1，彈頭的曲率半徑為s，x為彈體位移，箭頭所指方向?yàn)閺楏w運(yùn)動(dòng)方向，θ為彈體運(yùn)動(dòng)方向與彈頭圓弧法線方向的夾角，v0為彈體的初始沖擊速度。

圖1 截卵形彈頭示意圖Fig.1 Sketch map of truncated－ogive nose projectile

許多混凝土和巖石靶體侵徹實(shí)驗(yàn)表明，靶體的破壞形態(tài)為一個(gè)近似倒錐形的沖擊坑和一個(gè)直徑近似等于彈體直徑的鉆孔區(qū)組成。本文中采用“沖擊成坑＋鉆孔區(qū)”兩階段侵徹模型，如圖2所示，其中沖擊坑深度為Hc，彈體侵徹深度為Hp。文獻(xiàn)［3－4］表明，靶體開坑區(qū)深度與彈體直徑成正比，可表示為Hc＝kd，其中k為開坑區(qū)深度系數(shù)。對于卵形彈，M.J.Forrestal等［16］基于實(shí)驗(yàn)，得出k＝2，Q.M.Li等［9］基于滑移線理論，得出k＝0.707＋l／d。對于截卵形彈頭，則有k＝0.707＋（l－l1）／d。

圖2 兩階段侵徹模型Fig.2 Two－stage penetration model

當(dāng)Hp≤Hc時(shí)，彈體侵徹只形成開坑區(qū)，基于已有實(shí)驗(yàn)對彈體過載特性的測量，開坑區(qū)彈體所受阻力Fcr與彈體侵徹深度x成線性關(guān)系。對于典型的截卵形彈頭，可表示為［11］

式中：c為阻力系數(shù)。由式（1）得出彈體在開坑區(qū)的運(yùn)動(dòng)方程為

式中：M 為彈體質(zhì)量。初始條件為：x（0）＝0，x′（0）＝v0，求解上述微分方程可以得到侵徹深度

積分式（2）得到開坑區(qū)彈體的位移、速度和加速度表達(dá)式

式中：ω2＝c／M，0≤x≤kd。

當(dāng)Hp＞Hc時(shí)，彈體侵徹過程形成開坑區(qū)和坑下的鉆孔區(qū)，其中開坑區(qū)深度滿足Hc＝kd。在鉆孔區(qū)，由動(dòng)力球型空腔膨脹理論，得到彈體侵徹混凝土靶體過程中彈體頭部空腔法向膨脹壓縮應(yīng)力σn與法向膨脹速度vr的關(guān)系式［16］，本文中認(rèn)為對于巖石靶體同樣滿足

式中：S為靶體的強(qiáng)度參數(shù)，fc為靶體的抗壓強(qiáng)度，ρ為靶體密度。S基于大量不同強(qiáng)度靶體侵徹實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)回歸得到，文獻(xiàn)［3－4］中提出S＝82.6（10－6fc）－0.544，文獻(xiàn)［9］中提出S＝72（10－6fc）－0.5，而兩式在fc≥15MPa時(shí)基本相等，因此本文中取S＝82.6（10－6fc）－0.544。

侵徹過程（見圖1）中，彈體頭部空腔的法向膨脹速度vr與彈體即時(shí)侵徹速度v滿足vr＝vcosθ，彈體所受靶體的切向應(yīng)力στ與法向應(yīng)力σn滿足στ＝μmσn，其中μm為彈體和靶體間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)，一般取值范圍為0～0.2［8，17－18］。

彈頭截?cái)嗖糠趾吐研尾糠衷谇謴剡^程中受到的沿彈體運(yùn)動(dòng)方向的阻力分別為

式中：Σ 為彈頭卵形部分側(cè)面積。對于一般彈體構(gòu)造，有θ0＝arccos（（l－l1）／s）和θ1＝π／2。由式（6）得到鉆孔區(qū)彈體所受到的阻力為

式中：G1和G2為表征彈頭形狀和彈靶摩擦效應(yīng)的量綱一系數(shù)。定義彈頭形狀量綱一參數(shù)Φ＝s／d，ζ1＝l／d，ζ2＝l1／d，ζ3＝d1／d，由式（6）～（7），對于（截）卵形（包括半球形、平頭形）彈有

對于（截）錐（包括平頭形）形彈有

對于卵形彈和錐形彈，式（8）中取ζ2＝ζ3＝0；對于截卵（錐）形彈，式（8）中取ζ3＝d1／d；對于半球形彈，式（8a）中取ζ2＝ζ3＝0，ζ1＝Φ＝0.5；對于平頭彈，有ζ1＝ζ2，ζ3＝1，式（8a）和（8b）形式相同。

設(shè)沖擊成坑區(qū)結(jié)束時(shí)刻為t1，彈體的速度為v1，由式（4）和（7）得出開坑區(qū)結(jié)束時(shí)刻（t＝t1，v＝v1，x＝kd）兩階段彈體位移、速度和力的平衡條件為

由上式可求得

引入質(zhì)量比λ＝M／（ρd3），沖擊因子I＝Mv2／（d3fc），結(jié)合式（3）和（10）得到，當(dāng) Hp／d≤k時(shí)

由式（7）得出鉆孔區(qū)彈體的運(yùn)動(dòng)方程，并積分得到，當(dāng)Hp／d＞k時(shí)

如果不考慮開坑區(qū)，即k＝0，則由上式得到

對于中低速碰撞（v0＜900m／s），當(dāng)ζ3≠1（非平頭彈）時(shí)，有I0G2／（G1Sλ）?1，可將式（12）簡化為

還有，當(dāng)μm＝0且ζ3≠1時(shí)，有I0G2／（G1Sλ）?1并且G1≈0.25，則式（13）可進(jìn)一步簡化為

比較式（11）～（14）和已有應(yīng)用較廣的幾個(gè)半理論公式可以得出：

（1）ForrestalⅠ公式［3－4］、Chen和 Li公式［8－10］和 Wen公式［13］中與本文公式中均考慮了開坑區(qū)深度，F(xiàn)orrestalⅠ公式、Chen和Li公式和 Wen公式中分別有k＝2、k＝0.707＋（ζ1－ζ2）和k＝ζ1。

（2）ForrestalⅡ公式［5－7］和 Wen公式［13］雖然精度較高，但公式中反映靶體強(qiáng)度的參數(shù)R 和Y 必須通過實(shí)際的實(shí)驗(yàn)侵徹深度反推得到，因此缺乏對侵徹深度的預(yù)測能力，本文中不作討論。

（3）ForrestalⅠ公式［3－4］中僅考慮了卵形彈，并且沒有考慮彈靶之間的摩擦力。當(dāng)取ζ2＝ζ3＝0、k＝2和μm＝0時(shí)，式（11）退化為ForrestalⅠ公式。Chen和Li公式［8－10］可以考慮多種彈頭形狀，當(dāng)μm＝0且k＝0.707＋（ζ1－ζ2）時(shí)，式（11）分別取ζ2＝ζ3＝0、ζ2＝ζ3＝0和Φ＝ζ1、ζ1＝ζ2＝0和ζ3＝1時(shí)，和Chen和Li公式卵形彈、錐形彈、平頭彈計(jì)算公式形式相同。

（4）從式（13）～（14）可以看出，非平頭彈體的量綱一侵徹深度與沖擊因子近似成系數(shù)為1／（2πSG1）的線性關(guān)系。當(dāng)不考慮彈靶摩擦阻力時(shí)，上述線性系數(shù)簡化為2／（πS）。對于平頭彈（ζ3＝1），IG2／（G1Sλ）?1不滿足，式（13）～（14）不成立，這點(diǎn)在已有研究中沒有討論過。

圖3分別給出了基于表1中實(shí)驗(yàn)3，得到的量綱一侵徹深度隨ζ3和Φ的變化曲線，為方便計(jì)算中取μm＝0和k＝0。由圖可見，侵徹深度隨Φ的增大而增大，隨ζ3的增大而減小。因此采用卵（錐）形彈頭并增加Φ，是提高彈體侵徹能力的有效途徑。

圖3 ζ3和Φ對侵徹深度的影響曲線Fig.3 Penetration depth curves for differentζ3andΦ

2 與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

表1為8組混凝土和巖石靶體侵徹實(shí)驗(yàn)參數(shù)。用式（11）及已有10個(gè)（半）經(jīng)驗(yàn)公式的彈體侵徹深度與相應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，圖4～5給出了表1中對應(yīng)的混凝土和巖石靶體的侵徹深度。

由圖4可見，對于混凝土靶體而言：

（1）彈體的量綱一侵徹深度隨彈靶摩擦系數(shù)μm的增大而顯著減小，并且μm對侵徹深度的影響隨彈體沖擊速度的增大而顯著增大。當(dāng)μm＝0時(shí)，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合最好，因此對于非平頭彈，可以采用簡化式（14）進(jìn)行計(jì)算。

表1 侵徹實(shí)驗(yàn)的相關(guān)參數(shù)Table 1 Parameters in projectile penetration experiments

（2）對于不同彈頭形狀彈體而言，量綱一侵徹深度隨著開坑區(qū)深度系數(shù)k的增大而增加，并且隨著彈頭截?cái)嗖糠值牟粩嘣龃?，k對侵徹深度的影響也越來越大。通過對比得出，當(dāng)ζ3≠1時(shí)，建議當(dāng)鉆孔區(qū)深度大于開坑區(qū)深度的2倍時(shí)，即初始沖擊因子最小值滿足I0，min≥2πSG1k2／（k＋ζ2）時(shí)，可不考慮開坑區(qū)深度，采用式（12）計(jì)算，如實(shí)驗(yàn)1～3；否則，采用式（11）計(jì)算，取k＝0.707＋（ζ1－ζ2）；當(dāng)ζ3＝1時(shí)，取k＝0.707，如實(shí)驗(yàn)4。

（3）圖4（c）～（d）中，取μm＝0和k＝0.707＋（l－l1）／d 時(shí)，式（11）的計(jì)算結(jié)果和Chen和Li公式計(jì)算結(jié)果的誤差，在于靶體強(qiáng)度參數(shù)S不同。

（4）式（11）的計(jì)算結(jié)果優(yōu)于常用的三個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算結(jié)果。經(jīng)驗(yàn)公式中，BRL公式和ACE公式分別用于卵形彈和異形彈計(jì)算時(shí)的精度最高。

圖4 混凝土靶體侵徹深度Fig.4 Penetration depth curves for concrete target

對于卵形彈，實(shí)驗(yàn)5～6和8滿足I0≥2πSG1k2／（k＋ζ2），計(jì)算中采用式（12）。實(shí)驗(yàn)7滿足I0＜2πSG1k2／（k＋ζ2），計(jì)算中采用式（11）。由圖5可見，對于巖石靶體而言：

（1）普通和高強(qiáng)巖石靶體的侵徹問題同樣可以用混凝土靶體侵徹分析方法進(jìn)行研究。

（2）和混凝土靶體相同，彈體侵徹巖石靶體的量綱一侵徹深度隨彈靶摩擦系數(shù)μm的增大而顯著減小，并且μm對侵徹深度的影響隨彈體沖擊速度的增大而顯著增大。對于巖石靶體時(shí)，需考慮彈靶間的摩擦阻力。對于普通和高強(qiáng)巖石靶體，當(dāng)μm分別取0.05和0.1時(shí)，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合最好。

（3）巖石靶體的侵徹深度計(jì)算中，成坑區(qū)系數(shù)的取值可參照混凝土靶體。

（4）式（11）的計(jì)算結(jié)果優(yōu)于（半）經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算結(jié)果。經(jīng)驗(yàn)公式中，Bernard公式預(yù)測精度最高。

圖5 巖石靶體侵徹深度Fig.5 Penetration depth curves for rock target

3 結(jié) 論

基于動(dòng)力球型空腔膨脹理論和“沖擊成坑＋鉆孔區(qū)”兩階段侵徹模型，以截卵形彈頭彈體為例，利用曲面積分方法，得到了能夠綜合考慮彈靶摩擦阻力、成坑區(qū)深度和彈頭形狀等參數(shù)影響的混凝土和巖石靶體侵徹深度的計(jì)算公式。

（1）本文公式在相關(guān)參數(shù)取特殊值時(shí)退化為經(jīng)典的ForrestalⅠ公式［3－4］。與8組不同彈頭形狀彈體侵徹混凝土和巖石靶體的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、10個(gè)（半）經(jīng)驗(yàn)公式的計(jì)算結(jié)果對比，驗(yàn)證了本文公式的適用性。

（2）對于混凝土靶體，建議彈靶摩擦系數(shù)取0，非平頭彈體中低速侵徹混凝土靶體的量綱一侵徹深度與沖擊因子近似成系數(shù)為2／（πS）的線性關(guān)系；對于普通和高強(qiáng)巖石靶體，建議彈靶摩擦系數(shù)分別取0.05和0.1，非平頭彈體中低速侵徹巖石靶體的量綱一侵徹深度與沖擊因子近似成系數(shù)為1／（2πSG1）的線性關(guān)系。

（3）對于混凝土和巖石靶體侵徹深度的計(jì)算，當(dāng)ζ3≠1且I0，min≥2πSG1k2／（k＋ζ2）時(shí)，可不考慮開坑區(qū)深度，采用式（12）計(jì)算；否則，采用式（11）計(jì)算，取k＝0.707＋（ζ1－ζ2）；當(dāng)ζ3＝1時(shí)，取k＝0.707。

（4）經(jīng)驗(yàn)公式中，BRL公式、ACE公式和Bernard公式分別用于混凝土和巖石靶體侵徹深度計(jì)算時(shí)的預(yù)測精度最高。

（5）受已有實(shí)驗(yàn)限制，僅針對普通混凝土靶體的（截）卵形和平頭彈以及巖石靶體的卵形彈侵徹深度問題進(jìn)行了探討。式（11）對于如高強(qiáng)混凝土靶體的侵徹問題以及平頭彈侵徹巖石靶體等工況中侵徹深度的預(yù)測能力，有待進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。另外，對于彈靶摩擦系數(shù)的取值范圍0～0.2，只是一種工程方法，對于彈靶摩擦機(jī)理以及與彈體即時(shí)速度相關(guān)的摩擦系數(shù)的取值也是進(jìn)一步工作的重點(diǎn)。

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