一種基于非線性最小二乘的空間后方交會(huì)算法

余岸竹，姜 挺，江剛武，羅 勝，劉建輝

(信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南鄭州450052)

一、引 言

攝影測(cè)量學(xué)中經(jīng)典的空間后方交會(huì)算法是通過對(duì)成像時(shí)刻攝站的位置、姿態(tài)的近似值在一定的坐標(biāo)系下描述后，對(duì)共線條件方程進(jìn)行線性化，并結(jié)合一定數(shù)量的地面控制點(diǎn)及其像點(diǎn)，利用線性最小二乘平差方法迭代求解[1]。該解法的前提條件是給定的近似值與真值十分接近，在一定的精度下可以使用泰勒展開的一次項(xiàng)近似代替原始的非線性模型。當(dāng)初值與真值差距較大時(shí)，該方法會(huì)帶來一定的模型誤差，甚至出現(xiàn)迭代不收斂的情況。如何提高后方交會(huì)的精度一直攝影測(cè)量定位中的一個(gè)熱點(diǎn)問題[2-4]。為降低線性化帶來的影響，本文結(jié)合非線性平差模型，提出一種基于非線性最小二乘的空間后方交會(huì)算法，通過試驗(yàn)驗(yàn)證該方法的有效性。

二、基于非線性最小二乘的空間后方交會(huì)原理

1．非線性最小二乘平差方法

非線性最小二乘平差方法與傳統(tǒng)的最小二乘平差方法有類似的目標(biāo)函數(shù)。設(shè) ^X表示待求參數(shù)的估計(jì)值，V表示改正數(shù)，L表示觀測(cè)值向量，則原始誤差方程可寫為

式中，f為一非線性函數(shù)模型。最小二乘法解算方法是在(1)的條件下，答解目標(biāo)函數(shù)[6]

式(2)可進(jìn)一步化簡為

由于式(3)中f是一個(gè)非線性函數(shù)，因此根據(jù)矩陣求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t[7]可知

2．?dāng)?shù)學(xué)模型

使用歐拉角描述攝站姿態(tài)時(shí)，空間后方交會(huì)待答解的外方位元素矢量為 M=(Xs，Ys，Zs，φ，ω，κ)T，則共線條件方程可表示為[1]

式中，(x0，y0，f)為像片的內(nèi)方位元素;(x，y)表示像點(diǎn)坐標(biāo);(X，Y，Z)為像點(diǎn)對(duì)應(yīng)的地面點(diǎn)坐標(biāo);參數(shù)ai，bi，ci是由(φ，ω，κ)組成的旋轉(zhuǎn)矩陣對(duì)應(yīng)的元素。

令

將上式代入式(3)可得

設(shè)M(0)為 M的一個(gè)近似值，即 M=M(0)+d M(0)。當(dāng)觀測(cè)誤差滿足高斯-馬爾可夫條件時(shí)，可假定權(quán)矩陣P為單位矩陣，此時(shí)，將函數(shù)F(M)在M=M(0)處泰勒展開至二次項(xiàng)得

式中，g(0)和H0分別是F(M)是M=M(0)的梯度矢量與Hessian矩陣，其表達(dá)式為

及

式中，Mi(i=1，2，…，6)是外方位元素矢量M的第i個(gè)元素。為了求得使式(8)最小的d M(0)，將該式對(duì)d M(0)求偏導(dǎo)并令其等于零，得

當(dāng)H0滿秩時(shí)，可以求出

則

將 ^M作為新的近似值M進(jìn)行迭代答解，直到‖d M(0)‖小于給定的閾值，即可求得非線性最小二乘法則下 ^M的最優(yōu)值。

三、試驗(yàn)結(jié)果與分析

為了非線性最小二乘答解空間后方交會(huì)的有效性，并與經(jīng)典的后方交會(huì)算法進(jìn)行對(duì)比，使用文獻(xiàn)[2]中鄭州某地區(qū)的真實(shí)影像數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)，其具體參數(shù)如表1所示，控制點(diǎn)分布情況如圖1所示，控制點(diǎn)具體坐標(biāo)如表2所示。

表1 航空影像參數(shù)

圖1 控制點(diǎn)分布略圖

表2 實(shí)際地面控制點(diǎn)m

利用本文提出算法、文獻(xiàn)[2]算法與經(jīng)典算法分別對(duì)真實(shí)影像進(jìn)行空間后方交會(huì)，初始值按照文獻(xiàn)[9]中給定的空間后方交會(huì)初值選取，結(jié)果如表3所示。

表3

從表3的解算結(jié)果可以看出，基于非線性最小二乘的解算方法、基于四元數(shù)的算法和傳統(tǒng)方法的解算精度相當(dāng)，最大線元素之差約為0．016 m，最大角元素之差約為0．001°，驗(yàn)證了本文算法的有效性。

四、總 結(jié)

空間后方交會(huì)是攝影定位中的關(guān)鍵步驟。為減少由線性化帶來的模型誤差，本文提出了基于非線性最小二乘的空間后方交會(huì)算法，并使用真實(shí)影像數(shù)據(jù)證實(shí)了提出算法的有效性，可以與傳統(tǒng)算法和基于四元數(shù)的算法達(dá)到相當(dāng)?shù)木取Ｈ欢€有以下問題需要進(jìn)行進(jìn)一步研究：

1)答解優(yōu)化問題過程中，需要求解Hessian矩陣，其求解計(jì)算復(fù)雜度較大，降低了答解的效率，如何對(duì)算法進(jìn)行優(yōu)化需要深入研究。

2)僅驗(yàn)證了該算法在近似垂直攝影情況下的有效性，而在不同傾角、不同航高的成像條件下的收斂性需要深入探討。

3)文獻(xiàn)[10]中證明了非線性最小二乘解算結(jié)果既不是真值的無偏估計(jì)量也不是最小方差有偏估計(jì)量。因此，如何改進(jìn)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)是進(jìn)一步研究的方向之一。

[1]WANG Zhizhuo．The Principles of Photogrammetry[M]．Beijing：Press of Surveying and Mapping，1990．

[2]龔輝，姜挺，江剛武，等．一種基于四元數(shù)的空間后方交會(huì)全局收斂算法[J]．測(cè)繪學(xué)報(bào)，2011，40(5)：639-645．

[3]Jl Qiang，MAURO SC，ROBERT M H，et a1．A Robust Linear Least-squares Estimation of Camera Exterior Orientation Using Multiple Geomatric Features[J]．ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing．2000，55：75-93．

[4]FIORE PD．Efficient Linear Solution of Exterior Orientation[J]．IEEE Transactions on PAMI，2001，23(2)：140-148．

[5]王新洲，陶本藻，邱衛(wèi)寧，等．高等測(cè)量平差[M]．北京：測(cè)繪出版社，2006．

[6]隋麗芬，宋力杰．誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)[M]．北京：解放軍出版社，2004．

[7]張賢達(dá)．矩陣分析與應(yīng)用[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2004．

[8]馬昌鳳．最優(yōu)化方法及其Matlab程序設(shè)計(jì)[M]．北京：科學(xué)出版社，2010．

[9]張保明，龔志輝，郭海濤．?dāng)z影測(cè)量學(xué)[M]．北京：科學(xué)出版社，2008．

[10]王新洲．非線性模型參數(shù)估計(jì)理論與應(yīng)用[M]．武漢：武漢大學(xué)出版社，2002．