回歸分析法在GPS測量坐標(biāo)變換的應(yīng)用

鐘連琨

(廣西國土測繪院，廣西南寧530023)

一、引 言

全球定位系統(tǒng)(GPS)自20世紀(jì)70年代產(chǎn)生，由于GPS具有全天候、高精度、自動化、高效益等顯著優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于大地測量、工程測量、車輛導(dǎo)航、航海導(dǎo)航等領(lǐng)域。GPS采用1984年世界大地坐標(biāo)系(world geodetic system 1984，WGS-84)是一個協(xié)議地球坐標(biāo)系，坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)位于地球的質(zhì)心，其空間直角坐標(biāo)系的Z軸指向AIH1984定義的地極方向，X軸指向AIH1984的起始子午面和赤道的交點(diǎn)，采用橢球參數(shù)為：a=6378137m，f=1/298．257223563。而我國測繪系統(tǒng)廣泛采用的是北京54坐標(biāo)系和西安80坐標(biāo)系。北京54坐標(biāo)系源自于原蘇聯(lián)采用的1942年普爾科夫坐標(biāo)系，參考橢球是克拉索夫斯基橢球，橢球的參數(shù)為：a=6 378 245 m，f=1/298．3。西安80坐標(biāo)系采用IAG1975橢球，橢球的參數(shù)為：a=6 378 140m，f=1/298．257，地球橢球的短軸平行于地球質(zhì)心，指向JYD1968的方向，起始子午面平行于我國起始天文子午面。從上可見，上述這些坐標(biāo)系之間不但坐標(biāo)原點(diǎn)不一致，而且各坐標(biāo)軸之間相互不平行。所以，在實際應(yīng)用中，必須進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。目前，不同坐標(biāo)系間坐標(biāo)變換的通常方法有相似變換法、三參數(shù)法、七參數(shù)法等。這些方法都是對空間中的圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)以及縮放等的變換，它們都具有幾何關(guān)系明確、解答參數(shù)方便、變換公式規(guī)則、可以適當(dāng)外推的優(yōu)點(diǎn)，但對坐標(biāo)系的局部變形顧及較差。由于測量不可避免誤差，如折光誤差、尺長誤差、信號傳播誤差等，使得系統(tǒng)中各點(diǎn)的坐標(biāo)值并不嚴(yán)格處于確定的數(shù)學(xué)模型下，從而使得各坐標(biāo)系統(tǒng)中產(chǎn)生局部性或整體性偏差，于是就存在變換模型的適度問題。1954年北京坐標(biāo)系是由原蘇聯(lián)大地網(wǎng)延伸過來的經(jīng)，所提供的點(diǎn)的坐標(biāo)是局部平差的成果。為了建立我國獨(dú)立的大地坐標(biāo)系，從1972年開始，歷時10年完成了全國天文大地網(wǎng)建設(shè)工作，并對全國一、二等三角鎖網(wǎng)、部分三等三角鎖網(wǎng)和導(dǎo)線共48 433點(diǎn)進(jìn)行整體平差，建立了“1980年國家大地坐標(biāo)系”。由于布設(shè)時代不一，時間久遠(yuǎn)，參與整體平差和不參與整體平差的點(diǎn)精度不一，再加上地殼運(yùn)動，它們之間的局部性誤差和形變是不可避免的。此時坐標(biāo)系之間的真實變換關(guān)系是非常復(fù)雜的，并不是確定的幾何關(guān)系。如采用相似變換法、三參數(shù)法、七參數(shù)法不可避免帶有模型誤差。而采用回歸分析法可將系統(tǒng)的偏差擬合到回歸參數(shù)中，更加完善地進(jìn)行不同坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換，獲得較高的坐標(biāo)變換精度。

二、回歸分析法的原理

回歸分析是統(tǒng)計學(xué)中的一個重要分支，在自然科學(xué)領(lǐng)域和社會科學(xué)領(lǐng)域有著十分廣泛的應(yīng)用，是處理多個變量之間相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法。它是建立在對客觀事物進(jìn)行大量試驗和觀測的基礎(chǔ)上，用于尋找隱藏在那些看上去是不確定的現(xiàn)象中的統(tǒng)計規(guī)律的數(shù)理統(tǒng)計方法。按照控制論的觀點(diǎn)，一個系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)并不清楚，但是只要掌握了它外部聯(lián)系的狀態(tài)方式，闡明它輸入和輸出的因果關(guān)系，就可以認(rèn)為充分掌握這個系統(tǒng)。在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中，將不同坐標(biāo)系之間的變換過程視為黑箱，輸入的是變換前坐標(biāo)系的舊坐標(biāo)，輸出的是新坐標(biāo)系的新坐標(biāo)。應(yīng)用回歸分析方法建立輸入和輸出之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，從而確定它們之間的變換關(guān)系。坐標(biāo)變換回歸分析主要有下列幾方面的內(nèi)容：

1)從一組數(shù)據(jù)出發(fā)，分析變量間存在什么樣的關(guān)系，建立這些變量之間的回歸模型;

2)對回歸模型的可信度進(jìn)行統(tǒng)計檢驗;

3)從影響某一個變量的許多變量中，判斷哪些變量的影響是顯著的，哪些是不顯著的，從而建立更實用的回歸模型。

三、回歸分析坐標(biāo)變換的模型

多元線性回歸的模型如下。

設(shè)因變量為Y(預(yù)測對象);自變量為X;(xi，yi)是 X、Y 的觀測值，其中 i=1，2，…，n。

則可以建立多元線性回歸方程

式中，b0、b1、b2、…、bp是未知參數(shù)的回歸系數(shù);εi是隨機(jī)誤差，其方差為σ2其矩陣形式為

每個空間分量的矩陣形式為

根據(jù)最小二乘法原理有

回歸模型的系數(shù)為

四、算 例

現(xiàn)有下列一組北京54和WGS-84兩坐標(biāo)系統(tǒng)公共點(diǎn)的觀測數(shù)據(jù)表1，由于空間坐標(biāo)(X，Y，Z)3個分量都是獨(dú)立的，現(xiàn)以X分量為例來講述坐標(biāo)變換回歸模型的建立過程。

表1 m

續(xù)表1

1．回歸模型的構(gòu)造

為了計算上的方便，可以用先求出坐標(biāo)增量方式來求出轉(zhuǎn)換坐標(biāo)。另外，由于本例的公共點(diǎn)不是佷多，為了等價于7參的轉(zhuǎn)形式，選擇6個參數(shù)來構(gòu)造回歸模型。具體構(gòu)造方程如下

表2

2．回歸模型的檢驗

(1)模型擬合優(yōu)度檢驗

根據(jù)赤池信息準(zhǔn)則(akaike information criterion)有

由于AIC=2．301 2，其數(shù)值較小，故模型擬合程度較高。

(2)模型顯著性的檢驗

根據(jù)回歸分析的方法，對其檢驗的過程歸納為表3。

在給定的顯著水平 α =0．05，F(xiàn)(6，21)=2．57 ＜F=(SSR/p)/(SSE/(n-p-1))=23 044 963 066．74，故回歸模型是顯著的。

(3)模型系數(shù)顯著性的檢驗

對于回歸模型，回歸模型是顯著的，并不能說明每個參數(shù)對坐標(biāo)變換的影響是顯著的。要檢驗?zāi)硞€參數(shù)對坐標(biāo)變換的影響是否顯著，等價于檢驗相應(yīng)的回歸模型的系數(shù)是否顯著的不為0，這就是回歸模型系數(shù)顯著性檢驗，通過t檢驗來完成，有

對回歸模型系數(shù)βj(j=1，2，…，p)的檢驗。本例的計算結(jié)果如表4所示。

表3 回歸模型顯著性檢驗的方差分析

表4 回歸系數(shù)顯著檢驗

t0．025(21)=2．080 ＜ ti，故在顯著水平 α =0．05條件下，該回歸模型系數(shù)是顯著有效的。

五、結(jié)束語

1)當(dāng)變換的區(qū)域較小且公共點(diǎn)數(shù)量有限時，回歸的模型實質(zhì)就是相似變換。

2)在模型的選擇上，高階項目具有極其不穩(wěn)定性的特點(diǎn)，使用時要特別小心。

3)選擇的參數(shù)個數(shù)的多少，受公共點(diǎn)的數(shù)量限制，選擇的方案應(yīng)確保有足夠的多余觀測量。由于過多的回歸參數(shù)表面上會使R2增大變換精度提高，但實際上可能是虛假的，因此選擇參數(shù)在不影響變換精度的前提下，應(yīng)選擇比較簡單的模型。

[1]王福保．概率論及數(shù)理統(tǒng)計[M]．上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，1998．

[2]周富臣，王生輝，易英，等．常用數(shù)理統(tǒng)計方法及應(yīng)用實例[M]．北京：中國計量出版社，2006．

[3]劉大杰，施一民，過靜珺．全球定位系統(tǒng)(GPS)的原理與數(shù)據(jù)處理[M]．上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，1997．

[4]朱華統(tǒng)．大地坐標(biāo)系統(tǒng)的建立[M]．北京：測繪出版社，1986．

[5]鐘連琨．平面相似變換在地面網(wǎng)與GPS網(wǎng)平差連接中的應(yīng)用[J]．測繪工程，1999(2)：58-62．

[6]鐘連琨，黃發(fā)秀．GPS水準(zhǔn)擬合方式的統(tǒng)計分析及擬合方式的選擇[J]．工程勘察，2000(5)：15-18．