方格網(wǎng)法土方量計算及誤差影響

王鐵生，程鵬里，趙東保，緱慧娟

(華北水利水電學(xué)院土木與交通學(xué)院，河南鄭州450011)

一、引 言

土方量測量是在土方施工中經(jīng)常要進行的工作，它關(guān)系到施工進度的掌握、工程量的計算和資金的結(jié)算。在整個工程中，土方工程往往也是很多大型工程中重要的環(huán)節(jié)，但是土方量的計算是個復(fù)雜的問題，一般是不準確的，存在誤差。在計算土方量時一般允許誤差為10% ～20%，主要因為土方量計算受到場地整平時的坡度、計算方法、施工驗收方法、土的松散系數(shù)以及等高線的高程誤差等因素的影響。一般認為等高線的高程誤差對于土方量的影響應(yīng)小于5%。但是對一些大型土方工程，即使是5%土方誤差，工程費用偏差也是相當(dāng)大的。所以大土方工程中，減少方量計算的誤差，提高其精度，頗具現(xiàn)實意義[1]。在計算土方量時，一般要求土方量最小，且填挖量平衡。高程的精度作為影響土方量結(jié)果的一個重要影響因素之一，是在計算土方量時必須考慮的一個內(nèi)容。

二、施工高度中誤差的計算

土方量計算方法很多，包含斷面法、方格網(wǎng)法、等高線法、DTM法等。由于正方形方格法是常采用的土方量計算方法之一，以下主要針對方格網(wǎng)法進行土方量施工高度精度分析。

在進行土方量計算時，必須先計算內(nèi)插點的高程，影響施工高度中誤差的因素為等高線的高程誤差和圖上量測誤差。量測誤差隨著比例尺、等高距和地形坡度不同而不同。設(shè)施工高度中誤差為mh。設(shè)場地的設(shè)計高程為h設(shè)，方格網(wǎng)頂點的高程即自然地面高程為h實，根據(jù)設(shè)計高程和方格網(wǎng)頂點的高程可以計算出每個方格網(wǎng)頂點的挖填高度[2]，即高程之差hi為

而

式中，d為內(nèi)插點的高程時，過內(nèi)插點與相鄰兩條等高線正交時圖上的線段長度;d1為內(nèi)插方格網(wǎng)頂點時，內(nèi)插點到相鄰兩條等高線的垂直距離中較短的一條;h0為地形圖等高距;h等為位于等高線上的點的高程

式中，m0為等高線高程的中誤差，約等于1/3等高距;md為內(nèi)插等高線高程時圖上長度量測的中誤差。在式子中，考慮到最大影響d=0．5d，則1

即

在實際計算中你會發(fā)現(xiàn)公式(3)中后面一項(即直線在不同比例尺和坡度條件下丈量的長度誤差)

對公式的結(jié)果影響很小，而且在目前數(shù)字測圖的情況下[4]，不存在圖上量距誤差的影響，總而言之，公式(3)中的后面一項完全可忽略不計。即公式可簡寫為：mh=m0。在平坦地區(qū)等高距一般為0．5m，則

通過以上公式對施工高度中誤差的估算，可以得到一般情況下進行土方量計算時，施工高度可以達到的精度。根據(jù)這個條件可以對不同面積的條件下進行方格網(wǎng)邊長的約束分析。

三、方格網(wǎng)法計算土方量時施工高度中誤差的計算

方格網(wǎng)法計算土方量時，通常將地面分成規(guī)則的矩形地塊，原則是細分到是每一網(wǎng)格的地塊高程相等[5]。但在實際操作中不可能相等，必然存在誤差，高程誤差是影響土方量精度的一個重要因素，是計算土方量相對中誤差的一個重要因子。現(xiàn)根據(jù)方格網(wǎng)計算土方量的公式，利用誤差傳播定理來推求施工高度中誤差。

1．施工高度中誤差的估算

測繪出版社出版的“工程測量學(xué)”教材中，對施工高度的中誤差的計算，是在計算土方量的相對中誤差的基礎(chǔ)上來推導(dǎo)的。

設(shè)場地面積為正方形，用方格網(wǎng)法計算土方量時，由計算的每個小方格網(wǎng)的體積求得總體積?，F(xiàn)在設(shè)小方格網(wǎng)的邊長為s，所以每個小方格為一個棱柱體，則其體積為

式中，hi(i=1，2，3，4)認為其中誤差相等，設(shè)其值為mh，則棱柱體的中誤差為

故

如果場地所填(或挖)的平均高度為h均，則V=Ah均，再有式(5)和式(7)即可的得

即

在這個公式推求中，根據(jù)誤差的傳播定理[7]可以發(fā)現(xiàn)公式(6)是不嚴密的。因為在計算土方量時，各個小方格網(wǎng)上點的高程不是使用一次，所以各個小方格網(wǎng)計算的土方量體積不是相互獨立的，具有一定程度的相關(guān)性，不能把各個小方格網(wǎng)計算的土方量的中誤差簡單相加。在這個基礎(chǔ)上推求了一個更加嚴密的計算施工高度中誤差的計算公式。

2．改進的施工高度中誤差的計算

為了推求一個更加嚴密的施工高度中誤差的計算公式，設(shè)與一個方格相關(guān)的方格點(角點)，其高程的權(quán)為1;與兩個方格相關(guān)的方格點(邊點)，設(shè)其高程的權(quán)為2，與4個方格相關(guān)的方格點(中點)，設(shè)其高程的權(quán)為4[8]。則h均的一般式為

設(shè)整個方格網(wǎng)邊長為L，測量時產(chǎn)生的中誤差為mL，A=L2=ns2，根據(jù)誤差傳播定律，可以得到mA=2LmL。場地為正方形，整個方格網(wǎng)中無拐點，L=■ns，所以

根據(jù)誤差傳播定理可得

把式(10)代入式(12)中可得

則土方量的相對中誤差由式(11)和式(13)可得

由于整個方格網(wǎng)無拐點，所以

把式(15)、式(16)帶到式(14)可得

由于面積A一般是個比較大的數(shù)值，而mL遠遠小于A，所以式(18)可以簡化寫為

因為A=ns2，所以，結(jié)果代入式(19)中即可得

四、實例分析

根據(jù)上面推導(dǎo)出的公式(9)和公式(20)，現(xiàn)計算不同邊長和面積條件下對應(yīng)的施工高度中誤差的值。計算結(jié)果見下表1。

表1 施工高度中誤差

在從表中可以看出：

1)在不同的面積和邊長條件下計算出來的施工高度，公式(20)比公式(9)都更加精確，但要求的條件更嚴格。例如在面積為50 000m2時，要達到高程誤差對土方量的影響限值的5%的一半，按照公式(9)，方格網(wǎng)邊長為20 m時，對施工高度中誤差的精度要求為0．168 m。但在公式20中對施工高度中誤差的精度要求為0．088 m。而在實際工程中，地形圖的等高線高程誤差一般不易達到這個精度，所以，如果按照公式(9)的結(jié)果，在邊長為20m的條件下計算土方量一定達不到高程誤差對土方量影響限值5%的一半。只有在邊長為10～15m或更小的條件下才能到達要求。

2)在計算土方量時，當(dāng)施工面積為5000 m2或者更小時，方格網(wǎng)邊長不能超過5m，在邊長為40m時，施工面積只有在300 000 m2以上時施工高度才能在誤差的要求范圍之內(nèi)，即方格網(wǎng)邊長一般不要超過40m。

3)當(dāng)方格網(wǎng)小，而面積較大時，求得的施工高度中誤差很大，所以在實際工程中，此要求很容易滿足，但施測密度變大，工作量會明顯增加;而當(dāng)面積較小，方格網(wǎng)邊長較大時，求得的施工高度中誤差較小，在實際工程中，一般很難達到這個要求。從計算的數(shù)據(jù)中可以簡單得到：面積50 000 m2時，方格網(wǎng)邊長不要超過15m;面積為100 000m2時，方格網(wǎng)邊長不要超過20m。

五、結(jié)束語

為了滿足土石方工程量計算的精度要求，對不同的施工場地面積應(yīng)選用合適的方格網(wǎng)邊長。當(dāng)方格網(wǎng)小，面積較大時，要求的施工高度精度可以較低;而當(dāng)選取的方格網(wǎng)邊長較大時，為了保證土方量精度，就會對施工高度的精度要求較高;從前面的施工條件和計算數(shù)據(jù)分析結(jié)果不難分析得出，為了保證土方量計算精度，通常情況下方格網(wǎng)邊長應(yīng)在10～40m范圍之內(nèi)，最大不應(yīng)超過50 m;改進后的公式更加嚴密精確，但要求的條件更加嚴格，按現(xiàn)在的數(shù)字測圖方法和技術(shù)，亦能實現(xiàn);如果整平的總面積和施工高度增加，要求的施工高度精度還可降低。

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