軸向行進(jìn)帶鋼的非線性振動(dòng)分析

趙光曦

軸向行進(jìn)過程中帶鋼的振動(dòng)一直是影響冶金行業(yè)生產(chǎn)的重要問題。振動(dòng)會(huì)導(dǎo)致帶鋼內(nèi)部應(yīng)力波動(dòng)引起糾偏失效至帶鋼跑偏；會(huì)使氣刀吹掃不均勻影響熱鍍鋅效果；過大的振動(dòng)還使夾送輥受到嚴(yán)重沖擊縮短使用壽命。綜上所述，對(duì)行進(jìn)帶鋼振動(dòng)的研究和控制在實(shí)際生產(chǎn)中有重要的作用。

近些年來，對(duì)帶鋼振動(dòng)的研究和控制已經(jīng)取得了一定成果，東北大學(xué)李健[1]等考慮熱鍍鋅帶鋼振動(dòng)的固有特性，給出有限元模擬；燕山大學(xué)連家創(chuàng)[2]對(duì)軋機(jī)的垂直振動(dòng)建立6個(gè)自由度的振子模型，并進(jìn)行穩(wěn)定性分析；劉明哲[3]等建立二維和三維的薄板運(yùn)動(dòng)模型，并給出數(shù)值模擬；C.H.Riedel[4]等考慮耦合作用力下帶鋼的內(nèi)共振并分析在不同參數(shù)變化下的頻率響應(yīng)；Ji-Yun Choi[5]對(duì)熱鍍鋅過程中行進(jìn)帶鋼與邊界約束情況的關(guān)系做了研究;S.Hatami[6]等對(duì)軸向行進(jìn)的各向同性板引入彈性支撐的約束條件，在工程上也更接近于實(shí)際。

在以往的研究中，學(xué)者們大都采用板的模型來模擬帶鋼。但帶鋼在幾何尺寸、剛度、約束形式、振動(dòng)自由度等方面與板的差距很大，并且由于帶鋼在厚度方向的尺寸較其他方向小很多，使得其在沒有受到張拉時(shí)抵抗橫向變形的抗彎剛度很弱，而受到張拉后又有一定的抗彎剛度，從這個(gè)角度來分析行進(jìn)帶鋼又與行進(jìn)索類似。鑒于對(duì)帶鋼在軸向行進(jìn)過程中的特殊性研究還寥寥無幾，所以對(duì)軸向行進(jìn)帶鋼振動(dòng)模型的建立和分析十分必要。

本文研究軸向行進(jìn)帶鋼的穩(wěn)定性問題。在建模時(shí)考慮帶鋼的橫向剛度差以及受到來自機(jī)械設(shè)備的振動(dòng)激勵(lì)作用，建立起軸向行進(jìn)帶鋼的受迫振動(dòng)模型。通過Hamilton原理推導(dǎo)出控制方程并利用Galerkin離散方法將其離散化，給出不同工況下外激勵(lì)幅值變化的數(shù)值解，模擬出帶鋼混沌狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)形式，并對(duì)混沌的產(chǎn)生和發(fā)展進(jìn)行分析。

1 動(dòng)力學(xué)建模

一段帶鋼在兩組夾送輥中間以速度c行進(jìn)。其中，平直的帶鋼為沒有發(fā)生振動(dòng)的原始構(gòu)型，用y0表示；虛線代表發(fā)生振動(dòng)后帶鋼的動(dòng)態(tài)構(gòu)型，用Cl表示；其軸線的變化與原始構(gòu)型的距離即為軸向行進(jìn)帶鋼的橫向位移（見圖1）。由于帶鋼被夾送輥夾持，假設(shè)在水平方向上僅有軸向位移，如圖建立坐標(biāo)系xoy，對(duì)于軸向行進(jìn)帶鋼有y方向位移u，及x方向v兩個(gè)方向的自由度。為分析問題方便，取微元體進(jìn)行分析。

圖1 軸向行進(jìn)帶鋼模型圖

微元體受到軸向和橫向的阻力及沿軸向帶鋼的內(nèi)力T（見圖2），引進(jìn)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)[7]，有D Dt=??t+c??x。

圖2 微元的受力狀態(tài)

假設(shè)微元體的質(zhì)量為m，則其動(dòng)能為

帶入物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式得到，

微元的勢能為：

式中，V0、T0—分別是帶鋼的初始勢能和張力；

A—微元的橫截面積；ε—微元的應(yīng)變。此處應(yīng)變可以采用忽略面外位移的拉格朗日應(yīng)變形式[8]。假設(shè)其僅在x，y方向上有應(yīng)變

在帶鋼運(yùn)行的兩個(gè)自由度方向必然存在著來自摩擦、空氣等的阻力，這里可統(tǒng)一寫成cu其中cu，cv分別是兩個(gè)方向上等效的阻力系數(shù)。受加工、安裝精度，以及電機(jī)、減速機(jī)的振動(dòng)等影響，帶鋼也必然受到來自設(shè)備的激勵(lì)作用，假設(shè)激勵(lì)是橫向位移和速度的函數(shù)，表示為

據(jù)Hamilton原理[9]得到如下變分關(guān)系：

其中We為外力的虛功，由此推出帶鋼在軸向和橫向兩個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

2 橫向運(yùn)動(dòng)方程的化簡和離散

由于帶鋼的軸向尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于橫向尺寸，其軸向振動(dòng)對(duì)于帶鋼的影響很小，在生產(chǎn)中振動(dòng)明顯，引起張力波動(dòng)的主要是橫向的振動(dòng)[10]。因此本文重點(diǎn)分析式（4） 中第一個(gè)方程，即橫向振動(dòng)的控制方程，

作為初始構(gòu)型的y，從圖1中可以看出在帶鋼沒有發(fā)生振動(dòng)之前，由于張力輥的拉伸使得帶鋼近似成一直面，因此，，C為常數(shù)。根據(jù)以上假設(shè)，式（3）拉格朗日應(yīng)變退化為，

將式 （6） 帶入式 （5），得

在通常情況下帶鋼處于水平運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，所以為簡化問題令C=0，并做如下無量綱變換

則控制方程可以化簡為

式 (7)屬于無窮維的分布式參數(shù)系統(tǒng)，難以獲得解析解，一般要經(jīng)過降維后再做分析[11]。本文采用Galerkin[12]方法，將偏微分控制方程式 (7)轉(zhuǎn)化為有限維動(dòng)力系統(tǒng)。只保留其中的低階模態(tài)項(xiàng)，按下式展開動(dòng)位移：

式中，qi（t）—廣義的位移坐標(biāo)；φi（x）—具有正交性的振型函數(shù)。

帶鋼的振型是無數(shù)個(gè)模態(tài)疊加的結(jié)果，其中占主要地位的是低階模態(tài)，在工程中我們只關(guān)心最主要的振動(dòng)模態(tài)，即一階振型，所以取i=1并將式（8） 帶入（7）在積分域內(nèi)進(jìn)行積分，從而得到了離散后的微分方程

這里據(jù)參考文獻(xiàn) [11]假設(shè)帶鋼以正弦函數(shù)的模態(tài)進(jìn)行振動(dòng)，即，φ1=sin（ πx），x∈（0,1）帶入后即可得到常微分形式下的橫向位移振動(dòng)控制方程

3 數(shù)值模擬

在實(shí)際生產(chǎn)中，由于安裝或制造原因使得輥?zhàn)拥妮S線不能完全垂直于帶鋼軸線；或者由于電機(jī)、減速機(jī)的振動(dòng)等往往都會(huì)對(duì)行進(jìn)的帶鋼有激勵(lì)的作用[13]，為分析問題方便，這里假設(shè)帶鋼受到周期性荷載，即式（10）中右端項(xiàng)為f=Pcos ω（）t，其中P為激勵(lì)幅值，ω為頻率。

本文參照文獻(xiàn) [5]選擇參數(shù)形式為ρ＝7 850 kg/m3，E=2×1011pa，A=1.4×0.004 5 m2，以及無量綱量 c=5.5，c0=4.3，ck=0.85，δ=0.4，ω=1。將參數(shù)帶入式（10），通過編寫程序?qū)ΤＮ⒎址匠踢M(jìn)行數(shù)值模擬分析。

在非線性動(dòng)力學(xué)中類似式（10）這樣含有位移的三次方項(xiàng)的常微分方程為典型的達(dá)芬方程[14]，其動(dòng)力學(xué)行為十分豐富，這里我們考察在不同的激勵(lì)幅值下帶鋼所表現(xiàn)出的不同響應(yīng)。

當(dāng)P=0.1時(shí)；帶鋼呈周期性穩(wěn)定振動(dòng)（見圖3）。從相圖中可以清楚的看到，在消耗掉初始條件中多余的能量后，相圖落在穩(wěn)定的極限環(huán)上。

當(dāng)P=0.3時(shí)，由于激勵(lì)幅值的增大作用，帶鋼的非線性振動(dòng)形態(tài)逐漸顯現(xiàn)出來，振動(dòng)不再是穩(wěn)定的周期振動(dòng)，從時(shí)程圖可以看出每次振動(dòng)的振幅是隨機(jī)變化的，相圖中也不再有穩(wěn)定的極限環(huán)，隨機(jī)振動(dòng)的形式表現(xiàn)了出來（見圖4）。

圖3 P=0.1時(shí)的時(shí)程響應(yīng)和相圖

圖4 P=0.3時(shí)的時(shí)程響應(yīng)和相圖

這時(shí)如果繼續(xù)增大激勵(lì)幅值，使P=0.5，從時(shí)程圖可以看出，此時(shí)位移的響應(yīng)呈無規(guī)則的混沌狀態(tài)，這種狀態(tài)是無規(guī)律并且無法預(yù)測的，表現(xiàn)在實(shí)際中就是帶鋼小幅劇烈跳動(dòng)；相圖中顯示帶鋼在一定范圍內(nèi)無序運(yùn)動(dòng)，有很強(qiáng)的隨機(jī)性（見圖5）。因混沌狀態(tài)也是非線性振動(dòng)特有的形式[15]，在生產(chǎn)過程中應(yīng)當(dāng)引起關(guān)注。

圖5 P=0.5時(shí)的時(shí)程響應(yīng)和相圖

圖6 P=0.7時(shí)的時(shí)程響應(yīng)和相圖

繼續(xù)增大激勵(lì)幅值使P=0.7，在這種情況下帶鋼穩(wěn)定在零點(diǎn)附近做穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，從相圖中可以看到，極限環(huán)再次形成，說明混沌狀態(tài)已經(jīng)消失（見圖 6）。

當(dāng)使P=0.9時(shí)，帶鋼的周期振動(dòng)趨于穩(wěn)定（見圖7）。從相圖可以看出，帶鋼的運(yùn)動(dòng)形式有明顯的極限環(huán)。

縱觀振動(dòng)形式隨激勵(lì)增大的變化，呈現(xiàn)從穩(wěn)定到混沌再到穩(wěn)定的過程。帶鋼不斷吸收激勵(lì)輸入的能量發(fā)生著量的積累，當(dāng)激勵(lì)幅值達(dá)到0.25左右時(shí)帶鋼的運(yùn)動(dòng)開始從穩(wěn)定的周期振動(dòng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，也就是非線性振動(dòng)中的分岔[16]；此時(shí)如果減小激勵(lì)的幅值，帶鋼可以重新回到原有的穩(wěn)定振動(dòng)，當(dāng)增大幅值后混沌振動(dòng)的程度加深，當(dāng)幅值增大到0.67附近時(shí)帶鋼開始進(jìn)入下一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)，表現(xiàn)出穩(wěn)定的周期振動(dòng)，發(fā)生了第二次分岔；繼續(xù)增大幅值后周期運(yùn)動(dòng)的程度加深，并且兩次穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)的極限環(huán)有所差距，相當(dāng)于穩(wěn)定振動(dòng)的形式發(fā)生了改變。

圖7 P=0.9時(shí)的時(shí)程響應(yīng)和相圖

通過龐加萊映射的方法分析分岔現(xiàn)象，將對(duì)應(yīng)的每一個(gè)激勵(lì)幅值取500個(gè)振幅進(jìn)行分析。從0．1到0．25時(shí)，振幅被壓縮在很窄的窗口內(nèi)，說明每個(gè)周期的振幅穩(wěn)定，是穩(wěn)定的周期振動(dòng)；從0．25到0．67左右每個(gè)周期的振幅不再一致，分布范圍充滿了－1．5到1．5的區(qū)域，是沒有規(guī)律的混沌狀態(tài)；從0．67到1．0，振幅又被壓縮進(jìn)了較窄的窗口中，說明運(yùn)動(dòng)又回到穩(wěn)定的周期振動(dòng)（見圖8）。

4 結(jié)語

（1）為簡化問題，本文只考慮了振動(dòng)的一階模態(tài)，對(duì)于高階模態(tài)及對(duì)應(yīng)的高階分岔形式?jīng)]有進(jìn)行討論。在Galerkin展開中可以進(jìn)行高階模態(tài)的展開，得到多自由度形式的偏微分控制方程組，并可對(duì)內(nèi)共振形式做深入研究。

（2）鑒于生產(chǎn)中帶鋼的荷載形式極其復(fù)雜，在處理荷載時(shí)應(yīng)對(duì)荷載的形式和加載的時(shí)間進(jìn)行細(xì)化，使分析更接近實(shí)際的生產(chǎn)過程。

（3）數(shù)值模擬方法不能直觀反應(yīng)影響振動(dòng)各量的關(guān)系，可以通過多尺度法得到微分方程的解析解，這樣將更有利于對(duì)振動(dòng)的分析和控制。

圖8 振幅隨激勵(lì)幅值的變化

[1]李健，顏云輝等．基于薄板固有特性的連續(xù)熱鍍鋅帶鋼表面質(zhì)量在線控制．機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2011,47（9）：60～65．

[2]連家創(chuàng)，段振勇．冷帶鋼軋機(jī)垂直振動(dòng)穩(wěn)定性的數(shù)值分析．重型機(jī)械，1996，5:15～20．

[3]劉明哲，孫建亮，彭艷等．連軋過程運(yùn)動(dòng)帶鋼穩(wěn)定性研究．冶金設(shè)備，2009,10， （5），25～29．

[4]RIEDELCH,TANCA．Coupledforcedresponseofanaxiallymoving strip with internal resonance International．Non －Linear Mechanics,2002,37:101～116．

[5]CHOI J Y,HONG K S,HONG K T．Exponential stabillzation of an axially moving tensioned strip by passive damping and bounay control．Vibration and Control,May 2004,vol．10 no．5:661～682．

[6]HATAMI S,AZHARI M．SAADATPOUR M M．Stability and vibration of elastically supported axially moving orthotropic plates Transaction．Science&Technology,2006 Vol．30,No．B4．

[7]MOTE C．D．Parametric excitation of an axially moving string．Applied mechanics,Transactions of American Society of Mechanical Engineers 35:171～172．

[8]BENEDETTINIF．,REGAG．a(chǎn)ndALAGGIOR．Non－linear oscillations of a four－degree －of－freedom model of a suspended cable under multiple internal resonance conditions．Sound and Vibration,1995,182(5):775～798．

[9]SALMONR．PracticaluseofHamilton'sprinciple．FluidMech,1983,vol．132:431～444．

[10]呂樂豐．軸向行進(jìn)弦及索的非線性振動(dòng)和穩(wěn)定性分析:[博士論文] 大連．大連理工大學(xué),2010．4．

[11]王躍方,趙光曦．三自由度偏心索風(fēng)致振動(dòng)穩(wěn)定性分析．工程力學(xué),Vol．29 No．8:14～21．

[12]DONEAJATaylor．Galerkinmethodforconvectivetransport problems．John Wiley&Sons Ltd,1984．

[13]HONG K S,KIM J G,TOMIZUKA M,Control of strip casting process:decentralization and optimal roll force control．Control Engineering Practice,2001,9:933～945．

[14]劉延柱,陳立群編著．非線性動(dòng)力學(xué)．上海：上海交通大學(xué)出版社,2000．

[15]VIALAR T．Complex and chaotic nonlinear dynamics:advances in economics and finance, mathematics and statistics．Berlin Heidelberg:New York:springer－Verlag,2009．

[16]KUZNETSOVYA．Elementsofappliedbifurcationtheory．New York:Springer－Verlag,2004．