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    用Excel進(jìn)行威布爾型產(chǎn)品可靠性數(shù)值仿真評(píng)估

    2012-12-10 02:00:24張仕念張國(guó)彬易當(dāng)祥顏詩(shī)源楊艷妮
    關(guān)鍵詞:布爾單元格置信度

    張仕念,張國(guó)彬,易當(dāng)祥,顏詩(shī)源,楊艷妮

    (北京市清河大樓子八,北京 100085)

    0 引言

    可靠性仿真是將仿真技術(shù)應(yīng)用于可靠性分析的一種方法,利用計(jì)算機(jī)技術(shù)對(duì)己經(jīng)建好的系統(tǒng)可靠性模型進(jìn)行仿真,得到一系列的仿真結(jié)果,能夠解決常規(guī)的解析法很難奏效的部分可靠性問(wèn)題。可靠性仿真具有經(jīng)濟(jì)性好、應(yīng)用范圍廣、通用性好、難度小、直觀和保密等優(yōu)點(diǎn)[1]。Microsoft Excel是微軟公司開(kāi)發(fā)的電子表格軟件,易學(xué)易用,使用范圍廣;Excel 2003就提供了財(cái)務(wù)、日期與時(shí)間、數(shù)學(xué)與三角函數(shù)、統(tǒng)計(jì)等九大類約300個(gè)函數(shù),具有強(qiáng)大的計(jì)算、統(tǒng)計(jì)功能。本文以服從威布爾分布的數(shù)據(jù)為例,利用Excel的、已有函數(shù)和單元格的引用,進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算,利用RAND()函數(shù)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)而引入隨機(jī)因素,實(shí)現(xiàn)可靠性評(píng)估的數(shù)值仿真。實(shí)例表明,用Excel進(jìn)行可靠性評(píng)估的數(shù)字仿真,可以避免繁雜的編程工作,省時(shí)省力,方便實(shí)用,且仿真結(jié)果與計(jì)算結(jié)果十分接近。

    1 威布爾型數(shù)據(jù)的可靠性評(píng)估模型

    設(shè)n臺(tái)產(chǎn)品進(jìn)行無(wú)替換截尾試驗(yàn),失效時(shí)間為t1≤t2≤…≤tr(r≤n), 定數(shù)截尾時(shí) tr為第 r個(gè)產(chǎn)品的失效時(shí)間,定時(shí)截尾時(shí)tr為截尾時(shí)間,失效數(shù)據(jù)服從兩參數(shù)威布爾分布。其密度函數(shù)為:

    分布函數(shù)為:

    式中, DI(n, r, j ), CI(n, r, j)可查 《可靠性試驗(yàn)用表》[3]獲得。

    對(duì)給定的n,r,γ,R,Mann等給出了樞軸量:

    的γ分位數(shù)VR,γ數(shù)表,式中xR是極值分布的 (1-R)分位數(shù),即

    2 威布爾型數(shù)據(jù)的可靠性數(shù)字仿真

    則tR的置信下限:

    根據(jù)對(duì)稱原理, 在式 (3) 中將tR,L→t0,R→RL(t0), 得可靠性下限 RL(t0) 的表達(dá)式為:

    故可反查Vγ(R)-R表,用中轉(zhuǎn)查值法可求出 RL(t)。

    2.1 隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生及隨機(jī)變量抽樣

    目前,廣泛應(yīng)用的、在 [0,1]上產(chǎn)生均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)的方法是同余法[3],包括混合同余發(fā)生器、乘法同余發(fā)生器等。Excel提供的RAND()函數(shù)也能夠產(chǎn)生 [0,1]的隨機(jī)數(shù),在其幫助中,說(shuō)明該函數(shù)用于 “返回大于等于0及小于1的均勻分布隨機(jī)數(shù),每次計(jì)算工作表時(shí)都將返回一個(gè)新的數(shù)值”。用RAND()函數(shù)產(chǎn)生5次,每次5組, 每組 5000個(gè)隨機(jī)數(shù),用 Co(i,j) (i≠j)表示第i組和j組隨機(jī)數(shù)的相關(guān)系數(shù),隨機(jī)數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)見(jiàn)表1。由表1可見(jiàn),其相關(guān)系數(shù)很小,表明各組隨機(jī)數(shù)之間的獨(dú)立性很好。本文用RAND()函數(shù)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。

    表1 5組隨機(jī)數(shù)的相關(guān)系數(shù)

    可采用逆變法[4]產(chǎn)生服從威布爾分布的隨機(jī)數(shù),具體的步驟如下:

    a)在 (0,1)區(qū)間上產(chǎn)生服從均勻分布的隨機(jī)數(shù) r。

    b)做變換。

    式 (5)中:y——服從參數(shù)為m,η的威布爾分布的隨機(jī)數(shù)。

    c)重復(fù)步驟a)、b),直到取到要求數(shù)量的隨機(jī)數(shù)為止。

    2.2 分布參數(shù)的最小二乘估計(jì)

    由式(2) 得:

    如果ti服從威布爾分布, {xi,yi}成線性關(guān)系,通過(guò)最小二乘法線性回歸,解得系數(shù)a、b。

    兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)表示為:

    可根據(jù)|rC|→1的程度,判斷是否服從威布爾分布。

    在計(jì)算過(guò)程中,無(wú)替換定數(shù)截尾時(shí),分布函數(shù)為:

    小樣本 (n≤20)時(shí),為了減少計(jì)算誤差,用下式計(jì)算:

    2.3 仿真步驟

    數(shù)字仿真的基本思路是:用最小二乘法根據(jù)原始數(shù)據(jù)估計(jì)分布參數(shù)和,利用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器和逆變法抽取服從分布參數(shù)為和的威布爾分布的抽樣樣本,根據(jù)抽樣樣本計(jì)算出可靠度的一個(gè)抽樣值,反復(fù)抽樣,得到可靠度的分布密度函數(shù),從而獲得可靠度的置信下限。具體的步驟如下:

    a)根據(jù)最小二乘法,利用Excel軟件的單元格 引 用 和 LN (number)、 AVERAGE (number1,number2, ...)、 EXP (number) 等函數(shù), 由式 (6)和 (7) 計(jì)算威布爾分布的分布參數(shù)m^和η^。

    b)從仿真循環(huán)次數(shù)i=1開(kāi)始,由式 (5),在Excel軟件電子表格的某一列用 “=*POWER ((-LN (RAND ())),” 產(chǎn)生 r個(gè)服從威布爾分布的隨機(jī)數(shù);在另一列用 “=SMALL(array1,k)”(array1為r個(gè)隨機(jī)數(shù)組成的數(shù)列,k=1,2,…,r)函數(shù)對(duì)其由小到大排序,得故障產(chǎn)品的抽樣觀察值為ti1,ti2,…,tir(無(wú)替換定時(shí)截尾時(shí),產(chǎn)生n個(gè)服從威布爾分布的隨機(jī)數(shù),取定時(shí)截尾時(shí)間T0以前的樣本排序)。

    c)由故障產(chǎn)品壽命的抽樣觀察值ti1,ti2,…,tir,同a),采用最小二乘法估計(jì)抽樣樣本的分布參數(shù)為和。

    d)對(duì)于給定任務(wù)時(shí)間t0,對(duì)應(yīng)的可靠度抽樣值為:

    e)i=i+1重復(fù)上述過(guò)程,1≤i≤N,N為仿真次數(shù)。單元格引用和公式在Excel電子表格中建立后,只需做簡(jiǎn)單的拷貝即可完成。

    f)給定置信度γ,在可靠度的分布密度函數(shù)中, (1-γ)N的整數(shù)部分對(duì)應(yīng)的Ri(t0), 就是給定置信度為γ的可靠度下限值,即在某一單元格用 “=SMALL (array2,(1-γ)*N)” 的返回值即為仿真結(jié)果,此處的array2為仿真結(jié)果組成的數(shù)列。

    給定可靠度R的可靠壽命tR的抽樣公式為:

    對(duì)tRi反復(fù)抽樣,進(jìn)行排序得tR1≤tR2≤…≤tRN,對(duì)于給定的置信度γ的壽命下限tR為 (1-γ)N的整數(shù)部分對(duì)應(yīng)的tRi。

    4 仿真算例

    取某產(chǎn)品15臺(tái)進(jìn)行無(wú)替換定數(shù)截尾自然貯存試驗(yàn),10臺(tái)產(chǎn)品出現(xiàn)失效,失效時(shí)間分別為 (單位 : 年 ) :14.71、 15.09、 18.29、 19.91、 20.67、21.87、 22.32、 22.87、 24.91、 25.06。 給定置信度為0.75,求:a)給定可靠度R=0.95時(shí)產(chǎn)品的可靠壽命下限;b)任務(wù)時(shí)間t0=14年時(shí)的產(chǎn)品貯存可靠度下限。

    采用最小二乘法估計(jì)以上數(shù)據(jù)的參數(shù)時(shí),用式 (8)計(jì)算相關(guān)系數(shù)rC=0.977638,可以認(rèn)為該產(chǎn)品的貯存壽命服從威布爾分布。查 《可靠性試驗(yàn)用表》獲得n=15、 r=10 時(shí)的 DI(n, r, j)、 CI(n, r,j)。

    現(xiàn)用Excel對(duì)其進(jìn)行仿真,每次抽取4000個(gè)樣本,仿真5次所得的結(jié)果見(jiàn)表2。由表2可見(jiàn),5次仿真的可靠壽命的平均值為12.053,計(jì)算值為12.43,5次仿真的貯存可靠度的平均值為0.920,計(jì)算值為0.919,二者很接近。

    表2 某產(chǎn)品的可靠壽命、可靠度仿真結(jié)果

    4 結(jié)束語(yǔ)

    通過(guò)以上分析和實(shí)例可以看到,采用Excel進(jìn)行可靠性數(shù)值仿真,只需利用Excel提供的函數(shù)和單元格的引用就可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算,簡(jiǎn)單直觀,方便實(shí)用,仿真結(jié)果準(zhǔn)確可信,對(duì)可靠性評(píng)估研究和可靠性分析計(jì)算具有重要的參考價(jià)值,有助于可靠性仿真技術(shù)的推廣應(yīng)用。

    [1]陸勝勇.可靠性仿真技術(shù) [J].電子產(chǎn)品可靠性與環(huán)境試驗(yàn), 1999, (1): 19-22.

    [2]周源泉.質(zhì)量可靠性增長(zhǎng)與評(píng)定方法 [M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社,1997.

    [3]中國(guó)電子技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)化研究所.可靠性試驗(yàn)用表[M].增訂本.北京:國(guó)防工業(yè)出版社,1987.

    [4]宋筆鋒.飛行器可靠性工程[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2006.

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