Cesaro函數(shù)空間CESp 的依測(cè)度收斂的Opial性質(zhì)和強(qiáng)端點(diǎn)

于非非，李 君

(天津科技大學(xué)理學(xué)院，天津 300457)

Opial于 1967年[1]引入了 Opial性質(zhì)的概念，這一性質(zhì)蘊(yùn)含不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)，這樣的 Opial性質(zhì)為序列空間所獨(dú)有.1996年王廷輔等[2]討論了 Orlicz序列空間的 Opial性質(zhì).對(duì)于函數(shù)空間，作者在文獻(xiàn)[3]中引入了函數(shù)空間中的新概念——依測(cè)度收斂的 Opial性質(zhì)，并且討論了 Orlicz函數(shù)空間LM中依測(cè)度收斂的Opial性質(zhì)的等價(jià)敘述，給出了LM中依測(cè)度收斂的Opial模的計(jì)算公式.

Cesaro函數(shù)空間CESp是全體定義在(0,+∞)并具有有限范數(shù)

的可測(cè)函數(shù) f(x)所構(gòu)成的空間，其中1＜p＜∞．對(duì)于該空間的性質(zhì)討論并不多，1987年 Polly等[4]論證了CESp是可分的Banach空間，在等價(jià)范數(shù)意義下討論了共軛空間；2003年劉郁強(qiáng)[5]用矢值序列空間的方法研究了 Cesaro函數(shù)空間的幾何性質(zhì)，其中就論證了Cesaro函數(shù)空間嚴(yán)格凸但非一致凸；2008年Astashkin 等[6]證明了CESp不具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)，2011年[7]又討論了CESp的同構(gòu)問(wèn)題．

不影響討論結(jié)果的情況下簡(jiǎn)記為

定義2 x∈S(X )稱為B(X)的強(qiáng)端點(diǎn)，如果{xn}?X,{yn}?X ，xn+yn=2x(n=1,2,3?)，→1，→ 1，蘊(yùn)含→ 0(n→ ∞)．

定義3 如果S(X)中的任一點(diǎn)均為B(X)的強(qiáng)端點(diǎn)，則X是中點(diǎn)局部一致凸的.

本文論證了CESp在上述范數(shù)意義下具有依測(cè)度收斂的 Opial性質(zhì)；證明了?z∈S (CESp)都是B(CESp)的強(qiáng)端點(diǎn)，進(jìn)而證明了CESp(0＜p＜∞)是中點(diǎn)局部一致凸的．這樣的論證對(duì)于該函數(shù)空間幾何性質(zhì)、點(diǎn)態(tài)性質(zhì)的完善具有重要意義．有關(guān) Banach空間的幾何理論及常見記號(hào)見參考文獻(xiàn)[8]

定理1 Cesaro函數(shù)空間CESp(1＜p＜∞)具有依測(cè)度收斂的Opial性質(zhì).

于是容易得到

所以在區(qū)間(0,a)有

由空間理論知識(shí)及式(1)知

而n充分大時(shí)，總有

結(jié)合式(2)—(4)有

所以

這也就證明了

即CESp(1＜p ＜∞)具有依測(cè)度收斂的Opial性質(zhì).

定理2 ?z∈S (CESp)都是B(CESp)的強(qiáng)端點(diǎn).

這樣就證明了?z∈S (CESp)都是B(CESp)的強(qiáng)端點(diǎn).

推論 Cesaro函數(shù)空間CESp(1＜p＜∞)是中點(diǎn)局部一致凸的.

關(guān)于函數(shù)空間CESp(1＜p＜∞)的其他點(diǎn)態(tài)性質(zhì)、幾何性質(zhì)及各種幾何常數(shù)的討論，有待于大量研究工作予以完善.

［1］ Opial Z. Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings[J]. Bulletin of the American Mathematical Society，1967，73(4)：591–597.

［2］ 王廷輔，崔云安. Orlicz序列空間的 Opial性質(zhì)[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)，1996，9(3)：392–394.

［3］ 于非非，崔云安. Orlicz函數(shù)空間的依測(cè)度收斂的Opial性質(zhì)[J]. 黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2002，19(1)：6–9.

［4］ Polly Wee Sy，Zhang Wenyao，Lee Peng Yee. The dual of Cesaro function spaces [J]. Glasnik Matematicki，1987，22(42)：103–112.

［5］ 劉郁強(qiáng). Cesaro函數(shù)空間的幾何性質(zhì)[J]. 華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003(4)：1–4.

［6］ Astashkin S V，Maligranda L. Cesaro function spaces fail the fixed point property [J]. Proceedings of the American Mathematical Society，2008，136(12)：4289–4294.

［7］ Astashkin S V，Maligranda L. Geometry of Cesaro function spaces [J]. Functional Analysis and Its Applications， 2011，45(1)：64–68.

［8］ 俞鑫泰. Banach空間幾何理論[M]. 上海：華東師范大學(xué)出版社，1985：213–301.