基于二元高次函數(shù)數(shù)據(jù)擬合的水輪機(jī)特性模型分析

雷 恒，李 穎

（1.黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 開封 475004；2.小流域水利河南省高校工程技術(shù)研究中心，河南 開封 475004）

0 引言

由于水輪機(jī)內(nèi)部水流運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性，目前，水輪機(jī)輸出特性與輸入?yún)?shù)之間的具體關(guān)系還不能用理論方法進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算，而是通過模型或是原型試驗(yàn)的方法得到。 常規(guī)的試驗(yàn)方法是將水輪機(jī)模型試驗(yàn)的結(jié)果整理成列表數(shù)據(jù)或繪制成各種特性曲線。但是，在應(yīng)用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)技術(shù)進(jìn)行水輪機(jī)選型設(shè)計(jì)、優(yōu)化運(yùn)行以及對水輪機(jī)進(jìn)行控制時(shí)，需要在試驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，建立解析形式的表示水輪機(jī)輸出特性與輸入?yún)?shù)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。 本文采用二元高次函數(shù)建立水輪機(jī)特性模型，進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合及誤差分析，并通過實(shí)例，對水輪機(jī)等效率曲線進(jìn)行了驗(yàn)證分析。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 數(shù)學(xué)原理

設(shè)已知反映二元函數(shù)z=f（x，y）的數(shù)據(jù)（xk，yk，zk）（k=1，2，…，P；P 為數(shù)據(jù)的總數(shù)），可用的擬合函數(shù)為

式中：cij為擬合系數(shù)；m 為y 項(xiàng)的最高次數(shù)；n為x 項(xiàng)的最高次數(shù)。

當(dāng)m=n=2 時(shí)，擬合函數(shù)式展開為

式（2）是一個(gè)廣義的線性函數(shù)，應(yīng)用最小二乘法可以確定擬合函數(shù)中擬合系數(shù)的法方程為

分別為：

矩陣B 是一個(gè)對稱矩陣，所以公式中只列出了其上三角的元素。

將已知數(shù)據(jù)（xk，yk，zk）（k=1，2，…，P）代入公式（3）中，使用解線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法，可以求出列向量C 中各元素，即求出了擬合系數(shù)cij（i、j=0，1，2）。

對于任意的m、n 次二元多項(xiàng)式擬合函數(shù)，數(shù)據(jù)擬合過程與上述相同。

1.2 水輪機(jī)模型描述

在水輪機(jī)特性曲線的幾何形狀較簡單的情況下，可采用二元高次函數(shù)數(shù)據(jù)擬合的方法，直接對反映水輪機(jī)特性的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。 如水輪機(jī)的能量特性η=f(Q'1,n'1)，可采用擬合函數(shù)

式中：Q'1、n'1從相應(yīng)的水輪機(jī)模型綜合特性曲線上采集；擬合系數(shù)cij按上述方法求出。

2 實(shí)例分析

2.1 綜合特性曲線

HL120-LJ-38 水輪機(jī)模型綜合特性曲線如圖1所示。 從相應(yīng)的等效率特性曲線上隨機(jī)采集52 個(gè)數(shù)據(jù)（Q'1、n'1、η），如表1 所示。

2.2 模型建立

取m=n=4，構(gòu)造擬合函數(shù)式（4），求出25 個(gè)擬合系數(shù)，如表2 所示。

圖1 HL120-LJ-38 水輪機(jī)模型綜合特性曲線Fig.1 Synthetic feature curve of HL120-LJ-38 hydraulic turbine model

用相應(yīng)的擬合函數(shù)計(jì)算出擬合值，將擬合值及擬合誤差列表（如表1 所示）。從表中數(shù)據(jù)可以看出，擬合函數(shù)具有很高的擬合精度，可以作為描述HL120-LJ-38 水輪機(jī)能量特性的數(shù)學(xué)模型，用于引用該水輪機(jī)特性的各種場合，同時(shí)還可以方便地計(jì)算出在水電站水力過渡過程中所需要的各種傳遞函數(shù)值。

表1 HL120-LJ-38 水輪機(jī)能量特性的原始數(shù)據(jù)Table 1 Original data of HL120-LJ-38 hydraulic turbine energy feature

表2 擬合系數(shù)cijTable 2 Fitting coefficient cij

3 結(jié)語

在水輪機(jī)特性曲線不是特別復(fù)雜的情況下，采用二元高次函數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，用于建立、分析水輪機(jī)特性模型，不失為一種有效的方法。

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