企業(yè)退休職工養(yǎng)老金數(shù)學(xué)建模及制度的研究

李 峰，郝振莉

（黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 開(kāi)封 475004）

0 引言

養(yǎng)老金是一種根據(jù)勞動(dòng)者對(duì)社會(huì)所做貢獻(xiàn)及其所具備享受養(yǎng)老保險(xiǎn)的資格，以貨幣形式支付的保險(xiǎn)待遇，用于保障職工退休后的基本生活需要。 我國(guó)企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險(xiǎn)實(shí)行“社會(huì)統(tǒng)籌”與“個(gè)人賬戶”相結(jié)合的模式，即企業(yè)按職工工資總額的一定比例（20%）繳納社會(huì)統(tǒng)籌基金，職工個(gè)人按工資的一定比例（8%）繳納養(yǎng)老金，社會(huì)統(tǒng)籌基金進(jìn)入社會(huì)統(tǒng)籌基金賬戶，個(gè)人繳費(fèi)進(jìn)入職工個(gè)人賬戶。 這兩個(gè)賬戶的資金，合稱為養(yǎng)老保險(xiǎn)基金。 退休后，職工按照在職期間每年的繳費(fèi)工資與社會(huì)平均工資之比（繳費(fèi)指數(shù)），結(jié)合退休前一年當(dāng)?shù)氐纳鐣?huì)平均工資等因素，從社會(huì)統(tǒng)籌賬戶中領(lǐng)取一定資金作為基礎(chǔ)養(yǎng)老金，從個(gè)人養(yǎng)老金賬戶中領(lǐng)取一定比例的資金作為個(gè)人賬戶養(yǎng)老金，兩者加在一起，組成每個(gè)職工退休后每個(gè)月的養(yǎng)老金。 養(yǎng)老金會(huì)隨著社會(huì)平均工資的調(diào)整而調(diào)整。 如果職工死亡，社會(huì)統(tǒng)籌賬戶中的資金不退給職工，個(gè)人賬戶中的余額可以繼承（個(gè)人賬戶儲(chǔ)存額以銀行當(dāng)時(shí)公布的一年期存款利率計(jì)息）。 本文試以山東省企業(yè)職工的養(yǎng)老金作為對(duì)象，研究在現(xiàn)有養(yǎng)老金制度下養(yǎng)老金替代率和養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的缺口情況，并對(duì)維持養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的收支平衡提出一些建議。

1 山東省職工平均工資的預(yù)測(cè)

1.1 預(yù)測(cè)條件

為了便于預(yù)測(cè)和研究山東省企業(yè)職工未來(lái)的年平均工資和養(yǎng)老金替代率等問(wèn)題，我們做出如下假設(shè)：（1）我國(guó)在未來(lái)較長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，社會(huì)政治經(jīng)濟(jì)形勢(shì)穩(wěn)定。 （2）現(xiàn)有養(yǎng)老金繳費(fèi)和發(fā)放制度在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)不變。 （3）為便于計(jì)算，養(yǎng)老金繳費(fèi)和發(fā)放年數(shù)均為整數(shù)。 （4）銀行一年期存款利率設(shè)定為3%。

1.2 預(yù)測(cè)模型

職工工資的增長(zhǎng)率應(yīng)該同一個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展相適應(yīng)。 當(dāng)前，我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅速，工資增長(zhǎng)率也較高。 但隨著我國(guó)逐步接近中等發(fā)達(dá)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)水平，經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度會(huì)降低，相應(yīng)的工資增長(zhǎng)率也會(huì)降低。 因此，為預(yù)測(cè)2011～2035 年山東省職工的年平均工資，我們使用阻滯型增長(zhǎng)模型——Logistic 模型，即，

式中：y 為年平均工資，元；t 代表年份；a、b、c 為待定系數(shù)。

1.3 預(yù)測(cè)結(jié)果

山東省職工歷年平均工資如表1 所示。 根據(jù)最小二乘法的思想，利用Matlab 軟件對(duì)預(yù)測(cè)模型求解，預(yù)測(cè)出2011 到2035 年的山東省職工平均工資（如表2 所示）。 圖1 為山東省職工預(yù)測(cè)工資與年實(shí)際工資的擬合曲線。

2 養(yǎng)老金替代率的計(jì)算

2.1 養(yǎng)老金替代率的意義

養(yǎng)老金替代率是指職工剛退休時(shí)的養(yǎng)老金占退休前工資的比例。 替代率較低，退休職工的生活水準(zhǔn)就低， 養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡就容易維持；替代率較高，退休職工的生活水準(zhǔn)就高，養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡則較難維持，可能出現(xiàn)缺口。

表1 山東省職工歷年平均工資Table 1 Average wage of workers in Shandong Province

表2 2011 到2035 年職工年平均工資預(yù)測(cè)值Table 2 Prediction values of workers annual average wage from 2011 to 2035

圖1 山東省預(yù)測(cè)職工工資與年實(shí)際工資的擬合曲線Fig.1 Fitting curves of worker prediction wage and annual real wages in Shandong Province

2.2 職工剛退休時(shí)的養(yǎng)老金

表3 為2009 年山東省某企業(yè)各年齡段職工的工資分布情況。 假設(shè)該企業(yè)某職工自2000 年起（30 歲）開(kāi)始繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)，一直繳納到退休（55 歲，60 歲），用加權(quán)平均方法容易求得該企業(yè)不同年齡段的職工工資與企業(yè)平均工資的比值（結(jié)果如表4）所示。

把表4 中得到的企業(yè)不同年齡段的職工工資與企業(yè)平均工資的比值作為該職工在不同年齡段時(shí)的繳費(fèi)指數(shù)，用從30 歲到59 歲的繳費(fèi)指數(shù)乘以相應(yīng)年份（2000 年到2029 年）的社會(huì)平均工資，可以得到該職工的繳費(fèi)工資數(shù)，如表5 所示。

表3 2009 年山東省某代表性企業(yè)各年齡段工資段職工的工資分布人數(shù) 單位：人Table 3 Worker wage of different ages in a typical enterprise of Shandong Province in 2009 (Unit: Person)

表4 不同年齡段的職工工資與企業(yè)平均工資比值Table 4 Ratio of worker wage of different ages and enterprise average wage

職工退休時(shí)的養(yǎng)老金等于個(gè)人賬戶養(yǎng)老金加上基礎(chǔ)養(yǎng)老金。

（1）個(gè)人賬戶養(yǎng)老金計(jì)算。

計(jì)發(fā)月數(shù)為固定值，55 歲退休時(shí)，該固定值為170；60 歲退休時(shí)，該固定值為139。 而個(gè)人賬戶儲(chǔ)存額為

式中：Qi為第i 年的繳費(fèi)工資。

因此，該職工個(gè)人賬戶養(yǎng)老金為14 954 元。

（2）基礎(chǔ)養(yǎng)老金的計(jì)算。

基礎(chǔ)養(yǎng)老金=（上年度社會(huì)平均工資+本人指數(shù)化年平均繳費(fèi)工資）/2×繳費(fèi)年限×1%。 其中，上年度社會(huì)平均工資（2029 年山東省職工年平均工資）為72 697 元。為求本人指數(shù)化年平均繳費(fèi)工資，需要先求出本人平均繳費(fèi)指數(shù)。 本人平均繳費(fèi)指數(shù)等于該職工2000～2029 年的各年繳費(fèi)指數(shù)之和除以繳費(fèi)年數(shù)30，經(jīng)計(jì)算，得1.1357。這樣本人指數(shù)化年平均繳費(fèi)工資即為72 697×1.1357=82 562 元。經(jīng)計(jì)算，可知基礎(chǔ)養(yǎng)老金為23 289 元。

將個(gè)人賬戶養(yǎng)老金與基礎(chǔ)養(yǎng)老金相加，可得該職工60 歲退休時(shí)領(lǐng)取的全年養(yǎng)老金， 即14954+23 289=38 243 元。

2.3 職工養(yǎng)老金替代率

該名企業(yè)職工從30 歲開(kāi)始繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)，到60 歲退休，其養(yǎng)老金替代率為38 243÷81 057=0.4718。 同理可得，該名企業(yè)職工到55 歲退休時(shí)的養(yǎng)老金替代率為0.3706。

3 養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的缺口情況

假設(shè)該名企業(yè)職工從退休（55 歲或60 歲）后領(lǐng)取養(yǎng)老金一直至75 歲死亡。 為計(jì)算養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的缺口情況，需要計(jì)算該職工到退休時(shí)養(yǎng)老保險(xiǎn)基金總額，同時(shí)還要計(jì)算到75 歲死亡時(shí)所領(lǐng)取的養(yǎng)老金數(shù)。

3.1 繳納養(yǎng)老金總額

由上面的討論可知，該職工到60 歲退休時(shí)，養(yǎng)老保險(xiǎn)基金總額為各年繳納到社會(huì)統(tǒng)籌基金賬戶的金額及個(gè)人賬戶金額之和，還要加上每年個(gè)人賬戶資金所產(chǎn)生的利息。 經(jīng)計(jì)算，各年繳納到社會(huì)統(tǒng)籌基金賬戶的金額之和為304 780 元，各年繳納到個(gè)人賬戶的金額及所產(chǎn)生利息之和為173 216 元。則該職工到60 歲退休時(shí)，養(yǎng)老保險(xiǎn)基金總額為477 996 元。

表6 2030-2044 年社會(huì)平均工資預(yù)測(cè)Table 6 Social average wage prediction from 2030 to 2044

表7 2030-2044 年基礎(chǔ)養(yǎng)老金預(yù)測(cè)Table 7 Fundamental annuities prediction from 2030 to 2044

3.2 領(lǐng)取的養(yǎng)老金數(shù)

該職工從60 歲退休到75 歲死亡期間，每年所領(lǐng)取的養(yǎng)老金數(shù)等于基礎(chǔ)養(yǎng)老金加上個(gè)人賬戶養(yǎng)老金。

3.2.1 基礎(chǔ)養(yǎng)老金

基礎(chǔ)養(yǎng)老金=全省上年度社會(huì)平均工資×（1+本人平均繳費(fèi)指數(shù)）÷2×繳費(fèi)年限×1%。 顯然，該職工的基礎(chǔ)養(yǎng)老金隨著上年度社會(huì)平均工資的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)。 由阻滯型增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)出該名職工從60 歲退休到75 歲死亡期間（2030 年到2044 年）的社會(huì)平均工資（如表6 所示），進(jìn)而得出該名職工退休后每年獲得的基礎(chǔ)養(yǎng)老金（如表7 所示）。 經(jīng)計(jì)算，該職工從60 歲退休到75 歲去世時(shí)所領(lǐng)取的基礎(chǔ)養(yǎng)老金總和為362 891 元。

3.2.2 個(gè)人賬戶養(yǎng)老金

在領(lǐng)取養(yǎng)老金的過(guò)程中，個(gè)人賬戶中的錢仍然在計(jì)算利息。 為較準(zhǔn)確地計(jì)算所領(lǐng)取的個(gè)人賬戶養(yǎng)老金，利用現(xiàn)值理論，把每年所領(lǐng)取的錢數(shù)都轉(zhuǎn)化為剛退休時(shí)的現(xiàn)值。 第n 歲時(shí)，所領(lǐng)取的個(gè)人賬戶養(yǎng)老金轉(zhuǎn)化為60 歲時(shí)的現(xiàn)值，其中Y60=14 954 元。 將每年的現(xiàn)值求和，該職工到去世時(shí)個(gè)人賬戶養(yǎng)老金總和在60 歲時(shí)的現(xiàn)值為183 880元。

3.3 養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的缺口

由以上分析可得，該職工從60 歲退休到75 歲死亡，所產(chǎn)生的養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的缺口為362 891+183 880-477 996=68 775 元。

4 維持養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡的建議

按照國(guó)家基本養(yǎng)老保險(xiǎn)制度的總體思路，未來(lái)基本養(yǎng)老保險(xiǎn)的目標(biāo)替代率確定為58.5%。 為了使養(yǎng)老保險(xiǎn)基金既能達(dá)到目標(biāo)替代率，又能維持養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的收支平衡，就需要改革基本養(yǎng)老保險(xiǎn)制度?？梢圆扇〉拇胧┯校和七t退休年齡（如延遲到65歲退休或施行彈性退休制）、 盡早開(kāi)始繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)（如從25 歲開(kāi)始就繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)）、 提高個(gè)人賬戶繳費(fèi)率（如將職工繳納養(yǎng)老金的比例從工資的8%提高到10%以上）、提高社會(huì)統(tǒng)籌基金賬戶繳費(fèi)率（如企業(yè)繳納的社會(huì)統(tǒng)籌基金從20%提高到30%）。

其中，“推遲退休年齡和盡早開(kāi)始繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)”對(duì)于達(dá)到目標(biāo)替代率和維持養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡均有顯著的促進(jìn)作用。 “提高個(gè)人賬戶繳費(fèi)率”可以提高目標(biāo)替代率，但當(dāng)計(jì)發(fā)月數(shù)不變時(shí)，對(duì)基金平衡沒(méi)有幫助，而且會(huì)減少職工工資收入。 “提高社會(huì)統(tǒng)籌基金繳費(fèi)率” 對(duì)維持基金平衡有幫助，但對(duì)目標(biāo)替代率沒(méi)有幫助，而且會(huì)增大企業(yè)負(fù)擔(dān)。 所以在改革時(shí)，應(yīng)該盡量考慮延遲退休、施行彈性退休制度，或盡早繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)等措施。

5 結(jié)語(yǔ)

在現(xiàn)有的養(yǎng)老金制度下，企業(yè)退休職工的養(yǎng)老金替代率偏低，很難保障企業(yè)退休職工的生活水平。因此，在養(yǎng)老金制度改革中，需要進(jìn)一步提高養(yǎng)老金替代率（即逐步提高退休職工的退休工資），以達(dá)到國(guó)家要求。 但提高了養(yǎng)老金替代率之后，養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的缺口會(huì)進(jìn)一步增大。 為了在提高養(yǎng)老金替代率的同時(shí)維持養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的收支平衡，可以考慮推遲退休年齡或施行彈性退休制度，同時(shí)盡早開(kāi)始繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)。

[1] 中華人民共和國(guó)國(guó)務(wù)院. 國(guó)務(wù)院關(guān)于完善企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險(xiǎn)制度的決定[J]. 中國(guó)人力資源社會(huì)保障,2006(1):61-62.

[2] 合作編輯者. 百度百科：養(yǎng)老金.[2011-10-10]http://baike.baidu.com/view/407916.htm.

[3] 鄔學(xué)軍，周凱，宋軍全. 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)教程[M]. 杭州:浙江大學(xué)出版社,2009：22-29.

[4] 馬莉. MATLAB 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與建模[M]. 北京:清華大學(xué)出版社，2010:52-60.