圓柱與偽圓柱組合投影

童新華 ， 鐘業(yè)勛 ，2

（1.廣西師范學(xué)院 資源與環(huán)境科學(xué)學(xué)院，廣西 南寧 530001；

2.廣西測(cè)繪地理信息局，廣西 南寧 530023）

圓柱與偽圓柱組合投影

童新華1， 鐘業(yè)勛1，2

（1.廣西師范學(xué)院 資源與環(huán)境科學(xué)學(xué)院，廣西 南寧 530001；

2.廣西測(cè)繪地理信息局，廣西 南寧 530023）

根據(jù)圓柱投影和偽圓柱投影的變形分布和互補(bǔ)性，提出了圓柱與偽圓柱組合投影概念.推導(dǎo)了中央經(jīng)線方程，赤道方程和偽圓柱投影的非中央經(jīng)線方程.通過(guò)系數(shù)K1，K2和K3分別調(diào)節(jié)緯線間隔、經(jīng)線間隔和偽圓柱投影的非中央經(jīng)線收斂度.用系數(shù)K4確保偽圓柱投影的經(jīng)線與接合緯線正交.用一實(shí)例闡釋了圓柱與偽圓柱組合投影的設(shè)計(jì)程序和方法.本例中，在南緯60°到北緯60°之間，面積比在1.5以下，最大角度變形在15°以下.這投影適于用作小比例尺世界地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

圓柱投影；偽圓柱投影；組合投影；中央經(jīng)線方程；赤道方程；接合緯線；變形

正軸圓柱投影適用于低緯度和赤道地區(qū)，但在高緯地區(qū)因長(zhǎng)度變形過(guò)大而不宜使用.偽圓柱投影則可減少高緯地區(qū)的長(zhǎng)度變形[1-5].考慮到這兩種投影變形特點(diǎn)的互補(bǔ)性和緯線均為赤道的平行線的共同點(diǎn)，本文提出了以某一設(shè)計(jì)緯度φk為接合緯線，在[0°，φk）區(qū)間采用圓柱投影，而在[φk，90°]區(qū)間采用偽圓柱投影的組合投影概念.本文是筆者關(guān)于圓柱與偽圓柱組合投影的研究和探討.

1 中央經(jīng)線方程、赤道方程和偽圓柱投影非中央經(jīng)線方程

1.1 中央經(jīng)線方程

圓柱投影和偽圓柱投影的中央經(jīng)線上，每個(gè)緯度φj對(duì)應(yīng)著一個(gè)縱坐標(biāo)xoj，xoj表現(xiàn)為φj的奇函數(shù).經(jīng)緯線公式要求經(jīng)緯度以rad（弧度）為單位.為使以rad表示的φj在方程解算中得到簡(jiǎn)化，通過(guò)轉(zhuǎn)換系數(shù)K1將φj變換為ψj[6-8]：

選取適當(dāng)?shù)腒1值，給定中央經(jīng)線上四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)xoj，即可解算xoj方程的 4個(gè)系數(shù)a00、a01、a02、a03.因不同的系數(shù)組對(duì)應(yīng)著不同的緯線間隔，所以組合投影的緯線間隔具有可調(diào)節(jié)性.

1.2 赤道方程

正軸圓柱投影的赤道為直線.赤道與各經(jīng)線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)yio表現(xiàn)為經(jīng)度λi的奇函數(shù).同理，可通過(guò)轉(zhuǎn)換系數(shù)K2將λi變換為ξi：為了使赤道方程和中央經(jīng)線方程可用同一程序解算，設(shè)赤道方程為ξi的7次冪方程：

選取適當(dāng)?shù)腒2值，給定赤道上4個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)yio，即可解赤道方程的4個(gè)系數(shù)l0，l1，l2，l3.

1.3 偽圓柱投影的非中央經(jīng)線方程

圓柱投影和偽圓柱投影的緯線為赤道的平行線，可見(jiàn)任意緯線φj與任意經(jīng)線λi交點(diǎn)的縱坐標(biāo)xij與xoj相等，即xij=xoj.而偽圓柱投影的非中央經(jīng)線，為對(duì)稱(chēng)于中央經(jīng)線的曲線.選擇曲線的形式為橢圓，用橢圓參數(shù)方程的y方程[9]，即可建立非中央經(jīng)線方程：

（5）式中之φk為圓柱投影和偽圓柱投影的接合緯度，K3為經(jīng)線的收斂系數(shù)，其定義域?yàn)?≥K3＞0.K4為確保[φk，90°]的余弦變化與[0°，90°]的變化同步的系數(shù)，它滿足所有經(jīng)線與接合緯線正交條件.

從（4）、（5）式可見(jiàn)，yij是yio的函數(shù)，而yio由赤道方程的系數(shù)l0，l1，l2，l3決定，每組系數(shù)，對(duì)應(yīng)著不同的經(jīng)線間隔，所以組合投影的經(jīng)線間隔，具有可調(diào)節(jié)性.

2 變形公式

2.1 偽圓柱投影的變形公式

（6）式中的R為滿足某種條件的地球正球體半徑，μ0為地圖比例尺，計(jì)算單位可用cm或mm.

因偽圓柱投影只用于[φk，90°]區(qū)間，所以（6）式的φj∈[ ]

φk,90°；（6）式中的ε為經(jīng)緯線投影后的夾角θ′與90°之差值.m為沿經(jīng)線長(zhǎng)度比，n為沿緯線長(zhǎng)度比，p為面積比，ω為最大角度變形.將（10）式代入（9）式可求yλ.將yφ，yλ代入（6）式之4式求到ε后，m，n，p，ω依次可求.

2.2 圓柱投影的變形公式

φk處的變形值，采用偽圓柱投影的計(jì)算成果，所以（11）式之φj的定義域?yàn)閇0°，φk）.

3 算例

設(shè)地圖比例尺為1∶2500萬(wàn)，R用GRS80橢球的等體積球體半徑，以cm為計(jì)算單位，則μ0R=25.484 cm；設(shè)φk=40°，令φj=40°時(shí)ψj=1，得K1=1.432394448；令λi=90°時(shí)ξi=1，得K2=0.63662；取K3=0.6，K4=1.8.

3.1 解中央經(jīng)線方程

給定中央經(jīng)線上四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，見(jiàn)表1.

表1 中央經(jīng)線上的設(shè)計(jì)坐標(biāo)Tab.1Design coordinate on central meridian

3.2 解赤道方程

給定赤道上四個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)yoj，見(jiàn)表2.

表2 赤道上的設(shè)計(jì)坐標(biāo)Tab.2Design coordinate on equtaor

將xoj，yio，φk，K3，K4值代入（5）式，可求偽圓柱投影[φk，90°]區(qū)間的坐標(biāo)xij，yij；

而圓柱投影的坐標(biāo)為：

將（12）式之各系數(shù)代入（7）式可求x′；將（13）式之各系數(shù)代入（10）式可求y′io.按（6）式，（11）式可以計(jì)算各經(jīng)緯線交點(diǎn)的m，n，p，ω變形值.本例的坐標(biāo)和變形計(jì)算成果見(jiàn)附表1，面積比和最大角度變形圖見(jiàn)圖1.

4 結(jié)語(yǔ)

本文提出了圓柱與偽圓住組合投影概念，推導(dǎo)了可調(diào)節(jié)緯線間隔的中央經(jīng)線方程，可調(diào)節(jié)經(jīng)線間隔的赤道方程和可調(diào)節(jié)偽圓柱投影非中央經(jīng)線收斂度的經(jīng)線方程.通過(guò)系數(shù)K4確保偽圓柱投影在φi∈[ ]

φk,90°區(qū)間的余弦變化與0°～90°的變化同步，從而使偽圓柱投影的經(jīng)線與接合緯線φk正交，與圓柱投影的同名經(jīng)線自然銜接.通過(guò)實(shí)例，闡述了圓柱與偽圓柱組合投影的設(shè)計(jì)程序和方法.本例設(shè)計(jì)的投影，在南緯60°至北緯60°的廣大區(qū)域，面積比在1.5以下，最大角度變形在15°以?xún)?nèi).本投影適用于編制小比例尺世界地圖.

圖1 圓柱與偽圓柱組合投影的面積比P和最大角度變形ω等變形線Fig.1 Distortion Isograms of proportion of area P and maximum angular distortion ω for cylindrical and pseudo-cylindrical Homeotheric projection

附表1 圓柱與偽圓柱組合投影的坐標(biāo)和變形成果Schedule 1 Achievement of coordinate and distortion of cylindrical and pseudo-cylindrical homeothric projection

[1]胡毓鉅.數(shù)學(xué)制圖學(xué)[M].北京:中國(guó)工業(yè)出版社,1964.

[2]胡毓鉅,龔劍文.地圖投影[M].2版.北京:測(cè)繪出版社.1992.

[3]胡毓鉅,龔劍文.地圖投影圖集[M].3版.北京:測(cè)繪出版社.2006.

[4]黃國(guó)壽.地圖投影[M].北京:測(cè)繪出版社.1983.

[5]鐘業(yè)勛.數(shù)理地圖學(xué)[M].北京:測(cè)繪出版社，2007.

[6]鐘業(yè)勛.不等分經(jīng)緯線多圓錐投影的設(shè)計(jì)與解析計(jì)算方法[J].測(cè)繪學(xué)報(bào),1965,8(3),210-236.

[7]鐘業(yè)勛.吻接圓弧邊經(jīng)多圓錐投影—預(yù)先給定變形分布設(shè)計(jì)多圓錐投影方法的探討[A].吳忠性,胡毓鉅.地圖投影論文集[C].北京:測(cè)繪出版社,1983.230-254.

[8]鐘業(yè)勛.關(guān)于用緯度φ的高次冪方程表示地圖投影經(jīng)線的若干問(wèn)題[A].吳忠性,胡毓鉅.地圖投影論文集[C].北京:測(cè)繪出版社,1983.329-334.

[9]西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].北京:人民教育出版社,1964.

Cylindrical and Pseudo-Cylindrical Homeotheric Projection

TONG Xinhua1，ZHONG Yexun1，2
（1.School of Resource and Environment Science，Guangxi Teachers'College，Nanging530001，China；
2.Guangxi Regional Geographic Informational Bureau of Surveying and Mapping，Nanning530023，China）

According to the distortion distribution and complementarity of cylindrical and pseudo-cylindrical projec?tion,the authors put forward the concept of cylindrical and pseudo-cylindrical homeotheric projection,derived the cen?tral meridian equation，equator equation and non-central meridian equation of pseudo—cylindrical projection,adjust the interval of parallel and meridian and convergent degree of non-central neridian of psaudo-cylindrical projection respec?tively through coefficientK1,K2andK3,ensure orthogonal of meridian in pseudo-cylindrical projection and joint parallel by coefficientK4.The design program and mode of cylindrical and pseudo-cylindrical homeotheric projection have been explained by an example.The proportion of area at 1.5 below and maximum angular distortion at 15°below between from south parallel 60°to north parallel 60°interval in this example,this cylindrical and pseudo-cylindrical homeetheric pro?jection is suitable to be mathenatical base of small scale world map.

cylindrical projection；pseudo-cylindrical projection；homeotheric projection；central meridian equation；equator equation；joint pareallel；distortion

P 204

A

1674-4942（2012）01-0032-04

2011-12-20

廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目（0448037）

畢和平