一類最優(yōu)投資理論的數(shù)學(xué)模型

任長宇, 袁 芳

(1. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012; 2. 香港浸會大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 香港)

0 引 言

雍炯敏[1]研究了金融數(shù)學(xué)中的一類最優(yōu)投資問題, 目標(biāo)是尋找最優(yōu)投資組合, 以最優(yōu)化該投資者的收益, 他把這類問題歸結(jié)為如下拋物型Monge-Ampère方程：

(1)

注意到方程(1)中自變量y的意義是“該投資者用于投資的初始資本”, 則顯然當(dāng)y<0時該投資者無法進行投資. 同時, 作為“初始資本”, 必然是有限的. 因此, 為了與這種投資問題的實際更接近, 應(yīng)該代替純粹的初值問題(1)而考慮區(qū)域Q=[0,T)×(0,X)上的初邊值問題. 文獻[5]對該問題的第一初邊值問題進行了一些基礎(chǔ)性研究, 在給定的結(jié)構(gòu)條件下, 建立了相關(guān)問題古典解的存在唯一性.

本文進一步研究由模型(1)導(dǎo)出的如下拋物型Monge-Ampère方程的混合初邊值問題：

(2)

這里:u(x,t)是未知函數(shù);f(x,t)和φ(x,0)分別是Q和[0,X]上的適當(dāng)光滑函數(shù);A(t),B(t)為[0,T]上的函數(shù);a,b為非負常數(shù). 此外, 還需下列基本假設(shè):

(H3) 問題(2)滿足直到二階為止的銜接條件.

在問題(2)中, 為方便, 用φ(x,0)表示g(x). 由于本文考慮混合初邊值問題, 因此條件(H2)與文獻[5]中的條件有不同之處.

記

函數(shù)v(x,t)∈K稱為可容許函數(shù). 顯然, 對任意的可容許函數(shù)u(x,t)∈K, 問題(2)為拋物型方程. 本文將在K中尋找問題(2)的可容許解. 主要結(jié)果如下:

注1文獻[5]中保留了問題(1)的條件g′(x)≤0, 本文可以去掉.

注2當(dāng)r=0時, 問題(2)中的方程恰好是文獻[6-7]中所討論方程的一維情形. 因此本文只考慮r>0的情況.

注3當(dāng)a=b=0時, 問題(2)恰好與獻[5]中所研究的問題相同. 因此本文也可視為文獻[5]中所述問題的進一步研究.

為簡便, 本文不妨假設(shè)函數(shù)φ(x,t)已經(jīng)光滑延拓到整個Q, 并且

-[φt(x,t)-rxφx(x,t)]φxx(x,t)=f(x,t), ?(x,t)∈[0,X]×{t=0}.

(3)

1 解的存在性

對τ∈[0,1], 考慮如下單參數(shù)問題族:

(4)τ

其中:

Aτ(t)=(1-τ)A0(t)+τA(t);Bτ(t)=(1-τ)B0(t)+τB(t);

顯然, 當(dāng)τ=1時, 問題(4)τ即為問題(2).

從而問題(4)0在K中有解.

證明: 令

u0(x,t)=φ(x,0)+(ert-1)(x2-Xx)-kt,

(5)

命題1確保了單參數(shù)問題族(4)τ的解集合不空. 如果能事先得到問題族(4)τ的所有可能解的C2+α,1+α/2估計:

(6)

這里:α∈(0,1);C>0為可控常數(shù). 則問題(2)解的存在性可以通過經(jīng)典的連續(xù)性方法得到[6,8-9]. 不難驗證, 從“問題數(shù)據(jù)”的角度看, 問題(4)τ和問題(2)具有相同的性質(zhì), 因此只需對問題(2)的所有可能解u=u(x,t)做出與式(6)相同的先驗估計即可.

2 先驗估計

為了證明解的唯一性及做先驗估計, 先證明一個比較原理.

引理1設(shè)v(x,t),w(x,t)∈K滿足如下不等式:

證明: 先證明式(7)-(10)中不等號均為嚴格不等號的情況.

v-w≤(v-w)x=0,X<0,

-(vt-rxvx)vxx≤-(wt-rxwx)wxx于(x0,t0),

對于式(7)-(10)中不等式的情形, 可取ε>0充分小, 令vε(x,t)=v(x,t)-ε(t+1), 則容易驗證

由命題1直接可得:

定理2問題(7)-(10)在K中至多有一個解.

綜上, 有:

命題2設(shè)u∈K為問題(2)的可容許解, 則存在一個僅依賴于問題數(shù)據(jù)的常數(shù)C1, 使得

下面估計ut, 考慮問題(2)中方程的線性化算子:

關(guān)于ut的先驗估計, 有:

命題3設(shè)u∈K為問題(2)的解, 則存在僅依賴于問題數(shù)據(jù)的常數(shù)C2,c0>0, 使得

(11)

下面分3種情形討論:

由式(11)和(2)中第三式, 有

由式(11)和(2)中第四式, 有

綜上, 結(jié)合命題2即可得-ut的上方估計.

下面做-ut的下方估計. 對相同的拋物算子Lu, 考慮如下兩個輔助函數(shù):

w1=ek1tut,w2=rxuxek1t.

直接計算得

于是

下面分3種情形討論:

ek1t0(-uxt+rux)≥0;

由式(11)和(2)中第三式, 有

ek1t0(-uxt+rux+rXuxx)≤0;

由式(11)和(2)中第四式, 有

最后, 估計uxx. 由于已經(jīng)得出了-(ut-rxux)≥c0>0, 因此直接利用方程(2), 可得:

命題4設(shè)u∈K為問題(2)的解, 則存在僅依賴于問題數(shù)據(jù)的常數(shù)ν0,C3, 使得

將式(2)中的方程兩邊對t求導(dǎo), 得

(12)

綜上, 可得:

定理3設(shè)u∈K為問題(2)的解, 則存在可控常數(shù)β∈(0,1)和C>0, 使得

利用連續(xù)性方法, 綜合上述結(jié)果即可完成定理1的證明.

[1] 雍炯敏. 數(shù)學(xué)金融學(xué): 理論與實踐 [M]. 北京: 高等教育出版社, 2000.

[2] WANG Guang-lie, LIAN Song-zhe. An Initial Value Problem for Parabolic Monge-Ampère Equation from Investment Theory [J]. J Partial Differential Equations, 2003, 16(4): 381-383.

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[4] LIAN Song-zhe. Existence of Solutions to Initial Value Problem for a Parabolic Monge-Ampère Equation and Application [J]. Nonlinear Anal, 2006, 65(1): 59-78.

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[9] REN Chang-yu, WANG Guang-lie. A Class of Parabolic Monge-Ampère Equation with a More General Form [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2006, 44(1): 30-38. (任長宇, 王光烈. 某種更一般形式的拋物型Monge-Ampère方程 [J]. 吉林大學(xué)學(xué)報: 理學(xué)版, 2006, 44(1): 30-38.)